精品解析：山东临沂市2025-2026学年高二下学期普通高中学科素养水平监测数学试卷

高二年级普通高中学科素养水平监测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，又，故， ，则. 2. 函数求导正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数运算法则逐项计算可判断各选项的正误. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要的定义，举出反例即可作出判断. 【详解】由题可知，，根据指数函数单调递增，所以， 当时，，所以不是的充分条件；当时，满足，但， 因此，是的既不充分也不必要条件. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，结合函数表达式，通过符号先判断选项C错误；结合指数的增长远快于，可判断选项B和D错误. 【详解】由题可知，函数的定义域为， 则当时，，，所以；当时，，，所以，则选项C错误； 又当时，指数的增长远快于，所以当时，，则选项B和选项D错误. 5. 某校高二、一班共有男生30人，女生20人，从该班学生中选出5人组成一个数学建模兴趣小组，小组中女生人数为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 且，. 所以. 6. 有6名同学站成一排照相，要求其中甲乙两位同学不站在一起，丙丁两位同学站在一起，共有站法种数为（ ） A. 120 B. 144 C. 240 D. 336 【答案】B 【解析】 【详解】把丙丁看成一个整体，丙丁之间有种排列方式， 此时相当于有丙丁整体和另外2名同学，共3个元素进行全排列， 排列数为种， 这3个元素排好后，会形成4个空位（包括两端），从中选2个空位安排甲乙， 保证甲乙不相邻，排列数为种， 将各步骤结果相乘得到，故选项B正确. 7. ，使成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，， 令，解得（）， 当时，，在上是单调递减函数， 当时，，在上是单调递增函数， 即函数在时取极小值且为上的最小值， 令，则；，则； ，则，即在上的最大值为， 若使得不等式成立，则即可， 即，解得，即， 即，故选项C正确. 8. 已知二项式的展开式中所有项的系数和为128，若，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【详解】将代入，得所有项系数和为. 因为，因此得. 已知，正态分布的正态曲线关于直线对称，本题中，即对称轴为. 由得，说明关于对称轴对称， 根据正态分布对称性，又， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由可知，且. 选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. 10. 根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加该点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数变大 D. 相关系数变小 【答案】AD 【解析】 【分析】新增的点是偏离原正相关趋势的离群点，会削弱线性相关性，因此决定系数变小、相关系数变小，残差平方和变大. 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 选项A，决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，A正确； 选项B，残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，B错误； 选项C，越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，C错误，D正确 11. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 关于的方程有3个实数根 C. 当时，关于的方程有4个实数根 D. 若函数，则对于，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析函数的定义域、值域等基本性质，通过换元法处理含的方程根的个数问题，结合函数单调性判断选项D即可. 【详解】函数的定义域为，为偶函数，令且，则. 对选项A： ∵ . ∴ 当时，，故. 当时，，故. ∴ 的值域为，A正确. 对选项B： 令，方程转化为. 解得（舍去），即，故或. ∵ 时，，共个解. 时，，共个解. ∴ 方程共有个实根，B正确. 对选项C： 令，方程转化为，判别式. 当时，，方程有两个不等实根，由韦达定理得，. 若，则方程根为或，时无解，对应3个实根，总解数为3，不符合“4个实根”的结论，故C错误. 对选项D： 当时，，显然在上单调递减. ∵ 时，，且，即. ∴ ，即，D正确. 【点睛】方法归纳：本题考查含绝对值的分式函数性质，处理复合方程问题常用换元法将复杂方程转化为二次方程求解，结合函数值域判断解的个数；单调性比较函数值大小需先判断自变量大小关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数.其中为正实数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合分段函数的区间求解即可. 【详解】，. 13. 若函数满足，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过递推式推出函数周期为6，再利用周期性把转化为，最后递推得. 【详解】因为，所以， 两式相加得，则， 所以函数的周期是6， 因为，所以. 14. 在维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标（，，…，），其中（，）．定义：在维空间中两点（，，…，）、（，，…，）的曼哈顿距离为．在3维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定3维立方体顶点总数，得到任取两点的总基本事件数，再分类计算曼哈顿距离为1、2、3的事件数，得到对应概率，最后利用期望和方差公式求解方差即可. 【详解】∵ 3维立方体共有个顶点，任取两个不同顶点的总取法为. 随机变量的可能取值为1，2，3. 当时，两点仅有1个坐标分量不同，其余2个坐标分量相同， ∴ 满足条件的点对数量为，故. 当时，两点有2个坐标分量不同，剩余1个坐标分量相同， ∴ 满足条件的点对数量为，故. 当时，两点3个坐标分量均不同， ∴ 满足条件的点对数量为，故. ∴ ， ， ∴ . 【点睛】方法归纳：本题考查离散型随机变量的方差计算，核心是结合曼哈顿距离的定义分类计数确定各取值对应的概率，再套用期望、方差公式求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究学生的课外阅读情况对数学成绩的影响，某学习小组从该校高二全体学生中随机抽取100名学生开展问卷调查．调查规定：每周有固定课外阅读时间的学生记为“坚持课外阅读”，否则记为“不坚持课外阅读”；根据学生的数学成绩，分为“优秀”和“不优秀”两类．经统计得出如下列联表： 单位：人 数学成绩 课外阅读 合计 不坚持课外阅读 坚持课外阅读 不优秀 40 20 60 优秀 10 30 40 合计 50 50 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与坚持课外阅读有关联？ （2）在统计中，常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，称为似然比．现从这100人中任选一人，表示“选到的人坚持课外阅读”， 表示“选到的人数学成绩优秀”，请利用样本数据，估计． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）数学成绩与坚持课外阅读有关联 （2） 【解析】 【分析】(1) 直接代入公式求进而即得； (2) 利用条件概率公式结合条件求解即得. 【小问1详解】 零假设：数学成绩与坚持课外阅读无关． 易知． 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即能认为数学成绩与坚持课外阅读有关联，该推断犯错误的概率不大于0.05． 【小问2详解】 由题意可知，，， 所以． 16. 脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换．未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，． 7.32 2.2 80.26 4.70 13.24 2.82 （1）根据模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过9亿元，研发人员增量至少为多少人？（精确到1） （2）现从全国同类企业中随机调研12家，已知每家企业能达到（1）中收益增量水平的概率为0.7，且各企业是否达标相互独立．记这12家企业中达到该收益增量水平的企业数为．求的数学期望，并求使得概率取得最大值的正整数． 附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其经验回归直线的斜率及截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1），26人 （2）8.4， 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法求解线性回归方程，即可换元得非线性回归方程，代入即可求解预测值. （2）法一，利用作商法判断的单调性，进一步得到所求的值； 法二：利用求的值. 【小问1详解】 根据题意知：， 所以， 则关于的经验回归方程为， 所以关于的经验回归方程为， 由题意，，解得， 又为整数，所以要使年收益增量超过9亿元，研发人员增量至少为26人． 【小问2详解】 由题意，，． 法一、作商法：． 令， 即时单调递增，时单调递减， 故使得概率取得最大值的正整数． 法二、不等式组，则， 化简得，解得. 故使得概率取得最大值的正整数． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若函数的图象关于直线对称，求，； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域求解即可. （2）根据函数的对称性求解即可. （3）根据函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由，即，解得或， 得到的定义域为． 【小问2详解】 由（1）可知，的定义域为. 因为函数的图象关于直线对称，所以， 则，即， 所以， 从而，解得，故，． 【小问3详解】 ①当时，， 易知在和在上均单调递增， 由复合函数的单调性知在为增函数， 则等价于，即， 记，显然为上的增函数，，所以． ②当时，， 此时，， 所以当时，成立， 综上所述，不等式的解集为． 18. 现有标号为的10张质地、大小完全相同的卡片，充分混合后从中一次性取张卡片，记抽取的张卡片中标号的最大值为随机变量（，）． （1）求在“”的条件下“取得的卡片中标号最小值为2”的概率； （2）求的分布列，并借助该分布列证明：； （3）求． 【答案】（1）0.3 （2） 5 6 7 8 9 10 由分布列的概率性质可知，则； （3） 【解析】 【分析】（1）应用古典概型的概率求法及条件概率求目标概率； （2）根据题设有的可能取值有，并求出对应概率，即可得分布列，由分布列的性质即可证结论； （3）由的所有可能取值为，，…，，则，利用期望的求法及组合数运算求结果. 【小问1详解】 设事件“”，“取得的卡片中标号最小值为2”， 则，，所以； 【小问2详解】 由题设，的可能取值有， 且，，， ，，， 分布列如下： 5 6 7 8 9 10 （证明略） 【小问3详解】 由题设，的所有可能取值为，，…，，则， . 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性； （3）先化简应用参数分离，再构造函数应用导函数结合隐零点得出最大值即可求解. 【小问1详解】 当时，，， ，． 在处的切线方程为． 【小问2详解】 ， ， 令，则，在上单调递增， 令，则，在上单调递减， 的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问3详解】 恒成立， ，即， 令，则， 令，则在恒成立， 在单调递减， 知，， ∴存在唯一零点，使得， 即，易得，即， 令（）， ，在单调递增， ，， 即， 时，，即，单调递增， 时，，即，单调递减， ， ，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级普通高中学科素养水平监测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数求导正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 某校高二、一班共有男生30人，女生20人，从该班学生中选出5人组成一个数学建模兴趣小组，小组中女生人数为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 有6名同学站成一排照相，要求其中甲乙两位同学不站在一起，丙丁两位同学站在一起，共有站法种数为（ ） A. 120 B. 144 C. 240 D. 336 7. ，使成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知二项式的展开式中所有项的系数和为128，若，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加该点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数变大 D. 相关系数变小 11. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 关于的方程有3个实数根 C. 当时，关于的方程有4个实数根 D. 若函数，则对于，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数.其中为正实数，则__________． 13. 若函数满足，且，则__________． 14. 在维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标（，，…，），其中（，）．定义：在维空间中两点（，，…，）、（，，…，）的曼哈顿距离为．在3维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究学生的课外阅读情况对数学成绩的影响，某学习小组从该校高二全体学生中随机抽取100名学生开展问卷调查．调查规定：每周有固定课外阅读时间的学生记为“坚持课外阅读”，否则记为“不坚持课外阅读”；根据学生的数学成绩，分为“优秀”和“不优秀”两类．经统计得出如下列联表： 单位：人 数学成绩 课外阅读 合计 不坚持课外阅读 坚持课外阅读 不优秀 40 20 60 优秀 10 30 40 合计 50 50 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与坚持课外阅读有关联？ （2）在统计中，常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，称为似然比．现从这100人中任选一人，表示“选到的人坚持课外阅读”， 表示“选到的人数学成绩优秀”，请利用样本数据，估计． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换．未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，． 7.32 2.2 80.26 4.70 13.24 2.82 （1）根据模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过9亿元，研发人员增量至少为多少人？（精确到1） （2）现从全国同类企业中随机调研12家，已知每家企业能达到（1）中收益增量水平的概率为0.7，且各企业是否达标相互独立．记这12家企业中达到该收益增量水平的企业数为．求的数学期望，并求使得概率取得最大值的正整数． 附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其经验回归直线的斜率及截距的最小二乘估计分别为，． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若函数的图象关于直线对称，求，； （3）解关于的不等式． 18. 现有标号为的10张质地、大小完全相同的卡片，充分混合后从中一次性取张卡片，记抽取的张卡片中标号的最大值为随机变量（，）． （1）求在“”的条件下“取得的卡片中标号最小值为2”的概率； （2）求的分布列，并借助该分布列证明：； （3）求． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $