2.3 有理数的乘除运算（十一大题型）专题 练习2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2.3 有理数的乘除运算 题型一 两个有理数的乘法运算 1．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． 通过直接计算每个选项，判断其正确性，选项D中0乘以任何数应为0，而不是，因此错误． 【详解】解：A．，原计算正确； B．，原计算正确； C．，原计算正确； D．，原计算错误； 故选：D． 2．已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的乘法．根据绝对值的性质可得a，b的值，再结合，可得，进而得到，，然后分别代入解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为． 故答案为： 3．定义一种新的运算：． (1)计算与，此运算满足乘法交换律吗？ (2)计算与，此运算满足乘法结合律吗？ 【答案】(1)满足乘法交换律 (2)不满足乘法结合律 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，有理数乘法运算律，正确理解题意熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由定义的新运算进行计算即可得出答案，并根据结果判断是否满足乘法交换律即可； （2）由定义的新运算进行计算即可得出答案，然后根据结果判断是否满足乘法结合律即可． 【详解】（1）解：， ， ∴ ∴满足乘法交换律； （2）解： ， ， ∴， ∴不满足乘法结合律． 题型二 多个有理数的乘法运算 4．下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需注意符号规则和零乘任何数得零的性质是解题的关键．有理数乘法中，负因数的个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；任何数乘以0都得0．根据法则逐一进行判断即可． 【详解】解：选项A：，错误，此选项不符合题意； 选项B：，错误，此选项不符合题意； 选项C：，错误，此选项不符合题意； 选项D：，正确，此选项符合题意． 故选：D． 5．如图，半径为1的圆上有一点M，点M与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上沿着同一个方向无滑动滚动，当圆滚动3周时，点M的位置表示的数是 ．（） 【答案】或 【分析】本题考查了在数轴表示有理数，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．充分理解题意，进行分类讨论，再列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当将这个圆在数轴上沿着数轴的正方向无滑动滚动， 则， 此时当圆滚动3周时，点M的位置表示的数是； 当将这个圆在数轴上沿着数轴的负方向无滑动滚动， 则， 此时当圆滚动3周时，点M的位置表示的数是； 故答案为：或． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 题型三 有理数乘法的实际应用 7．风寒指数是对人们暴露在室外风中时寒冷感觉的度量，通过下面的计算可以对风寒指数做出很好的估计：风寒指数气温风速，其中气温以华氏度（）为单位，风速以英里每小时（）为单位．当气温为，风速为时，风寒指数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据风寒指数公式直接计算即可． 【详解】解：∵风寒指数气温风速，气温，风速， ∴， ∴风寒指数， ∴风寒指数为， 故选：C． 8．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，求6张白纸粘合后的总长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先理解题意，观察图中信息，且结合粘合部分的宽为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将长为、宽为的长方形白纸，粘合部分的宽为， 故如图所示： ∴6张白纸粘合后的总长度． 故答案为： 9．2025年国庆黄金周的第一天早上，老王驾驶一辆印有“我爱昆明”字样的新能源出租车从东风广场出发，在北京路上运行载客．规定向北为正，向南为负，出租车的行驶里程（单位：） 如下：，，，，，，，，，． (1)老王驾驶出租车最后回到东风广场了吗？ (2)这天上午老王驾驶出租车总共行驶了多少千米？ (3)已知出租车每千米收费元，那么这天早上老王共收费多少钱？ 【答案】(1)老王驾驶出租车没有回到东风广场 (2)这天上午出租车总共行驶了 (3)这天早上老王共收费150元 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用，注意正负数的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，看其结果的正负即可判断其位置； （2）把各数的绝对值相加即可； （3）用行驶的路程乘以单价计算即可． 【详解】（1）解：， 老王驾驶出租车没有回到东风广场； （2）解：； 这天上午出租车总共行驶了． （3）解：（元）． 这天早上老王共收费150元． 题型四 有理数乘法运算律 10．计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先根据有理数的乘法运算律计算，再计算减法即可． 【详解】解： 故选：A 11．计算的过程中运用的运算律是 ． 【答案】乘法的交换律和乘法的结合律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，在计算过程中，通过改变因子的顺序和分组，简化运算步骤，这涉及乘法运算律的应用． 【详解】解：的过程中运用的运算律是乘法的交换律和乘法的结合律， 故答案为：乘法的交换律和乘法的结合律． 12．学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 【答案】(1)见解析 (2)有，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（）及带分数的正确拆分是解题的关键． （1）观察式子结构，发现两项均含有，利用乘法分配律提取公因式进行简便计算． （2）根据乘法对加法的分配律分析求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：有错误，园园错误地将带分数拆分为，正确拆分应为，再利用乘法分配律计算． 改正：原式 ． 题型五 有理数的除法运算 13．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，根据两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答． 【详解】解：． 故选：D． 14．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合． 【答案】0 【分析】本题考查数轴上的规律探究，根据题意，得到0，3，2，1四个数为一组，用，取余即可得出结果． 【详解】解：由题意，从开始，按照0，3，2，1四个数为一组进行循环， ∵， ∴表示的点与圆周上表示数字0的点重合； 故答案为：0 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六 有理数除法的应用 16．如图，直尺上的刻度对应数轴上的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、有理数的除法，理解题意是解题的关键．由数轴可知，1个单位长度为，再结合刻度对应数轴上的数与1的距离为，即2个单位长度，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，1个单位长度为， 刻度对应数轴上的数与1的距离为个单位长度， ∴刻度对应数轴上的数是， 故选：C． 17．根据试验测定：高度每增加，气温大约降低．某登山队从地面（温度为）出发攀登一座山峰，当队员甲到达某一高度时，测得气温为；队员乙在另一位置测得气温为．则队员甲比队员乙所在位置的高度高 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，有理数除法的应用，根据高度每增加气温降低的规律，分别计算队员甲和队员乙相对于地面的高度，再求高度差即可． 【详解】解：地面温度为，队员甲测得气温为， 气温降低值为，故甲的高度为． 队员乙测得气温为，气温降低值为， 故乙的高度为． 因此，队员甲比队员乙高． 故答案为：1． 18．我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：第1次；， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第6次：． 答：在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为． （2）解：． 答：这次治安巡逻的时间为． 题型七 有理数乘除混合运算 19．计算的结果是（   ） A． B．4 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行约分计算即可． 【详解】解：； 故选A． 20．计算的结果 ． 【答案】36 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握乘除运算的符号法则及“除以一个数等于乘它的倒数”的运算转化方法． 将除法转化为乘法，依据有理数乘法法则（同号得正、异号得负，并把绝对值相乘）依次计算． 【详解】解： ； 故答案为：36. 21．近年来，我国的新能源汽车越来越受消费者青睐，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”（如下表）． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 里程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知这辆新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家新能源汽车这7天的行驶用了多少元钱电费？ 【答案】(1)49 (2)400（千米） (3)36（元） 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第二天，最少的一天是第六天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走． 故答案为：49； （2）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：用电的费用： 答：小明家这7天的行驶费用是36元． 题型八 有理数四则混合运算 22．下面算式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加减乘除运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据有理数的加减乘除法则计算即可． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 23．如果规定符号“”的意义是，如，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义，符号“”表示两个数的乘积除以它们的和，直接代入数值计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 24．如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 【答案】(1)10 (2)经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是 (3)经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，有理数混合运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）根据点P到点B的距离等于点P到点A的距离，结合两点间距离，求出点P运动的距离，再根据运动速度求出点P运动时间，最后求出点P表示的数即可； （3）分两种情况，当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别列式求出结果即可． 【详解】（1）解：点和点之间的距离为； （2）解：，（秒）， 此时，点P对应的数为， 答：经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是； （3）解：当点P在点A的左边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为． 当点P在点A的右边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为， 综上：经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13． 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 25．王女士在王府井大街一商场看中了两件不同的衣服，希望店家都以每件120元的价格卖给她．店家发现如果这样销售，一件盈利，另一件亏损．请你用学过的知识判断一下如果店家按王女士的意愿卖这两件衣服总的情况是（   ） A．亏损10元 B．盈利8元 C．盈利10元 D．不盈不亏 【答案】A 【分析】本题考查销售问题，根据题意求出两件衣服的进价，再利用总售价减去总进价，进行判断即可． 【详解】解：由题意，两件衣服的进价分别为（元），（元）， （元）； 故亏损10元． 故选A． 26．小彤从学校乘出租车回家，起步价（不超过千米）为元，之后每多千米增加元，小彤共付了元，问小彤学校到他家最多有 千米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用．先计算超过起步价的费用部分，再除以每千米增加的费用得到超过的距离，最后加上起步价包含的4千米即可． 【详解】解：超过起步价的费用为：（元）． 每多千米增加元，因此超过的距离为：（千米）， 总距离为：（千米）． 故小彤学校到他家最多有千米． 故答案为：． 27．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为________； (2)图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； (3)由（1）、（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明问爸爸的年龄，爸爸说：“我要是你现在这么大，你才满2岁，你要是我现在这么大，我就71了”，请问爸爸现在多少岁？ 【答案】(1)8 (2)14，22 (3)48岁 【分析】本题考查了数轴、有理数四则混合运算的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）这根木棒的长等于数轴上表示6的点与表示30的点之间的距离的，据此求解即可得； （2）结合（1）的结论，利用数轴的性质列式，计算有理数的加法与减法即可得； （3）如图（见解析），设小明现在的年龄与数轴上的点重合，爸爸现在的年龄与数轴上的点重合，先求出数轴上表示的点与点之间的距离、点与点之间的距离、点与表示71的点之间的距离，再利用数轴的性质求解即可得． 【详解】（1）解：这根木棒的长为， 故答案为：8． （2）解：由（1）已得：这根木棒的长为， 则数轴上表示6的点与点之间的距离、点与表示30的点之间的距离均为， ∴图中点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：14，22． （3）解：如图，设小明现在的年龄与数轴上的点重合，爸爸现在的年龄与数轴上的点重合， 则数轴上表示的点与点之间的距离、点与点之间的距离、点与表示71的点之间的距离均为， ∴点表示的数是， 答：爸爸现在48岁． 题型十 根据点在数轴的位置判断式子的正负 28．有理数a ，b在数轴上表示的点如图所示 则下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子正负，准确分析判断是解题的关键． 根据已知数轴得到，，逐项判断即可； 【详解】由图可知：，， ，故正确，不符合题意； ， ， ，故错误，符合题意； ， ，故正确，不符合题意； ，故正确，不符合题意； 故选． 29．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，①；②；③；④，则其中正确的结论有 ． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴可得，再根据有理数的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴①②④错误，③正确， 故答案为：③． 30．点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“>”或“<”填空：______0，______0； (2)化简：______； (3)若，，、互为相反数，、互为倒数，求的值． 【答案】(1)＜，＞ (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴、整式的加减运算、绝对值的意义、代数式求值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴可得，再根据有理数加减确定代数式的正负即可； （2）先根据（1）得到不等式的正负化简绝对值，然后合并同类项即可； （3）根据绝对值的意义、相反数和倒数的定义得到，即，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，； 故答案为：＜，＞． （2）解：∵， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴， ∴． 题型十一 数轴上的翻折 31．数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．先求出点表示的数，再据此求出点C表示的数即可． 【详解】已知点表示数，点表示数2，以为折点将数轴向右对折，点的对应点为， 则点是与的中点． 因为与之间的距离是2， 所以分两种情况讨论： 此时表示的数为． 设点表示的数为，根据中点坐标公式可得，解得． 当在的右侧时： 此时表示的数为． 同样设点表示的数为，由中点坐标公式可得解得． 综上，点表示的数是或． 故选：D． 32．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，折叠的性质， 先根据点的移动可得点A，B，C，D表示的数，再根据折叠的性质得出答案． 【详解】解；一个点从数轴上的原点开始，向左平移1个单位长度得到点A表示的数是，再向左平移3个单位长度得到点B表示的数是，然后向右平移9个单位长度得到点C表示的数是． 将数轴折叠，使得点A与点C重合，则折痕处的点为线段的中点，为， 所以折痕处的点到点B和点D的距离相等，点D表示的数是． 故答案为：8． 33．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】(1)2，3 (2)①1.5；②0.75或2或3.5． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）根据两点之间的距离公式解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． （2）①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 有理数的乘除运算 题型一 两个有理数的乘法运算 1．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，，，则的值为 ． 3．定义一种新的运算：． (1)计算与，此运算满足乘法交换律吗？ (2)计算与，此运算满足乘法结合律吗？ 题型二 多个有理数的乘法运算 4．下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 5．如图，半径为1的圆上有一点M，点M与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上沿着同一个方向无滑动滚动，当圆滚动3周时，点M的位置表示的数是 ．（） 6．计算： (1)； (2)． 题型三 有理数乘法的实际应用 7．风寒指数是对人们暴露在室外风中时寒冷感觉的度量，通过下面的计算可以对风寒指数做出很好的估计：风寒指数气温风速，其中气温以华氏度（）为单位，风速以英里每小时（）为单位．当气温为，风速为时，风寒指数为（    ） A． B． C． D． 8．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，求6张白纸粘合后的总长度为 ． 9．2025年国庆黄金周的第一天早上，老王驾驶一辆印有“我爱昆明”字样的新能源出租车从东风广场出发，在北京路上运行载客．规定向北为正，向南为负，出租车的行驶里程（单位：） 如下：，，，，，，，，，． (1)老王驾驶出租车最后回到东风广场了吗？ (2)这天上午老王驾驶出租车总共行驶了多少千米？ (3)已知出租车每千米收费元，那么这天早上老王共收费多少钱？ 题型四 有理数乘法运算律 10．计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 11．计算的过程中运用的运算律是 ． 12．学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 题型五 有理数的除法运算 13．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 14．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 有理数除法的应用 16．如图，直尺上的刻度对应数轴上的数是（   ） A． B． C． D．0 17．根据试验测定：高度每增加，气温大约降低．某登山队从地面（温度为）出发攀登一座山峰，当队员甲到达某一高度时，测得气温为；队员乙在另一位置测得气温为．则队员甲比队员乙所在位置的高度高 ． 18．我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 题型七 有理数乘除混合运算 19．计算的结果是（   ） A． B．4 C．1 D． 20．计算的结果 ． 21．近年来，我国的新能源汽车越来越受消费者青睐，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”（如下表）． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 里程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知这辆新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家新能源汽车这7天的行驶用了多少元钱电费？ 题型八 有理数四则混合运算 22．下面算式正确的是（　　） A． B． C． D． 23．如果规定符号“”的意义是，如，求 ． 24．如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 25．王女士在王府井大街一商场看中了两件不同的衣服，希望店家都以每件120元的价格卖给她．店家发现如果这样销售，一件盈利，另一件亏损．请你用学过的知识判断一下如果店家按王女士的意愿卖这两件衣服总的情况是（   ） A．亏损10元 B．盈利8元 C．盈利10元 D．不盈不亏 26．小彤从学校乘出租车回家，起步价（不超过千米）为元，之后每多千米增加元，小彤共付了元，问小彤学校到他家最多有 千米． 27．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为________； (2)图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； (3)由（1）、（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明问爸爸的年龄，爸爸说：“我要是你现在这么大，你才满2岁，你要是我现在这么大，我就71了”，请问爸爸现在多少岁？ 题型十 根据点在数轴的位置判断式子的正负 28．有理数a ，b在数轴上表示的点如图所示 则下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 29．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，①；②；③；④，则其中正确的结论有 ． 30．点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“>”或“<”填空：______0，______0； (2)化简：______； (3)若，，、互为相反数，、互为倒数，求的值． 题型十一 数轴上的翻折 31．数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 32．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为 ． 33．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $