精品解析：陕西西安市高新区第三初级中学2025-2026学年下学期期末考试八年级数学试题

2025~2026学年度第二学期期末考试 八年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B.     C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后能够与自身重合的图形．根据定义对各选项图形进行判断即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形沿中间竖直直线折叠后两旁的部分能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形绕中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；找不到任何一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故符合题意． 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，依次逐项判断即可． 【详解】解：A：，是整式乘法，不是因式分解； B：，右边不是积的形式，不是因式分解； C：，右边是积的形式，属于因式分解； D：，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解； 故选：C． 3. 王师傅给客户加工一个平行四边形零件，他用下列方法检查这个零件，不能判定为平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．由，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判断四边形零件是平行四边形，故A不符合题意； B．由，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，判断四边形零件是平行四边形，故B不符合题意； C．由，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判断四边形零件是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，无法判断四边形零件是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 6. 下列各式中，是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知为的中位线，然后根据矩形的对角线相等且相互平分，求得，进而根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ， ， ，即点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ． 8. 如图，点分别是正方形四条边上的点，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，证明出四边形、是正方形，再结合勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形、、均为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴四边形与四边形的面积之和为， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 把因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合公式法和提公因式法分解因式，先提取公因式，再对余下的二次式应用平方差公式进行因式分解即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，此时点刚好落在线段上，已知，则旋转角等于___________度． 【答案】39 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质和三角形内角和定理，根据旋转的性质得到，再根据计算即可； 【详解】∵绕点A旋转得到， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：39． 11. 若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 12. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. 【答案】x≠-2． 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围． 【详解】∵分式 在实数范围内有意义， ∴x+2≠0， 解得：x≠-2， 则x的取值范围是：x≠-2． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 13. 如图，在中，，则图中平行四边形的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解： 平行四边形， ∴    可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形  图中的平行四边形有： 平行四边形 () 、平行四边形 () 、平行四边形 () 、平行四边形 ()、 平行四边形 () 、平行四边形 ()，   共有个平行四边形． 14. 如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、、，根据矩形的性质和勾股定理，得出，利用直角三角形的斜边中线，得出，证明四边形是矩形，则，当点在上时，有最小值为． 【详解】解：如图，连接、、， 矩形，，， ，，， ， ， ， 在中，O为的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即当点在上时，有最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解下列不等式组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】首先分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【小问1详解】 解：  解不等式①，得      ， 解不等式②，得    ， ∴原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：  解不等式①，得     ，  解不等式②，得    ，  ∴原不等式组的解集为． 16. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤，验根是解答的关键． （1）先将分式化为整式方程，然后解整式方程，最后检验计算结果即可； （2）先将分式化为整式方程，然后解整式方程，最后检验计算结果即可． 【小问1详解】 解：去分母，得： 整理，得 解得 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：去分母，得： 整理，得 解得 经检验，是原方程的增根， 原方程无解． 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 移项得 配方得 即 开方得或 解得； 【小问2详解】 移项得 变形得 提取公因式得 化简得 即或 解得． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了根据平移作图、作已知图形的中心对称图形、根据旋转的性质确定对称中心等知识． （1）根据平移的要求确定点、、三个点，即可做出； （2）根据中心对称的性质确定、、三个点，即可做出； （3）如图，观察图形得到和关于某点中心对称，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 【小问1详解】 解：解：如图，即为所求作的三角形： ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形： 【小问3详解】 解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 20. 已知：如图，将纸片折叠，使得点落在点的位置，折痕为，连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ． ． 由折叠过程可知，，， ． ． ． 四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】根据折叠的性质，平行四边形的性质和判定证明即可． 本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，在正方形中，对角线和相交点于O，点E、F、G、H分别在、、、上，且．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：正方形， ，， ， ， ∴四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 【详解】略 22. 2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． （1）若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ （2）在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 【答案】（1）35元 （2） 【解析】 【分析】（1）设售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设这两周销售量的平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为元，则单个玩偶的利润为元， 这周的销售量为个， 由题意，得， 整理得，解得，． 因为要最大程度让利消费者，所以舍去，售价应定为35元； 答：售价应定为35元． 【小问2详解】 解：设这两周销售量的平均增长率为． 由（1）知售价为35元时，第二周的销售量为（个）， 则， 解得，（舍去）． 答：这两周销售量的平均增长率为． 23. 如图，已知在中，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理； （1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若是的平分线，当，时，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由即可证明； （2）先由勾股定理求出的长度，即为该三角形的高，再结合角平分线与平行的性质得到，由等角对等边即可求解的长度，由此可解的长度，即为该三角形的底，由此求解三角形的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵在中，，且， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∵是的平分线， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形为矩形． （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形． 【答案】（1）时，四边形是矩形 （2）不存在，某一时刻t，使四边形使菱形，当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，以及勾股定理解三角形． （1）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）过作于N，根据勾股定理得，当时，四边形为平行四边形，进而可得，可知不存在，某一时刻t，使四边形是菱形，设Q的速度为，根据当时，四边形是平行四边形，得到，再根据当时，是菱形，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，， 当时四边形是矩形． 又∵，， ∴， ∴时，四边形是矩形； 【小问2详解】 不存在，某一时刻t，使四边形是菱形；理由如下： 过作于N，则四边形均为矩形， ∴，，， 由勾股定理得：， 当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴不存在，某一时刻t，使四边形是菱形； 设Q的速度为， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 当时，是菱形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形． 26. 已知：菱形，，点为菱形对角线所在直线上任意一点（不与点、重合）射线绕点顺时针旋转后交射线于点，连接， （1）如图1，当点在线段上时，请直接写出三条线段，，之间的数量关系； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立？请说明理由；若不成立？请写出正确的结论，并说明理由； （3）【问题解决】 如图3是某市一个平行四边形的休闲花园，．园艺师要在花园的边，上分别设置景观，，且景观到点的距离和景观到点的距离相等（即），为方便观赏，要在景观，景观和花园出入口之间分别修一条小路，，为了更好的观景角度，设计师要求，测量得千米，千米，为方便后续布置装饰灯带等设施，请求出景观与景观之间的距离． 【答案】（1） （2）解：结论不成立，正确结论为，理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）得， ∴为等边三角形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）千米 【解析】 【分析】（1）利用菱形内角推出，在延长线上截取构造等边，结合旋转性质证，将转化为，通过线段和差推导出； （2）在上截取构造等边，结合旋转的等边性质证明，将转化为，由线段和差关系得出； （3）将绕点逆时针旋转得到，先证把转化为，再证得到长度与对应角度；作双垂线构造直角三角形，利用含直角三角形的性质求出各直角边长，最终由勾股定理计算出的长度． 【小问1详解】 解：∵菱形中，， ∴，平分， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴为等边三角形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过作于，过作于， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，千米， ∴， ∴千米， ∴千米， ∴， ∴在和中， ∴， ∴千米，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 八年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B.     C. D. 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 王师傅给客户加工一个平行四边形零件，他用下列方法检查这个零件，不能判定为平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列各式中，是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 8. 如图，点分别是正方形四条边上的点，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 把因式分解的结果是______． 10. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，此时点刚好落在线段上，已知，则旋转角等于___________度． 11. 若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 12. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. 13. 如图，在中，，则图中平行四边形的个数是______． 14. 如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解下列不等式组 （1）； （2）． 16. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 17. 解分式方程： （1） （2） 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 20. 已知：如图，将纸片折叠，使得点落在点的位置，折痕为，连接，求证：四边形为平行四边形． 21. 如图，在正方形中，对角线和相交点于O，点E、F、G、H分别在、、、上，且．求证：四边形是正方形． 22. 2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． （1）若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ （2）在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 23. 如图，已知在中，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 24. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若是的平分线，当，时，求的面积． 25. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形为矩形． （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形． 26. 已知：菱形，，点为菱形对角线所在直线上任意一点（不与点、重合）射线绕点顺时针旋转后交射线于点，连接， （1）如图1，当点在线段上时，请直接写出三条线段，，之间的数量关系； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立？请说明理由；若不成立？请写出正确的结论，并说明理由； （3）【问题解决】 如图3是某市一个平行四边形的休闲花园，．园艺师要在花园的边，上分别设置景观，，且景观到点的距离和景观到点的距离相等（即），为方便观赏，要在景观，景观和花园出入口之间分别修一条小路，，为了更好的观景角度，设计师要求，测量得千米，千米，为方便后续布置装饰灯带等设施，请求出景观与景观之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $