精品解析：四川省达州市渠县第三中学2025-2026学年下学期期末教学质量监测八年级数学试题

2026年春季期末教学质量监测八年级数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合求的答案代号在答题卷涂黑，本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法，错误的是（ ） A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 B. “若，则”的逆命题是假命题 C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于60° 4. 如图，边长为的长方形周长为12，面积为5，则的值为（　　） A. 60 B. 120 C. 130 D. 240 5. 若这个正多边形的内角和是外角和的5倍，则它的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 6. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若某多边形的边数满足不等式组的整数解，则这个多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（　　） A. 12 B. 20 C. 24 D. 30 9. 如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ） A. 的值不变 B. C. 的长不变 D. 四边形的面积不变 10. 在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上） 11. 若一次函数的图像经过点，则不等式的解集为________． 12. 如图，的顶点，)，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，画射线交于点G，则点G的坐标是______． 13. 如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 14. 如图，已知直线与直线的交点横坐标为1，则关于的不等式的解集为_________． 15. 如果关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是________． 16. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 17. 如图，在和中，，，相交于点E，．将沿折叠，点落在点处，若，则的大小为________． 三、解答题（满分82分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 按要求求解下列各题． （1）解不等式组，把解集在数轴上表示出来． （2）解方程： （3）先化简：，再从-2、-1、0、1四个数中挑选一个自己喜欢的整数代入求值． 19. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，中，D、E分别是、的中点． 求证：，且． 方法一 证明：如图，延长至点F，使，连接． 方法二 证明：如图，过点A作，过点D作直线交直线于M，交于N． 20. 在中，，尺规作图的痕迹如图所示，若，，求线段CD的长． 21. 某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少10元，用600元购进A种书包的个数是用350元购进B种书包个数的2倍，请解答下列问题： （1）A，B两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于19个，购进A，B两种书包的总费用不超过4350元，请你求出该商场有哪几种进货方案． 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将△ABC沿y轴向上平移3个单位得到△A′B′C′，那么B′的坐标为 　 　； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1． （3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣2，0），B2（﹣4，1），C2（﹣3，﹣3），则该旋转中心的坐标为 　 　． （4）设P为x轴上的一个动点，当PA＋PC取得最小值时，点P的坐标为 　 　． 23. 如图，在中，E，F是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，且，求的长． 24. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为______； （2）因式分解：______； （3）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则的最小值为______． 25. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，将沿对角线翻折得到（点，，在同一直线上），边与边相交于点，此时，是等边三角形． （1）求线段的长； （2）求重叠部分的面积； （3）点在轴上，点在直线上，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期末教学质量监测八年级数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合求的答案代号在答题卷涂黑，本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，因此图中的四边形不可能是平行四边形，故A错误； B．一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； C．两组对边相等能判断四边形是平行四边形，故C正确； D．一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为第二象限点求出的范围，表示在数轴上即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 则的取值范围在数轴上表示为： ， 故选：B． 【点睛】此题考查了用数轴表示不等式组的解集，以及点的坐标，熟练掌握解不等式组的步骤是解题关键． 3. 下列说法，错误的是（ ） A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 B. “若，则”的逆命题是假命题 C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于60° 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用解答． 【详解】解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法正确，不符合题意； B、“若，则”的逆命题是若，则是假命题，例如，而，故本选项说法正确，不符合题意； C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意； D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了逆命题，以及命题的真假判断，掌握线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用是解题的关键． 4. 如图，边长为的长方形周长为12，面积为5，则的值为（　　） A. 60 B. 120 C. 130 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，再提公因式，利用完全平方公式分解因式后代入计算． 【详解】解：由题意得， ∴ ， 故选：C． 【点睛】此题考查了提公因式法，完全平方公式变形计算，正确掌握各计算公式是解题的关键． 5. 若这个正多边形的内角和是外角和的5倍，则它的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和外角综合，设这个正多边形的边数为n，则内角和为，外角和为，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， 故选：D． 6. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】去分母得：， 解得 ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴增根为3，， 把代入整式方程得：， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的增根问题，解题的关键是掌握分式方程的解题步骤以及对分式方程增根的理解． 7. 若某多边形的边数满足不等式组的整数解，则这个多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定其整数解，再根据多边形内角和计算公式求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为6， ∴这个多边形的边数为6， ∴这个多边形的内角和为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求不等式组的整数解，多边形内角和，正确求出不等式组的整数解是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（　　） A. 12 B. 20 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】延长DM交AC于E，利用ASA证明△ADM≌△AEM可得AE=AD=12，DM=EM，即可证明MN是△CDE的中位线，可求解CE的长，进而可求解AC的长，再结合平行四边形的性质利用勾股定理可求解． 【详解】解：延长DM交AC于E， ∵AM平分∠CAD，AM⊥DM， ∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°， 在△ADM和△AEM中， ， ∴△ADM≌△AEM（ASA）， ∴DM=EM，AE=AD=12， ∴M点是DE的中点， ∵N是CD的中点， ∴MN是△CDE的中位线， ∵MN=2， ∴CE=2MN=4， ∴AC=AE+CE=12+4=16， 在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AC⊥BC， ∴AC⊥AD， ∴∠CAD=90°， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，求解AC的长是解题的关键． 9. 如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ） A. 的值不变 B. C. 的长不变 D. 四边形的面积不变 【答案】C 【解析】 【分析】如图作于E，于F，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；M，N的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误． 【详解】解：如图作于E，于F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于E，于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴定值，故D正确， ∵，故A正确， ∵M，N的位置变化， ∴的长度是变化的，故C错误． ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴，故B正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键． 10. 在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，可判断①不正确；根据∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可判断②正确；证明△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可判断③正确；利用对应边不等可判断④不正确，据此即可得到选项． 【详解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E， ∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°， ∴BE=DE， ∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2， ∴BD=BE，故①正确； ∵DE⊥BC，BF⊥DC， ∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°， ∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角， ∴∠BHE=∠C， 又∵在▱ABCD中，∠A=∠C， ∴∠A=∠BHE，故②正确； 在△BEH和△DEC中， ， ∴△BEH≌△DEC（AAS）， ∴BH=CD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD， ∴AB=BH，故③正确； ∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC， ∴不能得到△BCF≌△DCE，故④错误． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上） 11. 若一次函数的图像经过点，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得过点的正比例函数解析式为，画出图形，进而根据两直线交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设过点的正比例函数解析式为， 则， ∴， ∵一次函数的图像经过点， 如图所示， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据一次函数交点确定不等式的解集，数形结合是解题的关键． 12. 如图，的顶点，)，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，画射线交于点G，则点G的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 13. 如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上． 【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′． 分两种情况： ①P′在y轴上，Q′在x轴上， 则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∵0-（n-3）=-n+3， ∴n-n+2=3=3， ∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上， 则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∵0-m=-m， ∴m-4-m=-4， ∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（-4，0）． 故答案为：（0，3）或（-4，0）． 【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 14. 如图，已知直线与直线的交点横坐标为1，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可得到该不等式的解集． 【详解】解：， ，即为， ∵直线与直线的交点横坐标为1， ∴由图象可得，的解集为， 故答案为：． 15. 如果关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解：原不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴， 解得． 原分式方程的解为， ∵分式方程有非负数解， ∴， 解得，且， ∵时是原分式方程的增根． ∴符合条件的所有整数的和是． 故答案为：15 16. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形体积的割补是解题的关键． 图②图形的体积有两种计算方法：（1）三个长方体体积相加；（2）大正方体体积减去小正方体体积，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图②分成三个长方体， 可得体积为 ， ． 故答案为：． 17. 如图，在和中，，，相交于点E，．将沿折叠，点落在点处，若，则的大小为________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出，再由等边对等角确定，利用折叠的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，沿折叠，点落在点处， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 三、解答题（满分82分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 按要求求解下列各题． （1）解不等式组，把解集在数轴上表示出来． （2）解方程： （3）先化简：，再从-2、-1、0、1四个数中挑选一个自己喜欢的整数代入求值． 【答案】（1）， （2）无解 （3），当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】（1）解每个不等式找到公共部分，并且表示在数轴上； （2）去分母转化为整式方程求解并检验是否为增根； （3）先化简，再代入使分式有意义的数求值． 【小问1详解】 解∶ 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： 经检验是原方程的增根，舍去， ∴原方程无解． 【小问3详解】 解： ； 根据分式有意义的条件，分母不为0，得：，，即且， 因此只能选或代入： 当时，原式． 当时，原式． 19. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，中，D、E分别是、的中点． 求证：，且． 方法一 证明：如图，延长至点F，使，连接． 方法二 证明：如图，过点A作，过点D作直线交直线于M，交于N． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：如图，延长至点，使，连接．先证明，可得，，可证得四边形为平行四边形，即可求证；方法二：如图，过点作直线，过点作直线交直线于，交于，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，于是得到结论． 【详解】证明方法一：如图，延长至点，使，连接． 点为的中点， ， ，， ， ，， ，即， 点为的中点， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ，且． 方法二：方法二：证明：如图，过点作直线，过点作直线交直线于，交于， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点是边的中点， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 20. 在中，，尺规作图的痕迹如图所示，若，，求线段CD的长． 【答案】 【解析】 【分析】由作法得：平分，，根据角平分线的性质定理可得，可证明，从而得到，，再由勾股定理求出的长，设，则，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】由作法得：平分，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 21. 某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少10元，用600元购进A种书包的个数是用350元购进B种书包个数的2倍，请解答下列问题： （1）A，B两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于19个，购进A，B两种书包的总费用不超过4350元，请你求出该商场有哪几种进货方案． 【答案】（1）A、B两种书包每个进价分别是60、70元 （2）共有两种进货方案，分别为：①A：19个，B：43个；②A；20个，B：45个． 【解析】 【分析】（1）设A种书包的进价是x元，则B种书包的进价是元，根据数量=总价除以单价，结合用600元购进A种书包的个数是用350元购进B种书包个数的2倍，可得关于x的方程，解方程并检验即可； （2）若设该商场购进A种书包n个，则设该商场购进B种书包个，根据“A种书包不少于19个，购进A、B两种书包的总费用不超过4350元”可得关于n的一元一次不等式组，解不等式组求出n的取值范围，结合n为正整数可得进货方案． 【小问1详解】 设A种书包的进价是x元，则B种书包的进价是元： 由题意得：， 解得： 经检验，是原分式方程的解， ， 故A、B两种书包每个进价分别是60、70元； 【小问2详解】 设该商场购进A种书包n个，则设该商场购进B种书包个， 由题意可得： ， 解得：， ∴或20．共有两种进货方案，分别为： ①A：19个，B：43个； ②A；20个，B：45个． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将△ABC沿y轴向上平移3个单位得到△A′B′C′，那么B′的坐标为 　 　； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1． （3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣2，0），B2（﹣4，1），C2（﹣3，﹣3），则该旋转中心的坐标为 　 　． （4）设P为x轴上的一个动点，当PA＋PC取得最小值时，点P的坐标为 　 　． 【答案】 （1）如图1中，△A′B′C′即为所求，B′的坐标为（0，0）， （2）如图1中，△A1B1C1即为所求． ； （3）（0，1）；（4）（2，0） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可． （2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （3）两组对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． （4）作点C关于x轴的对称点E，连接AE交x轴于点P，点P即为所求． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图2中，旋转中心J的坐标为（0，1）． 故答案为：（0，1）． （4）如图2中，点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查旋转变换，平移变换，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，正确作出图形． 23. 如图，在中，E，F是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 24. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为______； （2）因式分解：______； （3）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】（1）25 （2） （3）4 （4）3 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得； （4）根据配方可得，从而可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵代数式是完全平方式， ， ， ， 故答案为：25． 【小问2详解】 解： ， 故答案为：． 【小问3详解】 解： ， ， ， 的最小值为4． 【小问4详解】 解： ， ， ， ， 的最小值为3． 【点睛】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． 25. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 【答案】（1） ， （2）成立， 理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）通过证明，即可求证； （3）过点C作，垂足为C，交AD于点H，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 ，，证明如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H， 由旋转性质可得：，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 在中：， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，将沿对角线翻折得到（点，，在同一直线上），边与边相交于点，此时，是等边三角形． （1）求线段的长； （2）求重叠部分的面积； （3）点在轴上，点在直线上，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6； （2）； （3）点的坐标为，，． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形，等边三角形的性质可知，根据折叠的性质得到，进一步可求出； （2）过点作于点，利用平行四边形的性质及勾股定理求出，即可求出的面积； （3）求出A和C点的坐标，分情况讨论：以BC为边长时，有2种情况，以BC为对角线时，画出图象，结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， 是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 沿翻折得到， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ， 在中，，， ，， ，， ， ， ∴的面积为， 【小问3详解】 解：作轴交于点F， ∵，是等边三角形， ∴，，即， ∵， ∴， 以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，由以下3种情况： ①以BC为边长时，如图： 此时M与A重合，N与O重合， ∵， ∴； ②以BC为边长时，如图：作轴交于点G，延长CA交y轴与点K，可知：， ∵是等边三角形，∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ③以BC为对角线时，如图：作轴交于点P， 同理：， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为，，． 【点睛】本题考查平行四边形，等边三角形，解直角三角形，点的坐标，属于综合性较强的题目，难度较大，解题的关键是数量掌握以上相关知识并能够熟练运用，对于第（3）问需要分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $