精品解析：浙江省绍兴市柯桥区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024学年第二学期八年级期末学业评价调测试卷数学 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷二部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分100分，考试时间100分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共8页． 3．请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑、涂满． 试卷Ⅰ（选择题，共20分） 一、选择题（本题有10小题，每小题2分，共20分） 1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可． 【详解】解：A．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； B．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； C．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； D．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 3. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决． 根据多边形的内角和公式及外角的特征列方程计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： ，解得． 故选：B． 4. 已知一元二次方程可配成，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 5. 嘉嘉在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（ ） A. 有一个内角是 B. 有一组邻边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 根据平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定依次判断即可； 【详解】解：A、有一个内角是的平行四边形是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：C． 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，直角三角形的两个锐角互余，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立．原命题为“至少有一个锐角不大于”，其反面是“所有锐角都大于”． 【详解】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，即存在一个锐角小于或等于． 反证法需假设结论的反面成立，即“两个锐角都大于”．此时，两个锐角的和将超过，与直角三角形中两锐角之和为矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．选项中对应“每一个锐角都大于”的是D． 故选：D． 7. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意； 添加一个数8后方差为 即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， 即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 8. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 9. 若反比例函数的图象上有，两点，则（　　） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，结合各选项条件逐一分析． 【详解】解：A、当时，和均为负数，点和均在第三象限，在第三象限内，增大时，的值减小，例如，，则，，此时，选项A正确； B、当时，可能存在的情况，例如，，则，，此时但，故选项B错误； C、当时，为负数，为正数，此时，，显然不成立，选项C错误； D、当时，需和均为正数且，但在第一象限内，增大时减小，若，则，导致，矛盾，故选项D错误． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，连接，交于，作平分，交于，由矩形性质得，，进而得，，得到，，即得，得到，由平分，可得，得到，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，交于，作平分，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， 故选：． 试卷Ⅱ（非选择题，共80分） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可得出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 故答案为：． 12. 在平行四边形中，，则______． 【答案】##115度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得，继而得到，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为； 令， 关于的一元二次方程化为， 的解为， 的解为，即或， ， 关于的一元二次方程的解是， 故答案为：． 14. 已知，如图，在中，，点、分别是、的中点，连接，在上有一点，，连接，，若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长． 【详解】解：，点D是的中点， ， ， ， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，四边形内角和，三角形外角的性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：①当与的夹角是时，即，利用四边形内角和求解即可；②当与的夹角是时，即，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：点为对角线上一点， 线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图所示： ， ， ， 在四边形中，， ， ； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 16. 如图，直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，点在函数的图像上，过点分别作，轴的垂线交直线于点，，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数图象，反比例函数图象上点的特点，两点之间距离公式的计算是解题的关键． 根据题意分别求出，设，根据图形可得点的纵坐标为，点的横坐标为，分别代入直线中可得，根据两点之间距离公式分别求出即可求解． 【详解】解：依题意，在直线中， 令，则， 令，则， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，根据图示可得，， ∵轴交于直线于点，轴与直线交于点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴把代入直线解析式得，， 解得，，即， 把代入直线解析式得，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共62分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类二次根式，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项整理得，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴或 解得， 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， 即， ∴或 解得，． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点，均在格点上． （1）在图①中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上． （2）在图②中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用数形结合的思想解决问题． （1）利用数形结合的思想作图，则，，即四边形是平行四边形，且，进行作答即可； （2）取的垂线上且在格点上的点即E、F，，且，根据正方形的判定作图即可． 【小问1详解】 解：平行四边形的周长为， ， 即可确定C、D的位置， 如图所示，平行四边形为所求作图形； 【小问2详解】 解：如图所示，正方形为所求作图形． 20. 为了解学生零花钱的使用情况，某校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题： （1）校团委随机调查了多少学生? （2）求被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数； （3）为捐助贫困山区儿童学习，全校1000名学生每人自发地捐出一周的零花钱．请估算全校学生共捐款多少元? 【答案】（1）40名学生 （2）30元 （3）估算全校学生共捐款33000元 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据统计图可以求得校团委随机调查的学生数； （2）求出有20元零花钱的学生数，可以得到被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数； （3）根据统计图中的数据可以估算全校学生共捐款的钱数． 【小问1详解】 解：（名）， 答：校团委随机调查了40名学生； 【小问2详解】 解：零花钱是20元的人数是：（人）． ∴这组数据从小到大排列后的第20个数和第21个数为30， ∴中位数为：（元）； 【小问3详解】 解：（元）， 答：估算全校学生共捐款33000元． 21. 如图，在平行四边形中，，垂直平分分别交于点E，O，F． （1）判断四边形是何种特殊四边形？并说明理由． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）先证明，则，又由得到四边形是平行四边形，由垂直平分即可证明四边形是菱形； （2）先证明是直角三角形，则，则，得到，得到，则，即可得到菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理逆定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． （1）如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； （2）如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 【答案】（1）①或；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意先求出，然后分两种情况，并结合待定系数法解答，即可求解；②设，则点，点，从而得到点，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出s的值，即可求解； （2）先求出正比例函数解析式为，可设点，则，，从而得到，再由折叠的性质可得，延长交y轴于点F，结合矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出m的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵点的坐标为，轴，轴，且，， ∴点， 当直线过点B，D时， 把，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 当直线过点A，C时， 把点，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 综上所述，该函数解析式为或 故答案为：或 ②∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵反比例函数是矩形的“对角函数”， ∴点B，D在反比例函数的图象上， 设点，则点， ∵轴，且， ∴点， ∵轴， ， ∴点， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点； 【小问2详解】 解：点的坐标为，正比例函数经过点， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∵正比例函数是矩形的“对角函数”， 可设点，则，， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为， ∴， 如图，延长交y轴于点F， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵四边形是矩形，轴， ∴轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或2， ∵， ∴，即， ∴， ∴点， 把点代入得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“对角函数”，利用数形结合思想求解是解题的关键． 23. 根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【答案】问题1：，．问题2：．问题3： 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系、多项式乘多项式是解决本题的关键． 问题1．利用根与系数的关系直接可得结论； 问题2．利用根的判别式和根与系数的关系得关于m的不等式，求解即可． 问题3．先把解代入方程，变形后用含m、n的代数式表述出要求的两个代数式、，再利用根与系数的关系计算得结论． 【详解】解：问题1．∵的两个实数根为， ∴，． 故答案为：，． 问题2．∵关于x的一元二次方程有两个实数根为， ∴， 解得： 又． ∵， ∴． ∴． ∴； 问题3．∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴，，，． ∴． ∴ ． 24. 清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值； （3）若记，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由正方形得到，， ，即可证明，得到，再根据得到； （2）先求出，再根据得到，再证明，得到，则，代入求值即可； （3）设，，则，，由，得到，，解得，则，由（2）得，然后分别表示出，再根据，得到，最后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形，和， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，，则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， 由（2）得，， ∴， ，， ∵， ∴， 整理得， 由图形可得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级期末学业评价调测试卷数学 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷二部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分100分，考试时间100分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共8页． 3．请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑、涂满． 试卷Ⅰ（选择题，共20分） 一、选择题（本题有10小题，每小题2分，共20分） 1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知一元二次方程可配成，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 5. 嘉嘉在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（ ） A. 有一个内角是 B. 有一组邻边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 7. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 8. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若反比例函数的图象上有，两点，则（　　） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为( ) A. B. C. D. 试卷Ⅱ（非选择题，共80分） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是 ___________ ． 12. 在平行四边形中，，则______． 13. 已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是______． 14. 已知，如图，在中，，点、分别是、的中点，连接，在上有一点，，连接，，若，则___． 15. 如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是___． 16. 如图，直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，点在函数的图像上，过点分别作，轴的垂线交直线于点，，则的值为___． 三、解答题（共8小题，共62分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点，均在格点上． （1）在图①中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上． （2）在图②中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上． 20. 为了解学生零花钱的使用情况，某校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题： （1）校团委随机调查了多少学生? （2）求被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数； （3）为捐助贫困山区儿童学习，全校1000名学生每人自发地捐出一周的零花钱．请估算全校学生共捐款多少元? 21. 如图，在平行四边形中，，垂直平分分别交于点E，O，F． （1）判断四边形是何种特殊四边形？并说明理由． （2）求四边形的面积． 22. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． （1）如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； （2）如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 23. 根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 24. 清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值； （3）若记，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $