第46讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积·讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间几何体的结构特征、表面积与体积核心考点，按多面体、旋转体、组合体逻辑梳理知识，通过考情分析、知识清单、分考点典题精练及高考真题环节，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”复习体系，帮助学生系统突破空间几何难点。 资料以“数学眼光”培养空间观念，如斜二测画法还原直观图训练几何直观；用“数学思维”强化推理运算，如轴截面法解决旋转体问题。设计展开图求最短路径、分形几何与数列结合等创新题，配合分层练习与方法总结，高效提升学生空间想象与解题能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第46讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 5 考点一：空间几何体的结构特征与直观图 5 考点二：空间几何体的表面积与展开图 9 考点三：空间几何体的体积 12 考点四：空间几何体的综合问题 16 四、高考真题 19 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第5题 单选题 5分 直接 圆柱与圆锥的侧面积与体积的计算 2025 第9题 多选题 第17题 解答题 21分 间接 棱柱与棱锥的结构特征 外接球及线面关系 2026 第15题 解答题 15分 间接 直三棱柱的结构特征与线面关系 2. 命题角度与特色 （1） 基础性强：直接考查旋转体（圆柱、圆锥）的侧面积与体积公式，要求熟练掌握基本量的计算. （2） 综合性高：常以多面体（如正三棱柱、直三棱柱、四棱锥）为载体，结合线面位置关系、空间角与距离、外接球等进行综合考查. 3. 备考策略 （1） 熟记常见空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）的结构特征及表面积、体积公式. （2） 掌握几何体展开图与截面图的画法，善于将空间问题转化为平面几何问题求解. （3） 强化空间想象能力，熟悉常见几何体的外接球模型及球心位置的确定方法. 二、知识清单 1. 构成空间几何体的基本元素 - 点、线、面 （1） 空间中，点动成线，线动成面，面动成体. （2） 空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）. 2. 简单凸多面体 - 棱柱、棱锥、棱台 （1） 棱柱：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. ① 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱. ② 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱. ③ 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱. ④ 平行六面体：底面是平行四边形的棱柱. ⑤ 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体. ⑥ 长方体：底面是矩形的直平行六面体. ⑦ 正方体：棱长都相等的长方体. （2） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. ① 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心. ② 正四面体：所有棱长都相等的三棱锥. （3） 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. （4） 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示. 【易错提醒】 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱（可能是由两个斜棱柱拼接而成）；有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，必须满足侧棱延长后交于同一点. 【防坑警示】 正三棱锥与正四面体不同.正三棱锥只要求底面是正三角形，且侧棱长相等即可；而正四面体要求所有棱长（侧棱与底边）都必须完全相等. 3. 简单旋转体 - 圆柱、圆锥、圆台、球 （1） 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱. （2） 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥. （3） 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台. （4） 球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）. 【易错提醒】 旋转体的轴截面特征：圆柱的轴截面是矩形；圆锥的轴截面是等腰三角形；圆台的轴截面是等腰梯形. 【防坑警示】 以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将其旋转一周形成的几何体不是圆锥，而是两个底面重合的圆锥组合体. 4. 组合体 （1） 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体. 5. 表面积与体积计算公式 （1） 表面积公式 几何体 表面积公式 示意图 柱体 （ 为直截面周长） 锥体 台体 球 （2） 体积公式 几何体 体积公式 示意图 柱体 锥体 台体 球 【易错提醒】 在计算组合体的表面积时，必须注意各简单几何体拼接重合部分的面积不能计入总表面积中，需将其扣除. 6. 空间几何体的直观图 （1） 斜二测画法的主要步骤如下： ① 建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系. ② 画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或 ），它们确定的平面表示水平平面. ③ 画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一半.可简化为“横不变，纵减半”. ④ 擦去辅助线.图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线. ⑤ 直观图和平面图形的面积比为. （2） 平行投影与中心投影 ① 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点. 【防坑警示】 在斜二测画法中，原图形中平行的线段在直观图中依然平行，但原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，原图形中互相垂直的线段在直观图中通常不再垂直. 三、典题精讲 考点一：空间几何体的结构特征与直观图 考法1：判断空间几何体的结构特征 例1.（2026·河南周口·一模）（多选）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（　　） A. 该几何体可能是三棱锥 B. 该几何体可能是四棱柱 C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 【答案】AC 【思路】空间几何体的拼接问题，需要结合各几何体的面数及形状进行分析.对于三棱锥和四棱柱，直接根据面数和面的形状判断；对于三棱柱，需要通过侧面展开图，利用勾股定理和余弦定理等工具，分析等腰三角形和直角三角形能否满足拼接条件. 【解析】对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板，像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确.对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误.对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为，底为）拼成三棱柱的三个侧面， 要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起，必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可.实际上，当时，.在中，，则，则，即可得，即此时即可满足题意，C正确.对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形.设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a.∵每个侧面有两条边为侧棱，∴这6个直角三角形的a边都为侧棱，则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误. 【规律】解决空间几何体的拼接与折叠问题，核心是将空间问题转化为平面问题.通常需要画出几何体的表面展开图，利用平面几何中的勾股定理、余弦定理等工具寻找边角关系.同时，要熟记常见几何体（如棱锥、棱柱）的面数、顶点数及各面的形状特征. 考法2：计算空间几何体的基本量与欧拉公式 例2.（2026·浙江温州·一模）（多选）如图，圆台上下底面半径分别为1和2，分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（　　） A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于 【答案】BCD 【思路】解决圆台问题通常需要作出轴截面或相关的辅助线.本题中，通过寻找上下底面圆心及线段中点，构造平行四边形和直角三角形，将空间中的线面位置关系及夹角转化为平面几何问题进行求解. 【解析】由母线概念可知，不是母线，∴A错误.如图所示，作上底面圆心，下底面圆心，线段中点，连接，可知.∵，∴.∵为中点，为中点，∴，，∴四边形为平行四边形.∵平面，∴平面，∴.∵为中点，∴，∴B正确.∵平面，∴.∵，又∵面，面，，∴平面，∴，∴C正确.∵四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴面，∴平行于平面与平面的交线.∵平面，，∴是平面与平面的夹角的平面角，可知，∴D正确. 【规律】处理圆台、圆锥等旋转体问题时，最有效的方法是“截面法”，尤其是作出轴截面.对于涉及底面圆周上动点的问题，常通过作底面垂线、连接圆心与动点等方式，构造直角三角形或平行四边形，从而将空间几何问题降维至平面内解决. 考法3：利用斜二测画法还原直观图并计算 例3.（2026·湖南长沙·模拟）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形的周长为＿＿＿＿＿＿. 【答案】14 【思路】斜二测画法的核心规则是“平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，夹角由或还原为”.根据直观图中的坐标和长度，逆向还原出原图形的各边长即可. 【解析】由斜二测画法的规则知平面图形为平行四边形，且原图形中.设与交于点，由，得原图中.则，则原图形的周长是. 【规律】斜二测画法还原问题的通用解法是：建立直角坐标系，将直观图中的已知点坐标化，利用变换规则还原出原图形中对应点的坐标，再利用两点间距离公式求出边长，进而计算周长或面积. 考法4：空间几何体结构特征的综合应用 例4.（2026·江西五市十校·联考）（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（　　） A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，异面直线与之间的距离为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 为所在直线上的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【思路】本题是半圆柱与直三棱柱的组合体问题.对于面面垂直，需寻找线面垂直；对于异面直线距离，常利用平行线转化；对于体积最值，需确定底面积定值时高何时最大；对于表面最短路径，需将几何体表面展开为平面图形，利用两点之间线段最短求解. 【解析】对于A，当为的中点时，连接，则.又，，∴，∴，即.又平面，平面，∴.又，∴平面.又平面，∴平面平面，故A正确.对于B，由A知平面，又平面，过作于，则平面.又平面，且，∴即为异面直线与之间的距离.在中，，∴.∴，故B正确.对于C，三棱锥的体积，其中.当到平面的距离最大时，体积最大.易知当为的中点时，最大，此时.∴体积的最大值为，故C错误.对于D，将平面与平面展开到一个平面内，当三点共线时，取得最大值，即为.连接，在中，.由余弦定理得.∴，故D正确. 【规律】组合体综合题的破解策略：①结构分解：将组合体拆解为熟悉的简单几何体，明确各部分的基本量；②位置关系：利用几何体的母线、高、底面等特征寻找垂直与平行关系；③最值问题：体积最值常转化为动点到定平面的最大距离，表面最短路径必须利用侧面展开图转化为平面两点间距离. 【考点一 方法总结】 1. 解决空间几何体的拼接与折叠问题，核心是将空间问题转化为平面问题.通常需要画出几何体的表面展开图，利用平面几何中的勾股定理、余弦定理等工具寻找边角关系.同时，要熟记常见几何体（如棱锥、棱柱）的面数、顶点数及各面的形状特征. 2. 处理圆台、圆锥等旋转体问题时，最有效的方法是“截面法”，尤其是作出轴截面.对于涉及底面圆周上动点的问题，常通过作底面垂线、连接圆心与动点等方式，构造直角三角形或平行四边形，从而将空间几何问题降维至平面内解决. 3. 斜二测画法还原问题的通用解法是：建立直角坐标系，将直观图中的已知点坐标化，利用变换规则还原出原图形中对应点的坐标，再利用两点间距离公式求出边长，进而计算周长或面积. 4. 组合体综合题的破解策略：①结构分解：将组合体拆解为熟悉的简单几何体，明确各部分的基本量；②位置关系：利用几何体的母线、高、底面等特征寻找垂直与平行关系；③最值问题：体积最值常转化为动点到定平面的最大距离，表面最短路径必须利用侧面展开图转化为平面两点间距离. 考点二：空间几何体的表面积与展开图 考法5：计算简单几何体或组合体的表面积 例5.（2026·福建厦门·检测）如图，已知正方体的棱长为1.平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】求解分割后多面体的表面积，关键是明确该多面体由哪些面构成.通过连接体对角线找到交点，确定目标多面体的各个顶点，进而分析出每个面的形状（如等腰三角形、直角三角形等），最后分别计算面积并求和. 【解析】连接，易知三条体对角线交于一点，记为点.则分割后顶点所在的多面体为六面体，其表面分别是.根据正方体的性质，知，∴中，边上的高为，∴的面积为的面积为.∴顶点所在的多面体的表面积为. 【规律】求解多面体表面积的步骤：①定形：明确多面体的各个顶点及其围成的每一个面的形状；②定量：利用原几何体（如正方体）的棱长、面对角线、体对角线等基本量，计算出目标多面体各条棱的长度；③求和：分别计算各个面的面积后相加，注意利用全等关系简化计算. 考法6：利用展开图计算表面积或基本量 例6.（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（　　） A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【思路】已知圆锥的底面半径和高，可求出母线长.依次代入体积和表面积公式进行检验；对于母线夹角和截面面积的最值问题，需设出母线夹角为变量，利用三角形面积公式转化为三角函数求最值. 【解析】对于 A，圆锥的体积为，故 A 错误.对于 B，圆锥的母线长为，故圆锥的表面积为，故 B 错误.对于 C，设圆锥轴截面顶角为，则，而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故 C 错误.对于 D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为，而，故当，，故 D 正确. 【规律】圆锥问题的核心是“直角三角形”（由高、底面半径、母线构成）和“侧面展开图”（扇形）.过顶点的截面面积公式为（为母线，为两条母线的夹角），当时面积最大，但需注意圆锥的最大轴截面顶角是否允许达到. 考法7：利用展开图求解表面最短路径问题 例7.（2026·广东深圳·二模）如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为.求长度的最小值； 【答案】 【思路】求解圆锥侧面上的最短路径问题，必须将圆锥的侧面沿母线展开为平面扇形.在展开图中，空间曲线转化为连接两点的平面线段，利用扇形的圆心角公式和三角形的边角关系（如余弦定理或特殊角）即可求出线段长度. 【解析】沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形，其中为的中点，与在圆锥中是同一点.∵轨迹在圆锥的侧面上，∴在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线.又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短，∴轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段.由于，∴的长度为，又，∴.∴在等腰三角形中，，即的长度为. 【规律】旋转体表面最短路径问题的通用解法：①展开：将旋转体的侧面展开为平面图形（圆柱展开为矩形，圆锥展开为扇形）；②连线：在展开图中标出起点和终点，连接两点得到线段；③计算：利用底面周长等于展开图的弧长（或矩形边长）求出关键角度或长度，再解三角形求得最短距离. 考法8：表面积的比例与最值问题 例8.（2026·浙江Z20联盟·检测）设圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当取到最小值时，＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据题意列出圆台侧面积与底面积之和的等式，将母线长用上下底面半径表示出来.代入目标代数式中，通过换元令，将多变量问题转化为单变量函数求最值问题，利用基本不等式即可求解. 【解析】由题意得，即，∴.则.设，则，当且仅当，即时等号成立. 【规律】处理几何体中基本量比例的最值问题，常采用“齐次化”与“换元法”.通过几何条件列出等式，将目标比值转化为关于某一个比例变量（如）的函数，随后借助基本不等式或导数工具求出最值及其成立条件. 【考点二 方法总结】 1. 求解多面体表面积的步骤：①定形：明确多面体的各个顶点及其围成的每一个面的形状；②定量：利用原几何体（如正方体）的棱长、面对角线、体对角线等基本量，计算出目标多面体各条棱的长度；③求和：分别计算各个面的面积后相加，注意利用全等关系简化计算. 2. 圆锥问题的核心是“直角三角形”（由高、底面半径、母线构成）和“侧面展开图”（扇形）.过顶点的截面面积公式为（为母线，为两条母线的夹角），当时面积最大，但需注意圆锥的最大轴截面顶角是否允许达到. 3. 旋转体表面最短路径问题的通用解法：①展开：将旋转体的侧面展开为平面图形（圆柱展开为矩形，圆锥展开为扇形）；②连线：在展开图中标出起点和终点，连接两点得到线段；③计算：利用底面周长等于展开图的弧长（或矩形边长）求出关键角度或长度，再解三角形求得最短距离. 4. 处理几何体中基本量比例的最值问题，常采用“齐次化”与“换元法”.通过几何条件列出等式，将目标比值转化为关于某一个比例变量（如）的函数，随后借助基本不等式或导数工具求出最值及其成立条件. 考点三：空间几何体的体积 考法9：计算简单几何体或组合体的体积 例9.（2026·广东江门·二模）正三棱柱的棱长均为2，分别是棱的中点，过点的平面分别交直线于点，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】求解不规则几何体的体积，通常需要通过延长线段补全几何体.本题中，延长截面与棱柱的交线，构造出完整的三棱台和三棱锥，利用相似三角形求出各线段的比例关系，最后通过体积作差法求得公共部分的体积. 【解析】如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接，延长与的延长线交于点，连接，交于点，连接.∵，∴，∴，同理可得.三棱柱和三棱锥的公共部分为几何体，其体积为三棱台的体积和三棱锥的体积之差，即. 【规律】截面分割几何体求体积的常用策略是“补体法”与“割补法”.当截面将几何体分割为不规则多面体时，可将截面所在的平面向外延伸，与几何体的底面或侧面所在平面相交，补成规则的棱锥或棱台，再利用大体积减去小体积得出结果. 考法10：利用等体积法或割补法计算体积 例10.（2026·江苏南通·检测）若四面体中，，，，则四面体的体积是＿＿＿＿＿＿. 【答案】2 【思路】对于对棱分别相等的“等腰四面体”，常规的求高法非常繁琐.最佳策略是“构造长方体法”，将四面体的六条棱视为长方体的六条面对角线，通过列方程组求出长方体的长、宽、高，最后用长方体体积减去四个角上的三棱锥体积即可. 【解析】以四面体的各棱为长方体的面对角线作出长方体，如图所示，设，则，解得. 【规律】“等腰四面体”（三对对棱分别相等）的体积计算，统一解法为构造长方体模型.设长方体的长、宽、高分别为，利用勾股定理建立方程组解出.四面体的体积固定为长方体体积的，即. 考法11：利用展开图计算体积 例11.（2025·广东深圳·检测）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】利用圆锥侧面展开图的性质：展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.据此求出底面半径和母线长，再利用勾股定理求出圆锥的高，最后代入体积公式计算. 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为.由题意得，侧面展开图的弧长为，则底面圆的周长为，解得.又侧面展开图的圆心角为，则，解得.∴.∴该圆锥的体积为. 【规律】解决圆锥展开图问题的核心在于建立两个等量关系：①底面周长展开图扇形弧长；②母线长展开图扇形半径.求出和后，利用求高，进而可求体积. 考法12：体积的比例与最值问题 例12.（2025·河南金科新未来·联考）在三棱锥中，，点在平面上的投影是的垂心，平面，若，则三棱锥的体积的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】题干给出了垂心和垂直关系，需通过平面几何性质（相似三角形）和立体几何中的射影定理，找出底面三角形中线段的乘积关系.将三棱锥的高用底面线段表示出来，进而将体积表达为单一变量的函数，最后利用基本不等式求最大值. 【解析】设中点为，则有，与相似，则，.∵平面，∴，∵平面，∴，由射影定理得，，则，当且仅当，即时取等号，故三棱锥体积的最大值为. 【规律】空间几何体体积最值问题的求解步骤：①选主元：选择几何体中某个合适的线段长或角度作为自变量；②列表达式：利用几何关系（如射影定理、勾股定理）将体积表示为该自变量的函数；③求最值：利用基本不等式或导数工具求出函数的最值. 考法13：体积与线面关系的综合应用 例13.（2026·湖北黄冈·模拟）（多选）在四面体中，是边长为2的等边三角形，，均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【思路】题目已知两个侧面是等腰直角三角形，但未明确直角顶点是哪一个.因此必须进行分类讨论：分别假设A、D或C、B为直角顶点，针对每种情况，利用线面垂直的判定定理找到四面体的高，进而计算出对应的体积. 【解析】分，，三种情况求出体积即可. 若，∵平面，∴平面.∵，均为等腰直角三角形，，∴.∴该四面体的体积为. 若，∵平面，∴平面.∵，均为等腰直角三角形，，∴，则，则.∴该四面体的体积为. 若，∵，均为等腰直角三角形，，∴.取线段的中点，连接，则.∵平面，∴平面.∵，，∴点到直线的距离为，则.∴该四面体的体积为. 【规律】遇到“等腰直角三角形”等未明确对应顶点的条件时，必须树立分类讨论的思想.在每种分类情况下，首要任务是寻找或构造几何体的高，通常利用面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理，将平面内的垂直关系转化为空间中的高. 【考点三 方法总结】 1. 截面分割几何体求体积的常用策略是“补体法”与“割补法”.当截面将几何体分割为不规则多面体时，可将截面所在的平面向外延伸，与几何体的底面或侧面所在平面相交，补成规则的棱锥或棱台，再利用大体积减去小体积得出结果. 2. “等腰四面体”（三对对棱分别相等）的体积计算，统一解法为构造长方体模型.设长方体的长、宽、高分别为，利用勾股定理建立方程组解出.四面体的体积固定为长方体体积的，即. 3. 解决圆锥展开图问题的核心在于建立两个等量关系：①底面周长展开图扇形弧长；②母线长展开图扇形半径.求出和后，利用求高，进而可求体积. 4. 空间几何体体积最值问题的求解步骤：①选主元：选择几何体中某个合适的线段长或角度作为自变量；②列表达式：利用几何关系（如射影定理、勾股定理）将体积表示为该自变量的函数；③求最值：利用基本不等式或导数工具求出函数的最值. 5. 遇到“等腰直角三角形”等未明确对应顶点的条件时，必须树立分类讨论的思想.在每种分类情况下，首要任务是寻找或构造几何体的高，通常利用面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理，将平面内的垂直关系转化为空间中的高. 考点四：空间几何体的综合问题 考法14：结合数列极限求解分形几何问题 例14.（2026·福建泉州·一模）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得到科赫四面体. 现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为的正四面体经过持续重复上述操作得到的.记第次操作后生成的几何体为，设的表面积为，体积为. （1） 求； （2） 在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比表面积随的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因. （3） 是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）见解析 （3）存在，. 【思路】分形几何问题本质上是数列问题.首先根据前几次迭代的几何特征，找出表面积和体积变化的规律，构造等比数列或差比数列；其次，利用数列的通项公式和求和公式求出第次操作后的表面积和体积；最后，结合极限思想和外接球的几何性质进行论证. 【解析】（1） 正四面体的表面积为.依题意，得；；正四面体的体积为；. （2） 依题意每次操作后，几何体的表面积变为上一次的倍，故数列是首项为，公比为的等比数列，∴.依题意得， ()，∴ ().又当时，.∴ ().又为递增数列，且当时，，为递增数列，且当时，，∴当时，，故由此解释，该结构吸附能力强. （3） 存在，的最小值即为正四面体的外接球半径为.理由如下： 过点作平面于点，∵四面体为正四面体，∴为外心，即重心，内心，垂心，则在上，且，同理得在上，且，则为四面体的外接球球心和内切球球心，设四面体棱长为，则，∴，则由，解得，∴. 记第 1 次操作后构造的任一正四面体（即四面体）的外接球球心为，连结.则平面，设垂足为，则为的外心，重心，垂心，故在上，且，故与重合，∴共线，∴平面，∴. 以此类推，几何体最新构造的任一四面体及其在上对应的四面体，棱长分别为和，其外接球球心为别为和，半径为和，记正四面体的中心为，则.∵，∴，∴. 记球体内（含表面）所有点的集合为，∵，∴ ()，∴，∴ ()，∵球为四面体的外接球，即对上的任一点，都有 ()，∴，即，∴的最小值即为正四面体的外接球半径为. 【考点四 方法总结】 1. 解决分形几何与数列结合的问题，关键在于“递推”.通过分析从第次到第次操作时，几何体面数、边长、体积的增量变化，建立递推关系式.对于外接球问题，需抓住几何体中心的稳定性，利用空间两点间距离的三角不等式进行放缩证明. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷·第5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为.因为它们的侧面积相等，所以，即，解得.故圆锥的体积为.故选B. 2.（2025·全国一卷·第9题）（多选）在正三棱柱中，为中点，则（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 【答案】BC 【解析】对于A，在正三棱柱中，平面，又平面， 则，则.因为是正三角形，为中点，则，则.又，所以，则不成立，故A错误.对于B，因为在正三棱柱中，平面，又平面，则.因为是正三角形，为中点，则.又，平面，所以平面，故B正确.对于C，因为在正三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，故C正确.对于D，因为在正三棱柱中，，假设，则，这与矛盾，所以不成立，故D错误.故选BC. 3.（2025·全国一卷·第17题）如图所示的四棱锥中，平面，，. （1） 证明：平面平面； （2） ，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. ①证明：在平面上； ②求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明见解析；（2） ①证明见解析；② 【解析】（1） 在四棱锥中，平面，，平面，平面，所以，.因为平面，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面. （2） ①四棱锥中，，，，，，.建立以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴的空间直角坐标系. 则，，，，.若，，，在同一个球面上，则.在平面中， 线段中点坐标，直线的斜率，直线的垂直平分线斜率.直线的垂直平分线方程为.当时，解得，即外心为.在立体几何中，设，则，，，.解得，所以点在平面上. ②由题意得，，.设直线与直线所成角为，则.所以直线与直线所成角的余弦值为. 4.（2026·全国一卷·第15题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1） 证明：平面； （2） 设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离. 【答案】（1） 证明见解析；（2） 1 【解析】（1） 如图，连接， 在中，，分别为，中点，所以.因为平面，平面，所以平面. （2） 由题意及（1）得，.在直三棱柱中，，设.四边形与四边形是矩形，所以，，.建立空间直角坐标系，得到，，，，.所以，面的一个法向量为.因为直线与平面所成的角为，设直线与平面所成的角为，则.解得.所以，，，，.因为面，所以由几何知识得，到面的距离为. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第46讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 5 考点一：空间几何体的结构特征与直观图 5 考点二：空间几何体的表面积与展开图 7 考点三：空间几何体的体积 9 考点四：空间几何体的综合问题 10 四、高考真题 11 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第5题 单选题 5分 直接 圆柱与圆锥的侧面积与体积的计算 2025 第9题 多选题 第17题 解答题 21分 间接 棱柱与棱锥的结构特征 外接球及线面关系 2026 第15题 解答题 15分 间接 直三棱柱的结构特征与线面关系 2. 命题角度与特色 （1） 基础性强：直接考查旋转体（圆柱、圆锥）的侧面积与体积公式，要求熟练掌握基本量的计算. （2） 综合性高：常以多面体（如正三棱柱、直三棱柱、四棱锥）为载体，结合线面位置关系、空间角与距离、外接球等进行综合考查. 3. 备考策略 （1） 熟记常见空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）的结构特征及表面积、体积公式. （2） 掌握几何体展开图与截面图的画法，善于将空间问题转化为平面几何问题求解. （3） 强化空间想象能力，熟悉常见几何体的外接球模型及球心位置的确定方法. 二、知识清单 1. 构成空间几何体的基本元素 - 点、线、面 （1） 空间中，点动成线，线动成面，面动成体. （2） 空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）. 2. 简单凸多面体 - 棱柱、棱锥、棱台 （1） 棱柱：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. ① 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱. ② 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱. ③ 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱. ④ 平行六面体：底面是平行四边形的棱柱. ⑤ 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体. ⑥ 长方体：底面是矩形的直平行六面体. ⑦ 正方体：棱长都相等的长方体. （2） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. ① 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心. ② 正四面体：所有棱长都相等的三棱锥. （3） 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. （4） 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示. 【易错提醒】 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱（可能是由两个斜棱柱拼接而成）；有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，必须满足侧棱延长后交于同一点. 【防坑警示】 正三棱锥与正四面体不同.正三棱锥只要求底面是正三角形，且侧棱长相等即可；而正四面体要求所有棱长（侧棱与底边）都必须完全相等. 3. 简单旋转体 - 圆柱、圆锥、圆台、球 （1） 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱. （2） 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥. （3） 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台. （4） 球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）. 【易错提醒】 旋转体的轴截面特征：圆柱的轴截面是矩形；圆锥的轴截面是等腰三角形；圆台的轴截面是等腰梯形. 【防坑警示】 以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将其旋转一周形成的几何体不是圆锥，而是两个底面重合的圆锥组合体. 4. 组合体 （1） 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体. 5. 表面积与体积计算公式 （1） 表面积公式 几何体 表面积公式 示意图 柱体 （ 为直截面周长） 锥体 台体 球 （2） 体积公式 几何体 体积公式 示意图 柱体 锥体 台体 球 【易错提醒】 在计算组合体的表面积时，必须注意各简单几何体拼接重合部分的面积不能计入总表面积中，需将其扣除. 6. 空间几何体的直观图 （1） 斜二测画法的主要步骤如下： ① 建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系. ② 画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或 ），它们确定的平面表示水平平面. ③ 画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一半.可简化为“横不变，纵减半”. ④ 擦去辅助线.图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线. ⑤ 直观图和平面图形的面积比为. （2） 平行投影与中心投影 ① 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点. 【防坑警示】 在斜二测画法中，原图形中平行的线段在直观图中依然平行，但原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，原图形中互相垂直的线段在直观图中通常不再垂直. 三、典题精练 考点一：空间几何体的结构特征与直观图 考法1：判断空间几何体的结构特征 例1.（2026·河南周口·一模）（多选）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（　　） A. 该几何体可能是三棱锥 B. 该几何体可能是四棱柱 C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 考法2：计算空间几何体的基本量与欧拉公式 例2.（2026·浙江温州·一模）（多选）如图，圆台上下底面半径分别为1和2，分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（　　） A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于 考法3：利用斜二测画法还原直观图并计算 例3.（2026·湖南长沙·模拟）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形的周长为＿＿＿＿＿＿. 考法4：空间几何体结构特征的综合应用 例4.（2026·江西五市十校·联考）（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（　　） A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，异面直线与之间的距离为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 为所在直线上的动点，则的最大值为 【考点一 方法总结】 1. 解决空间几何体的拼接与折叠问题，核心是将空间问题转化为平面问题.通常需要画出几何体的表面展开图，利用平面几何中的勾股定理、余弦定理等工具寻找边角关系.同时，要熟记常见几何体（如棱锥、棱柱）的面数、顶点数及各面的形状特征. 2. 处理圆台、圆锥等旋转体问题时，最有效的方法是“截面法”，尤其是作出轴截面.对于涉及底面圆周上动点的问题，常通过作底面垂线、连接圆心与动点等方式，构造直角三角形或平行四边形，从而将空间几何问题降维至平面内解决. 3. 斜二测画法还原问题的通用解法是：建立直角坐标系，将直观图中的已知点坐标化，利用变换规则还原出原图形中对应点的坐标，再利用两点间距离公式求出边长，进而计算周长或面积. 4. 组合体综合题的破解策略：①结构分解：将组合体拆解为熟悉的简单几何体，明确各部分的基本量；②位置关系：利用几何体的母线、高、底面等特征寻找垂直与平行关系；③最值问题：体积最值常转化为动点到定平面的最大距离，表面最短路径必须利用侧面展开图转化为平面两点间距离. 考点二：空间几何体的表面积与展开图 考法5：计算简单几何体或组合体的表面积 例5.（2026·福建厦门·检测）如图，已知正方体的棱长为1.平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（　　） A. B. C. D. 考法6：利用展开图计算表面积或基本量 例6.（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（　　） A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 考法7：利用展开图求解表面最短路径问题 例7.（2026·广东深圳·二模）如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为.求长度的最小值； 考法8：表面积的比例与最值问题 例8.（2026·浙江Z20联盟·检测）设圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当取到最小值时，＿＿＿＿＿＿. 【考点二 方法总结】 1. 求解多面体表面积的步骤：①定形：明确多面体的各个顶点及其围成的每一个面的形状；②定量：利用原几何体（如正方体）的棱长、面对角线、体对角线等基本量，计算出目标多面体各条棱的长度；③求和：分别计算各个面的面积后相加，注意利用全等关系简化计算. 2. 圆锥问题的核心是“直角三角形”（由高、底面半径、母线构成）和“侧面展开图”（扇形）.过顶点的截面面积公式为（为母线，为两条母线的夹角），当时面积最大，但需注意圆锥的最大轴截面顶角是否允许达到. 3. 旋转体表面最短路径问题的通用解法：①展开：将旋转体的侧面展开为平面图形（圆柱展开为矩形，圆锥展开为扇形）；②连线：在展开图中标出起点和终点，连接两点得到线段；③计算：利用底面周长等于展开图的弧长（或矩形边长）求出关键角度或长度，再解三角形求得最短距离. 4. 处理几何体中基本量比例的最值问题，常采用“齐次化”与“换元法”.通过几何条件列出等式，将目标比值转化为关于某一个比例变量（如）的函数，随后借助基本不等式或导数工具求出最值及其成立条件. 考点三：空间几何体的体积 考法9：计算简单几何体或组合体的体积 例9.（2026·广东江门·二模）正三棱柱的棱长均为2，分别是棱的中点，过点的平面分别交直线于点，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为＿＿＿＿＿＿. 考法10：利用等体积法或割补法计算体积 例10.（2026·江苏南通·检测）若四面体中，，，，则四面体的体积是＿＿＿＿＿＿. 考法11：利用展开图计算体积 例11.（2025·广东深圳·检测）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 考法12：体积的比例与最值问题 例12.（2025·河南金科新未来·联考）在三棱锥中，，点在平面上的投影是的垂心，平面，若，则三棱锥的体积的最大值为＿＿＿＿＿＿. 考法13：体积与线面关系的综合应用 例13.（2026·湖北黄冈·模拟）（多选）在四面体中，是边长为2的等边三角形，，均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是（　　） A. B. C. D. 【考点三 方法总结】 1. 截面分割几何体求体积的常用策略是“补体法”与“割补法”.当截面将几何体分割为不规则多面体时，可将截面所在的平面向外延伸，与几何体的底面或侧面所在平面相交，补成规则的棱锥或棱台，再利用大体积减去小体积得出结果. 2. “等腰四面体”（三对对棱分别相等）的体积计算，统一解法为构造长方体模型.设长方体的长、宽、高分别为，利用勾股定理建立方程组解出.四面体的体积固定为长方体体积的，即. 3. 解决圆锥展开图问题的核心在于建立两个等量关系：①底面周长展开图扇形弧长；②母线长展开图扇形半径.求出和后，利用求高，进而可求体积. 4. 空间几何体体积最值问题的求解步骤：①选主元：选择几何体中某个合适的线段长或角度作为自变量；②列表达式：利用几何关系（如射影定理、勾股定理）将体积表示为该自变量的函数；③求最值：利用基本不等式或导数工具求出函数的最值. 5. 遇到“等腰直角三角形”等未明确对应顶点的条件时，必须树立分类讨论的思想.在每种分类情况下，首要任务是寻找或构造几何体的高，通常利用面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理，将平面内的垂直关系转化为空间中的高. 考点四：空间几何体的综合问题 考法14：结合数列极限求解分形几何问题 例14.（2026·福建泉州·一模）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得到科赫四面体. 现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为的正四面体经过持续重复上述操作得到的.记第次操作后生成的几何体为，设的表面积为，体积为. （1） 求； （2） 在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比表面积随的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因. （3） 是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，请说明理由. 【考点四 方法总结】 1. 解决分形几何与数列结合的问题，关键在于“递推”.通过分析从第次到第次操作时，几何体面数、边长、体积的增量变化，建立递推关系式.对于外接球问题，需抓住几何体中心的稳定性，利用空间两点间距离的三角不等式进行放缩证明. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷·第5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 2.（2025·全国一卷·第9题）（多选）在正三棱柱中，为中点，则（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 3.（2025·全国一卷·第17题）如图所示的四棱锥中，平面，，. （1） 证明：平面平面； （2） ，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. ①证明：在平面上； ②求直线与直线所成角的余弦值. 4.（2026·全国一卷·第15题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1） 证明：平面； （2） 设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $