精品解析：山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期末学科素养水平检测考试数学试题

山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期末学科素养水平检测考试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题下一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，使得，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 3. 函数与的图象（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于对称 4. 已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 5. 已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ） A. 286 B. 293 C. 252 D. 246 6. 的展开式中的常数项是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 7. 已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ） 0 2 A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 经验回归方程为时，变量和负相关 C. 已知，若，则 D. 在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好 10. 若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 反函数是数学中的一个概念，具体来说，如果存在函数，其定义域为，值域为，那么对于值域中的任意一个值，在定义域中都有唯一的一个值与之对应，使得，这个函数就是函数的反函数，通常表示为.已知函数，则（ ） A. B. 若，则 C. 当时，函数与的图象最多有2个公共点 D. 对于，若，则存在唯一的，使 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处有极大值，则______. 13. 某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产7nm规格的芯片，现有2000块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为1200块，800块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这2000块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为______． 14. 设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 已知函数是偶函数. （1）求； （2）设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 17. 我国新能源汽车迅速崛起，正以颠覆性技术重塑传统交通的格局，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车统计了2025年前5个月的月销量（单位：万辆）与月份之间的关系，得到如下数据： 月份 1 2 3 4 5 月销量（单位：万辆） 2.89 3.22 3.82 4.34 5.41 （1）根据上述数据可知与线性相关，试求出关于的经验回归方程，并预测该品牌新能源汽车2025年6月份的销量； （2）为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源车，发放8000元补贴.若省甲、乙两人近期购买该新能源汽车的概率分别为，其中，求该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围． 参考公式：经验回归方程为， 其中，.参考数据：，. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当的最大值为0时，求； （3）当时，正实数满足，证明：. 19. 某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期末学科素养水平检测考试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题下一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由，集合是正整数集合， ，所以， 故选：D 2. 设命题，使得，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为存在命题的否定是全称命题， 所以为，都有， 故选：C 3. 函数与的图象（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数与，如果它们的图象关于原点对称，即在定义域内恒成立，则称与为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】令函数， 所以 即，所以函数与的图象关于原点对称， 即函数与的图象的图象关于原点对称， 故选：C. 4. 已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由分类加法、分步乘法原理计算即可求解. 【详解】（i）若排在从左到右的第二个位置， 则不能排在从左到右的第一个位置，否则只能相邻，但这与题意矛盾， 若不能排在从左到右的第三或第四个位置， 则此时有种不同的排法； （ii）若排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时有种不同的排法； 由加法原理可知，所求为. 故选：A. 5. 已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ） A. 286 B. 293 C. 252 D. 246 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，结合所给区间概率公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 由所给公式， 即， 所以， 因此被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为， 故选：C 6. 的展开式中的常数项是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值． 【详解】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为． 故选：B． 7. 已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ） 0 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【详解】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数形式构造函数，利用对数的性质性质，结合导数的性质、对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】设函数， 设，， 当时，，函数单调递增， 显然，于是有， 即， 即, 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 经验回归方程为时，变量和负相关 C. 已知，若，则 D. 在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式，结合正态分布的性质、回归直线方程系数的意义、决定系数的意义逐一判断即可. 【详解】A：由，所以本命题不正确； B：因为，所以变量和负相关，因此本命题正确； C：因为， 所以， 所以，因此本命题正确； D：因为，所以的拟合效果好，因此本命题不正确， 故选：BC 10. 若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可. 【详解】因为，所以有. A：因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； B：因为，， 所以有，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； C：因为，，所以 ， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确； D：令，所以且， 于是， ， 即，当且仅当时取等号，即时取等号， 因此，即时取等号，所以本选项结论正确， 故选：ABD 11. 反函数是数学中的一个概念，具体来说，如果存在函数，其定义域为，值域为，那么对于值域中的任意一个值，在定义域中都有唯一的一个值与之对应，使得，这个函数就是函数的反函数，通常表示为.已知函数，则（ ） A. B. 若，则 C. 当时，函数与的图象最多有2个公共点 D. 对于，若，则存在唯一的，使 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由，然后取指数即可得到；对于B，由反函数关于对称，把转化为，即，令，利用导数确定函数的最大值即可得到的范围；对于C，函数与的图象的交点在上，所以只要判断解得情况，即解得个数即可判断；对于D，令，利用单调且连续性可知存在唯一的，使即可得到. 【详解】由题可知，，， 即，两式相减得：， 所以，即，故A正确； ，则， ，即在上恒成立， 当时，，所以不符合题意， 当时，又与的图象关于对称，所以，即， 当时，由对称性必然成立， 所以，令， ， 所以在上单调递增，上单调递减， 则，即，故B错误； 对于C，易知最多2个解，此时， 即此时最多有2根解，又与的图象关于对称，所以他们交点在上， 所以时，函数与的图象最多有2个公共点，故C正确； 对于D，令， ，且在上连续， 又，所以在上单调， 所以存在唯一的，使， 即存在唯一的，使，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处有极大值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可． 【详解】由已知， 可得， 令，解得或， 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 不是极大值点，舍去； 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极大值点． 综上． 故答案为：． 13. 某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产7nm规格的芯片，现有2000块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为1200块，800块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这2000块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】运用全概率公式进行进行求解即可. 【详解】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品， 甲厂生产该芯片的次品率为p， 则有， 由全概率公式可得： ， 故答案为： 14. 设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______. 【答案】 【解析】 【分析】按照二位正整数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中元素中任意两者之积皆为偶数， 故该集合元素中最多只能有一个奇数，其余元素均是偶数． ①当个位为0时，则十位有9个数字可供选择，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有2,4,6,8共4个数字可供选择，十位有8个数字可供选择， 则这样的偶数有个； 则集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）不能，理由见解析过程 【解析】 【分析】（1）根据总量结合分量的占比进行计算求解即可； （2）根据题中公式，结合附中表格的数据进行计算判断即可. 【小问1详解】 因为200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分， 所以该校成绩超过90分的人数为， 成绩没有超过90分的人数为， 因此； 【小问2详解】 零假设：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关， 因为 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关. 16. 已知函数是偶函数. （1）求； （2）设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）根据零点的定义，结合对数的运算性质、换元法、一元二次方程根的情况分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数是偶函数， 所以有， ； 【小问2详解】 由（1）可知， 因为函数有且只有一个零点， 所以方程有唯一实数根， ， 令，， ， 函数有且只有一个零点， 等价于方程有唯一正实数根，且， 当时，，，符合题意， 当时，方程有两个相等的正实数根， 则有，或， 当时，方程化简为：，不符合题意； 当时，方程化简为：， 所以符合题意； 当时，方程有两个不相等的实数根，且一正一负， 所以有，显然成立， 综上所述：的取值范围. 17. 我国新能源汽车迅速崛起，正以颠覆性技术重塑传统交通的格局，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车统计了2025年前5个月的月销量（单位：万辆）与月份之间的关系，得到如下数据： 月份 1 2 3 4 5 月销量（单位：万辆） 2.89 3.22 3.82 4.34 5.41 （1）根据上述数据可知与线性相关，试求出关于的经验回归方程，并预测该品牌新能源汽车2025年6月份的销量； （2）为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源车，发放8000元补贴.若省甲、乙两人近期购买该新能源汽车的概率分别为，其中，求该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围． 参考公式：经验回归方程为， 其中，.参考数据：，. 【答案】（1）；万辆 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据以及参考公式计算可得经验回归方程，代入即可预测该品牌新能源汽车2025年6月份的销量； （2）设甲、乙两人购买新能源车的辆数为，分别求得其每个可能取值对应的概率，即可得出购买新能源车的辆数的期望值的表达式，进而依据题意得出补贴总金额的期望值的表达式，再由的范围得出结论. 【小问1详解】 由题意得，， 则，， 所以关于的经验回归方程为， 预测该品牌新能源汽车2025年6月份的销量为（万辆）. 【小问2详解】 设甲、乙两人购买新能源车的辆数为，则的可能取值为， ， ， ， 所以， 依题意，每购买一辆新能源车，发放8000元补贴， 因此该省对甲、乙两人补贴总金额期望值为， ，则， 即， 故该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围是. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当的最大值为0时，求； （3）当时，正实数满足，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明：当时，正实数满足， 即， 进一步变形得， 令，求导得， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 解得或， 但由于都是正实数， 所以. 【解析】 【分析】（1）只需求得即可得解； （2）分析得知的最大值为，其中，说明即可求解； （3）利用导数说明，结合已知得，结合是正实数即可得证. 【小问1详解】 当时，，求导得， 所以， 故所求为； 【小问2详解】 ，求导得， 若，则恒成立， 这意味着此时在上单调递增，但这与的最大值为0矛盾， 故， 当时，， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 记，则 所以的最大值为， 设， 因为都是增函数， 所以是增函数， 注意到， 所以，解得， 综上所述，当的最大值为0时， ； 【小问3详解】 略 19. 某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【小问1详解】 设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． 【小问2详解】 设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． 【小问3详解】 因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $