专题04 整式运算中含参数及新定义型问题（6大题型）（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题04 整式运算中含参数及新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 2 题型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 4 题型四、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 6 题型五、完全平方式中的字母参数问题 10 题型六、整式的运算中的新定义型问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 2．（24-25八年级上·河南开封·月考）已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 3．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 4．（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 7．（25-26八年级上·江西赣州·月考）关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 8．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 题型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 9．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， ∴实数的值为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·四川资阳·期末）若计算的结果中含项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点包括多项式的乘法运算法则、同类项的合并方法，以及通过系数对应关系构建方程求解参数的代数思想，核心是对整式运算和方程求解的综合应用；将多项式展开后，合并同类项，根据项的系数为，列出方程求解． 【详解】解： ∵项的系数为， ∴， 解得． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 【答案】(1)6 (2)2 (3) 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：若，则 ， 即， 解得， 则的值为6； （2） ， 若的代数式中不含的一次项， 则， 解得， 即的值为2； （3）， ， 解得， ， ， ， 即， ． 题型四、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 13．（23-24七年级上·浙江金华·月考）在长方形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，两种方式放置（图，中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，，图中阴影部分的面积表示为，图中阴影部分的面积表示为，的值与四个字母中哪个字母的取值无关（    ） A．与的取值无关 B．与的取值无关 C．与的取值无关 D．与的取值无关 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减和乘法，利用长方形的面积公式分别求得，的值，通过计算的结果即可得出结论，熟练掌握整式的乘法和加减运算及法则是解题的关键． 【详解】∵ ， ， ， ， ∴， ∴的值与无关. 故选：． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】【理解应用】； 【拓展延伸】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用： 【理解应用】先去括号得，再根据去关型问题得，进而可求解； 【拓展延伸】设，由图得，，则可得，根据题意得，进而可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 题型五、完全平方式中的字母参数问题 16．（25-26八年级上·山西临汾·期末）若是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键． 利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式，即， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如果多项式是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即或， 解得或； 故答案为：1或 18．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 19．（25-26八年级上·江西赣州·月考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，就是完全平方式．多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 ． 【答案】，，，或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的定义，多项式添加一个单项式后需满足的形式．通过比较系数和项数，得出可能添加的单项式． 【详解】解：∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； 综上，多项式添加，，，或可构成完全平方式， 故答案为：，，，或． 题型六、整式的运算中的新定义型问题 20．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式的项、项数或次数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 21．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求展开所得多项式中的一次项系数； (2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出相应的算式． （1）根据题干中提供的方法求出展开所得多项式中的一次项系数即可； （2）根据提供提供的方法列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：一次项系数为． （2）解：由题意，得二次项系数为： ， 解得， 即a的值为2． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. (1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； (2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项式是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，分当，时；当，时；当，时；分别求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴和谐值为； （2）解：∵多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式， ∴当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，此时不成立； 综上所述，的值为或． 23．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． (1)若29是“完美数”，将它写成（a、b是整数）的形式________； (2)若可配方成（m、n为常数），则＝________； (3)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (4)已知满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．． （1）把29分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （4）由已知等式表示出y，再代入中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）29是“完美数”，即 故答案为：； （2）解：， ，， ， 故答案为：； （3）解：当时，S为“完美数”，理由如下： ， （4）， ， ， ， ， ， 的最大值． 24．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题： （3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （4）已知实数、满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把10拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）首先表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）已知10是“完美数”， 将它写成（、是整数）的形式为． 故答案为：； （2）∵ ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴． 故答案为：； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， ∵、是整数， ∴、也是整数， ∴当时，为“完美数”； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为6． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若是完全平方式，则的值是（    ） A．3 B．－5 C． D．3或－5 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式的结构特征：，关键是根据公式确定中间项与首尾两项的关系，从而建立方程求解参数． 【详解】解：因为是完全平方式， 所以它可以写成的形式， 对比系数可得：， 当时，解得； 当时，解得， 因此的值为3或； 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）若展开后不含的一次项，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，结合展开式中不含，令项的系数为0，解答即可． 本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含， ∴， 解得． 故选：C． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：因为 所以， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）若展开后不含的二次项，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用多项式乘多项式的法则，将整式展开后再合并同类项，因为不含二次项，令二次项系数为零，求解的值． 【详解】解： ， 展开后不含的二次项， ， 解得：． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山西朔州·月考）若式子化简后不含的二次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法，通过展开多项式，合并同类项后，令二次项系数为零，求解 的值． 【详解】解： ∵化简后不含的二次项，则二次项系数为零， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知，，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，熟练掌握代数式求值是关键． 首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与的取值无关，可得的系数是0，据此求出的值． 【详解】解：，，， ， 的值与的取值无关， ， 故答案为：0． 10．（25-26八年级上·全国·期中）已知N是含字母x的单项式，要使多项式是某一个多项式的平方，则N 是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征．利用完全平方公式的结构特征可得多项式是某一多项式的平方，需考虑作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：①当为中间项时，多项式为 ，故； ②当为平方项时，设多项式为 ， 与比较，得， 所以； 又，所以， 代入，得， 即 ，解得 ， 于是 ， 所以N 是：或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法． 先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 13．（25-26八年级上·全国·假期作业）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期中）对于任意四个实数、、、，可以组成两个实数对与，我们规定：，例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先根据新运算的定义可得，再根据完全平方公式可得，由此即可得； （2）先根据新运算的定义可得，则，再利用完全平方公式变形可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 15．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式．并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数，通过观察，我们发现：一次项系数就是，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： 问题解答 (1)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为____． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，则直接写出，，，的值． 【答案】(1)，26 (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据给定的方法计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； （3）根据给定的方法找出的系数即可． 【详解】（1）解：根据题意，一次项系数为， 二次项系数为， 故答案为：，26； （2）解：根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）解：， ∴，，，． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高． （1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)； （4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； 故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵， ∴，， ∵ ∴， 即， ∴ ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04整式运算中含参数及新定义型问题 A题型建模·专项突破 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值1 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值… .2 题型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值… 4 题型四、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 .6 题型五、完全平方式中的字母参数问题… .10 题型六、整式的运算中的新定义型问题… B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.(24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔月考)如果x"y4与2xy"相乘的结果是2xy',那么m和n的值分别是 () A.3,5 B.2,1 C.3,4 D.4,5 2.(24-25八年级上·河南开封月考)己知单项式3x2y3与2xy2的积为mxy”，则m-n=一 3.(24-25七年级下.广东河源·月考)若(-5amb2m)2a2b=-10a3b,则2m+n=一. 4.(25-26八年级上四川巴中.月考)如果x"y4与2xy"相乘的结果是2xy,那么=_一，N=一， 4m+5n=- 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 5.(24-25七年级下.全国·课后作业)若2x(x+2)=mx2+nx,则m+n= 6.(24-25七年级下江苏无锡开学考试)要使(x2+ax-1)(-2x)的展开式中不含x4项，则a的值为 7.(25-26八年级上江西赣州月考)关于x的代数式ax(2x+1-2x·3x的化简结果中不含x的二次项，则a 的值为 8.(25-26七年级上·上海浦东新·期中)关于x的整式x与3x+b(b≠0)的乘积中所有项的系数恰巧都是1， 则a+b= 题型三、己知多项式乘积不含某项求字母的值 9.(25-26八年级上河北廊坊期末)若(3x+2)(x-m)的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为」 10.(25-26八年级上四川资阳期末)若计算1+x2x2+ar+)的结果中含x2项的系数为-2，则a的值 为 11.（24-25七年级下，全国·周测)已知M=x2-x,N=-x,P=x3+3x2+5.若M·N+P的值与x的取值 1/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 无关，则a的值为 12.(25-26八年级上湖北十堰期中)定义 b=ad-bc,如5 e d =1×4-2×3=-2.已知 2x+11 A= nx-1 2x (n为常数)，B= x+2 x xx-11 (I)若B=4,求x的值 (2)若A的代数式中不含x的一次项，求的值 (3)若A的n满足2×2+1=22，且A=2+B的值，求8x2+2x的值 题型四、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 13.(23-24七年级上·浙江金华·月考)在长方形ABCD内，将两张边长分别为Q和b(a>b)的正方形纸片按 图①，②两种方式放置（图①，②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆 盖的部分用阴影表示.若AD=m,AB=n,图①中阴影部分的面积表示为S,,图②中阴影部分的面积表 示为S2,S2-S的值与a,b,m,n四个字母中哪个字母的取值无关（) A D ① ② A.与a的取值无关 B.与b的取值无关C.与m的取值无关D.与的取值 无关 14.(25-26八年级上·吉林长春期末)【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”， 通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式=(a+3)x-6y+5,所以，则a=-3 【理解应用】 (1)若关于x的多项式(2m-3)x+2的值与x的取值无关，则m的值为： (2)已知A=2x-I)(x+1)+x(1-2y),B=-2x2+xy-1,且A+B的值与x无关，求y的值. 【能力提升】 (3)7张如图①的小长方形，长为a,宽为b,按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中 未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S,左下角的面积为S,设AB=x,当AB的长 变化时，2S,-3S2的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系. 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S S2 D 图① 图② 15.(23-24七年级下·辽宁沈阳·期中)【典例展示】 S 若关于x,y的代数式ax+3y-3x-2y+4的值与x无关，求a的值； 解：原式=ax-3x+3y-2y+4=a-3)x+y+4 :代数式ax+3y-3x-2y+4的值与x无关， a-3=0,.a=3. 【理解应用】 已知A=(4x+3)(x-2)-x1-3m,B=x2+mx-1,且A-4B的值与x无关，求m的值： 【拓展延伸】 用6张长为a,宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被 覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为S,右下角部分的面积为S2,当AD的长度发生变化时，5S2-2S 的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系. 题型五、完全平方式中的字母参数问题 16.（25-26八年级上山西临汾期末)若x2+mx+25是完全平方式，则m的值是」 17.(25-26八年级上辽宁抚顺期末)如果多项式x2+2(m+4)x+25是一个完全平方式，则m的值是 18.(25-26八年级上四川眉山月考)已知4x2++9是一个完全平方式，那么k的值为 已知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为】 19.(25-26八年级上江西赣州月考)所谓完全平方式，就是对于一个整式A,如果存在另一个整式B,使 A=B2,则称整式A是完全平方式.例如：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b,所以 a2+2ab+b2,a2-2ab+b2就是完全平方式.多项式x2+1添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加 的单项式可以是一 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型六、整式的运算中的新定义型问题 20.(24-25七年级上·上海虹口·期中)定义：整式A乘以整式B,得到整式C,如果整式C的项数正好比整 式A的项数多1，那么我们称整式B是整式A的“相邻增项式”. (1)如果A=x-2,B=2x+5,判断B是否是A的“相邻增项式”，并说明理由： (2)己知A=x-3,B=x2+2mx+n都是关于x的整式且m、均为不等于0的有理数. ①填空：当n=1时，如果B是A的“相邻增项式”，那么m的值为一； ②设D=B(A+2),E=B-A-n,如果关于x的整式D中不含x的二次项，且整式E是整式D的“相邻增项 式”，求的值 21.(23-24七年级下·安徽宿州阶段练习)阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道(2x+5)(3x-6)的展开结果是一个多项式，并且最高次项为 2x·3x=6x2,常数项为5×(-6)=-30.那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数.通过观察，我们发现一次项系数就是：2×-6)+3×5=3， 即一次项为3x, 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求(3.x-1)(5x-3)展开所得多项式中的一次项系数； (2)已知x2+x+1(x2-3x+a展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值， 22.(23-24七年级下辽宁沈阳期末)定义：对于一组多项式：x+a,x+b,x+c(a,b,c都是非零常数)， 当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一 组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值.例如：对于多项式x+1,x+2,x+4,因为 [(x+2)口(x+1(x+4)]÷x=-1,所以x+1,x+2,x+4是一组和谐多项式，和谐值为-1. (1)小明发现多项式x+3,x+6,x+12是一组和谐多项式，求其和谐值： (2)若多项式x-2,x+3,x+p(p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值 23.(24-25七年级下陕西西安·阶段练习)配方法是数学中重要的一种思想方法.这种方法常被用到代数式 的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成a2+b(α、b是整数)的 形式，则称这个数为“完美数”.例如，因为5=2+1，所以5是“完美数”。 (1)若29是“完美数”，将它写成a2+b2(a、b是整数)的形式 (2)若x2-6x+5可配方成(x-m)+n(m、n为常数)，则m=; (3)已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x、y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由； ④已知x,y满足x+x+y5=0,求x-2y的最大值 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.(24-25九年级上四川宜宾期中)配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问 题.我们定义：一个整数能表示成a+b(a、b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”. 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成a2+b(a、b是整数)的形式 (2)已知x2+y2-2x+6y+10=0,则x+y=; 探究问题： (3)已知S=x2+9y2+4x-12y+k（x、y是整数，k是常数)，要使s为“完美数”，试求出符合条件的一 个k值，并说明理由： 拓展结论： 4已知实数x、y满足-r+x+y-2=0,求5r-3y的最值 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级下.全国课后作业)若x3x"y2"=xy,则4m-3n=() A.2 B.3 C.4 D.6 2.(24-25八年级上全国·期末)若(x2+ax+1(-6x3)的展开式中不含x项，则a=() A.-6 B.0 C.I D.-1 6 3.(25-26八年级上，云南昆明·期末)若x2+(m+1)x+4是完全平方式，则m的值是() A.3 B.-5 C.±3 D.3或-5 4.(25-26八年级上·全国·期末)若x2-ax+b)(2x-4)展开后不含x的一次项，则a与b的关系是() A.a=2b B.a+2b=0 C.b+2a=0 D.b=2a 5.(24-25七年级下，江苏无锡·月考)如图，长为ycm),宽为xcm)的大长方形被分割为7小块，除阴影 A,B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm,下列说法中正确的是() ①小长方形的较长边为y-15;②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-y+5;③阴影A和阴影B的 周长之和与y值无关；④当x=25时，阴影A和阴影B的面积和为定值. 5 5/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.①③④ B.②④ C.①③ D.①④ 二、填空题 6.(24-25七年级下·全国课后作业)若3x·2y2=ny2,则n= 7.(25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末)若(x-k)x2-2x+3展开后不含x的二次项，则常数k的值为 8.(25-26八年级上山西朔州月考)若式子(mx+2)(6x2+3x+1)化简后不含x的二次项，则m的值 为 9.(24-25七年级下·安徽毫州期中)已知A=x2+3x-a,B=-x,C=x3+3x2+5,若AB+C的值与x的 取值无关，则a的值为__。 10.（25-26八年级上全国期中)已知N是含字母x的单项式，要使多项式x2+N+16是某一个多项式的平 方，则N是 三、解答题 11.(24-25八年级上河南周口期末)若(am+b-2）(a2m-b2m=ab3,则求m+n的值. 12.(25-26八年级上全国课后作业)己知-2x2(3x2-ax-6)-3x3+x2的计算结果中不含x的三次项，求a 的值 13.(25-26八年级上·全国假期作业)定义：一个多项式A乘一个多项式B,运算结果化简后得到多项式C, 若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特 别友好多项式”， (1)若A=x+3,B=2x-1,请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由. (2)若A=x-3,B=x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的特别友好多项式”，求a的值， 14.(25-26八年级上福建泉州期中)对于任意四个实数s、t、4、,可以组成两个实数对(s,与4，)， 我们规定：(s,⑧(，)=s2+v2-,例如：（1,2)⑧(3,4)=12+42-2×3=11 (1)若(2x,kx⑧(，-y)是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若x+2y=8,且x+2y,4x2+y2)⑧(1,2x-y=100,求y的值 15.(25-26八年级上四川宜宾月考)阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道 (行+4小2+5引3-6的结果是一个多项式并且最高次项为：23=3，常数装为： 4×5×-6)=-120,那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数，通过观察，我们 发现：一次项系数就是，×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5=-3，即一次项为-3x.参考材料中用到的方法，解 决下列问题： 6/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 问题解答 (1)计算(x+2)(3x+(5x-3)所得多项式的一次项系数为，二次项系数为。 (2)如果计算(x2+x-1)(x2-3x+a(2x-l)所得多项式不含一次项，求a的值； (3)如果(x+1）24=a,x2024+ax2023+a,x202+…+a2o23x+a2024,则直接写出a,4，a23，a4的值， 16.(24-25七年级下广东佛山期中)教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算， 学会了研究运算的方法.现定义了一种新运算“⑧”，对于任意有理数a,b,c,d规定 (a,b)⑧(c,d)=ad-bc.例如：(1,3)⑧(2,4)=1×4-2×3=-2 请解答下列问题： E D C F D S G S a 图1 图2 图3 (1)填空：（-3,5)⑧(6,2)=-： (2)若(x+1,x+2)⑧(4，x+)的代数式中不含x的一次项时，求的值： (3)如图1，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G,当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方 形时，设正方形ABGF和正方形CDEG的边长分别为Q,b,若BE=9,(a+1,b2+1)⑧(-1，a-1)=40,求 出阴影部分的面积， (4)如图2，小长方形长为a,宽为b,用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形ABCD内， 其中AB=5,大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为S,右上角长方 形的面积为S2,当2S,-3S2=5时，求(2a+b,b)⑧(-4b+3,2a-4b)的值. 7/7