精品解析：陕西省咸阳市秦都区 2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年度第二学期期末 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、班级、监测号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为， ， 解得，． 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形；依次判断四个选项即可． 【详解】解：根据中心对称图形定义逐一分析： 选项A：绕任意一点旋转后，图形与原图无法重合，不是中心对称图形； 选项B：将图形绕中心旋转，旋转后的图案与原图完全重合，是中心对称图形； 选项C：旋转后无法与原图重合，仅为轴对称图形，不是中心对称图形； 选项D：瓶内气泡、液面形状旋转后和原图不一致，不是中心对称图形． 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项． 【详解】解：选项A、 ， ， 故A错误； 选项B、， ， 故B错误； 选项C、， ， 故C正确； 选项D、， ， 故D错误． 4. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解要求左边为多项式，右边为几个整式的乘积，据此逐一判断各选项． 【详解】解：A 选项：，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，故A选项不符合要求； B 选项：，是整式乘法，从乘积化为多项式，不是因式分解，故B选项不符合要求； C 选项：，右边不是整式，结果不是整式乘积，不是因式分解，故C选项不符合要求； D 选项：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故D选项符合要求． 5. 如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，因为点是的中点，可得，已知，则题目可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 6. 古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量总价单价，分别表示出降价后和按原价购买布的数量，再根据题目给出的倍数关系列出方程即可． 【详解】解：设每匹布原价为钱，则降价后每匹布的价格为钱， 降价后用48钱买到布的数量为，原价用48钱买到布的数量为． 降价后买到布的数量是原价购买数量的倍， 可列方程为． 7. 如图，在中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线定理可知，在中，，且，即，则题目可求． 【详解】解：点、分别是、的中点， ∴， ∵在中， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程的增根是化为整式方程后，使原分式方程分母为零的根，先确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出m的值． 【详解】解：原方程为，方程的最简公分母为， 原方程有增根， ， 令或， 解得或 原方程两边同乘去分母得： 整理得： 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 的值为或． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 10. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108° ∴每一个外角为72° ∵多边形的外角和为360° ∴这个多边形的边数是：360÷72=5 故答案为：5 11. 如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴， 则平移的距离为． 12. 如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据有最小值可得，由此可得，结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：当有最小值时，则有， ∵， ∴， ∵， ∴为的角平分线， ∵ ∴． 13. 在不等式组的解集中，整数解共有_______个． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴整数解为：，，，共个 14. 如图，在中，，，，点在边上，连接、，若，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】作，，可求，利用面积法可求，利用勾股定理可求，由已知条件可证，根据等腰三角形三线合一得可求． 【详解】解：作，， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ； ，， 原式 ． 16. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号得， 整理得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 17. 解不等式，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】； 【解析】 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴不等式的解集为． 18. 如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求．（作法不唯一） 【解析】 【详解】解：由作图知平分， 作， 则， ． 19. 如图，在梯形中，，点是边上一点，连接、、，与交于点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：， ． 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】因为，可得，利用可证明题目． 【详解】略 20. 先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】先进行分式的混合运算，再代入使分式有意义的数求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将先向下平移5个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，点、、的对应点分别为点、、； （2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点、、的对应点分别为点、、． 【答案】（1）如图所示 （2）如图所示 【解析】 【分析】（1）先根据平移的性质确定点、、的位置，再连线即可； （2）先根据旋转的性质确定点、、的位置，再连线即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 22. 咸阳博物院位于咸阳市中山街中段，是国家一级博物馆．某校组织一名带队老师与部分学生去咸阳博物院研学，现有甲、乙两家旅行社可供选择，两家旅行社的初始报价均为200元/人． 甲旅行社：若带队老师买全票一张，则学生可享受半价优惠； 乙旅行社：带队老师及学生全部按6折收费． 设学生人数为（人），选择甲、乙旅行社的总费用分别为（元）、（元）． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）当学生人数在什么范围时，选择甲旅行社更优惠？ 【答案】（1）； （2）当学生人数大于4人时，选择甲旅行社购票更优惠 【解析】 【分析】（1）根据题意分别写出、与之间的函数关系式； （2）若甲旅行社更优惠，即，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ． 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得， 当学生人数大于4人时，选择甲旅行社购票更优惠． 23. 先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2． 再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： （1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2． （2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4； 【答案】（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2． 【解析】 【分析】（1）将（2x-3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解． （2）令A=a+b，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解． 【详解】解：（1）原式=（1+2x-3y）2． （2）令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2， 故：（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2． 故答案为（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 24. 如图，在中，点在边上，于点，于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：， ． ，， 和是直角三角形． 在和中， ， ， ， ∴， 平分 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，则，题目可证； （2）由已知可得，，由外角性质即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：平分，， ． ， ， ． 25. 端午节，又称端阳节、龙舟节，主要习俗有吃粽子、赛龙舟、佩戴香囊等．某商家购进甲、乙两种款式的香囊，已知每个甲款香囊的进价是每个乙款香囊进价的倍，该商家购进甲款香囊共花费元，购进乙款香囊共花费元，且购进的乙款香囊比甲款香囊多个． （1）求每个乙款香囊的进价； （2）该商家将购进的乙款香囊以每个元的价格进行销售，当售出乙款香囊数量的时，决定降价促销，若要使乙款香囊的总销售利润不低于元，求剩余的乙款香囊每个的售价最低是多少元？（除进价外不计其他成本） 【答案】（1）每个乙款香囊的进价是5元 （2）剩余的乙款香囊每个的售价最低是8元 【解析】 【分析】（1）设每个乙款香囊的进价为元，则每个甲款香囊的进价为元，根据题意列分式方程即可求解； （2）设剩余的乙款香囊每个售价为元，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个乙款香囊的进价为元，则每个甲款香囊的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：每个乙款香囊的进价是5元． 【小问2详解】 解：由（1）可得该商家购进乙款香囊（个）， 设剩余的乙款香囊每个售价为元， 根据题意得， 解得， 剩余的乙款香囊每个的售价最低是8元． 26. 探究图形中角的大小和线段长度的最值，并完成以下问题 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点、、分别是、、的中点，连接． ①的度数为________； ②若，，点是上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，是某工业园的平面图，、是原有的两条小路（点、分别在、上），现要在小路上设立一个自助售货机，再从分别向点和上的点铺设两条石板小路和．已知点到点的距离等于，点是的中点，，，，当与两条石板小路长度之和最小时，求点到点的距离．（小路的宽度与售货机的大小均忽略不计） 【答案】（1）①90②5 （2）与两条小路长度之和最小时，点到点的距离为 【解析】 【分析】（1）①根据中位线定理即可求；②可证垂直平分，则，当、、三点共线时，最小，即最小，最小值为的长，求解即可； （2）连接、，过点作于点，交于点，利用面积法可求，由已知可证垂直平分，则，当、、三点共线，且时，最小，此时点与点重合，点与点重合，最小值为的长，即与两条小路长度之和最小时，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点、分别是、的中点， ∴， ∴； ②解：连接、，如图1． 由①易得． 点是的中点， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，即最小，最小值为的长． ，点是的中点， ． ， ， 的最小值为5． 【小问2详解】 解：连接、，过点作于点，交于点，如图2． 四边形是平行四边形，，， ，． ， ， ，则． 点到点的距离等于， 点在的垂直平分线上． 点是的中点， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线，且时，最小，此时点与点重合，点与点重合，最小值为的长，即与两条小路长度之和最小时，． ，，， 与两条小路长度之和最小时，点到点的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、班级、监测号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解x3－9x=__________． 10. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 11. 如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 12. 如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 13. 在不等式组的解集中，整数解共有_______个． 14. 如图，在中，，，，点在边上，连接、，若，则的长为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 先因式分解，再求值：，其中，． 16. 解方程． 17. 解不等式，并将解集表示在如图所示的数轴上． 18. 如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在梯形中，，点是边上一点，连接、、，与交于点，，求证：四边形是平行四边形． 20. 先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将先向下平移5个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，点、、的对应点分别为点、、； （2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点、、的对应点分别为点、、． 22. 咸阳博物院位于咸阳市中山街中段，是国家一级博物馆．某校组织一名带队老师与部分学生去咸阳博物院研学，现有甲、乙两家旅行社可供选择，两家旅行社的初始报价均为200元/人． 甲旅行社：若带队老师买全票一张，则学生可享受半价优惠； 乙旅行社：带队老师及学生全部按6折收费． 设学生人数为（人），选择甲、乙旅行社的总费用分别为（元）、（元）． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）当学生人数在什么范围时，选择甲旅行社更优惠？ 23. 先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2． 再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： （1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2． （2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4； 24. 如图，在中，点在边上，于点，于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 25. 端午节，又称端阳节、龙舟节，主要习俗有吃粽子、赛龙舟、佩戴香囊等．某商家购进甲、乙两种款式的香囊，已知每个甲款香囊的进价是每个乙款香囊进价的倍，该商家购进甲款香囊共花费元，购进乙款香囊共花费元，且购进的乙款香囊比甲款香囊多个． （1）求每个乙款香囊的进价； （2）该商家将购进的乙款香囊以每个元的价格进行销售，当售出乙款香囊数量的时，决定降价促销，若要使乙款香囊的总销售利润不低于元，求剩余的乙款香囊每个的售价最低是多少元？（除进价外不计其他成本） 26. 探究图形中角的大小和线段长度的最值，并完成以下问题 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点、、分别是、、的中点，连接． ①的度数为________； ②若，，点是上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，是某工业园的平面图，、是原有的两条小路（点、分别在、上），现要在小路上设立一个自助售货机，再从分别向点和上的点铺设两条石板小路和．已知点到点的距离等于，点是的中点，，，，当与两条石板小路长度之和最小时，求点到点的距离．（小路的宽度与售货机的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $