第43讲 数列的通项公式·讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学讲义聚焦数列通项公式高考核心考点，涵盖观察法、累加法、构造法等求法，按考情分析、知识清单、典题精练、真题训练的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、分层训练帮助学生构建解题体系，突破递推关系转化难点。 资料以数学思维培养为核心，如构造法中通过待定系数将递推式转化为等比数列，结合杨辉三角等数学文化题提升应用意识。设置基础到综合的分层练习，配合高考真题实战，助力学生高效掌握通法，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第43讲 数列的通项公式 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 4 考点一：观察法求通项 4 考点二：由与关系求通项 5 考点三：累加法与累乘法求通项 5 考点四：构造法求通项 6 考点五：特殊递推关系求通项 7 考点六：递推数列的综合应用 8 四、高考真题 9 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第16题 解答题 15分 直接 考察通过对递推关系式进行代数变形，构造等差数列求通项公式的方法. 2026 — — — — 近三年全国一卷中，数列的通项公式在2025年以解答题形式进行了直接考查.整体来看，通项公式的求解常作为数列综合题的第一问出现，是解决后续求和或证明问题的重要基础. 2. 命题角度与特色 （1） 侧重于对递推关系的代数变形能力的考查，要求学生能够通过同乘、同除等手段构造出基本的等差或等比数列. （2） 常与其他知识板块（如导数、函数求导与错位相减求和的结合）进行综合考查，体现了知识的交汇性与综合性. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握由递推关系求通项公式的常见方法，如累加法、累乘法、构造法等基本题型. （2） 提高代数变形与式子化简能力，能够敏锐观察递推式的结构特征，寻找构造等差或等比数列的切入点. （3） 重视数列与函数、导数等知识的跨章节综合训练，提升综合运用数学知识解决问题的能力. 二、知识清单 1. 观察法与公式法 （1） 观察法：已知数列的前若干项，通过观察各项的符号、分子、分母等特征，寻找项与项数之间的规律，从而归纳出数列的通项公式. （2） 公式法：若已知数列的前项和与通项的关系，可利用公式求解.求解后需检验时的情形是否符合时的通项公式，若符合则合写为一个表达式，否则写成分段函数的形式. 【易错提醒】 在利用公式求通项时，极易忽略的前提条件.必须单独计算，并检验是否符合由推导出的表达式.若不符合，必须写成分段函数的形式. 2. 累加法 （1） 适用类型：形如的递推数列. （2） 求解步骤：将递推式变形为，依次列出个等式，将这个等式两边分别相加，可得（）. （3） 常见情形： ① 若为常数，则该数列为等差数列. ② 若为关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和. ③ 若为关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和. ④ 若为关于的分式函数或根式函数，累加后常通过裂项相消法求和. 3. 累乘法 （1） 适用类型：形如的递推数列，且. （2） 求解步骤：将递推式变形为，依次列出个等式，将这个等式两边分别相乘，可得（）. （3） 常见情形：若为关于的分式，累乘后常通过裂项相消（约分）化简. 【防坑警示】 在使用累乘法时，必须确保作为分母的项.在解题步骤中，应先根据已知条件和递推关系，简要说明恒成立，再进行除法运算. 4. 构造数列法 （1） 适用类型一：形如（均为非零常数，且）的一阶线性递推数列. （2） 求解步骤：利用待定系数法，设，展开后与原式比较系数，解得.从而将原数列转化为以为首项，以为公比的等比数列，求出其通项后再解出. （3） 适用类型二：形如（）的递推数列. ① 若为一次函数，可设，通过待定系数法求出，构造等比数列.或者利用与两式相减，转化为累加法求解. ② 若为指数函数，即.当时，可在两边同除以，转化为，再利用构造法求解；当时，可在两边同除以，转化为，此时为等差数列. 5. 倒数变换法 （1） 适用类型一：形如（）的分式递推数列. （2） 求解步骤：两边取倒数，得.令，则转化为，再利用构造数列法求出，进而求出. （3） 适用类型二：形如（）的递推数列.两边同除以，得，即为等差数列. 【防坑警示】 在使用倒数变换法时，同样必须先验证并说明数列的所有项均不为零，方可进行取倒数或同除操作. 6. 对数变换法 （1） 适用类型：形如（）的递推数列. （2） 求解步骤：两边取对数，得（底数可根据题意选取，通常取或）.令，则转化为，再利用构造数列法求出，进而求出. 【防坑警示】 在使用对数变换法时，必须确保数列的各项均为正数（即恒成立），否则不能在等式两边取对数. 7. 特征方程法（二阶线性递推） （1） 适用类型：形如（）的递推数列. （2） 求解步骤：利用待定系数法，设，展开比较系数得，.可知是一元二次方程（即特征方程）的两个根.从而转化为等比数列求解. 8. 奇偶项分段数列与周期数列 （1） 奇偶项分段数列：若递推关系中含有或根据的奇偶性给出不同的递推式，通常需要分为奇数和偶数两种情况进行讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，最后用分段函数表示，或尝试合并为一个统一的解析式. （2） 周期数列：若递推关系呈现周期性变化，可通过计算前几项寻找周期规律，利用的性质确定通项. 三、典题精练 考点一：观察法求通项 考法1：观察前几项归纳通项公式 例1.若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（　　） A. B. C. D. 考法2：结合数学文化与模型观察求通项 例2.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数构成数列，其前项和为，则（　　） A. B. C. D. 【考点一 方法总结】 1. 归纳数列通项公式时，通常将数列的项拆分为符号、分子、分母等部分，分别观察它们与项数的关系，最后进行乘积组合. 2. 对于分母为相邻两项乘积的数列，常将其拆分为两项之差，利用裂项相消法进行求和. 考点二：由与关系求通项 考法3：利用与关系求通项 例3.（2026·广东佛山·检测）已知数列的前项和为，且（为常数，且）. （1）求的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 考法4：利用与关系求通项并求和或最值 例4.（2026·山东烟台·检测）已知正项数列的前项和为，，且. （1） 求数列的通项公式； （2） 求数列的前项和. 考法5：利用与关系求通项并证明不等式 例5.（2026·山东泰安·一模）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 1. 已知与的关系式，通常利用（）转化为的递推式，必须单独检验时公式是否成立. 2. 遇到复杂的与混合式，可通过代数变形（如同除、因式分解等）分离变量，转化为基本递推关系. 3. 当递推式中含有的二次式时，常构造的等差数列进行求解. 考点三：累加法与累乘法求通项 考法6：利用累加法求通项 例6.（2024·广东新南方·联考）数列满足. （1） 求数列的通项公式； （2） 若数列满足，求数列的前项和. 考法7：利用累乘法求通项 例7.（2026·河北名校·一模）已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（　　） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【考点三 方法总结】 1. 形如的递推式，若可求和，则直接使用累加法求通项. 2. 形如的递推式，若可求积，则使用累乘法求通项. 考点四：构造法求通项 考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项 例8.（2026·安徽淮北·检测）已知数列满足，，． （1） 设，求证：数列为等比数列； （2） 求的通项公式． 考法9：同除以指数构造数列求通项 例9.已知数列满足，，求数列的通项公式． 考法10：取倒数法构造数列求通项 例10.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知数列满足，． （1） 证明：数列是等差数列； （2） 若数列满足，求数列的前项和． 考法11：取对数法构造数列求通项 例11.已知数列满足，． （1） 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2） 若，数列的前项和，求证：． 考法12：因式分解法构造数列求通项 例12.（2025·河南南阳一中·三模）已知正项数列中，，满足． （1） 求数列的通项公式； （2） 已知数列满足，求数列的前项和． 【考点四 方法总结】 1. 对于型递推式，常通过待定系数法将其转化为的形式构造等比数列. 2. 形如的递推式，通常两边同除以或，构造新的等差或等比数列. 3. 形如的分式递推式，常通过求特征根或取倒数法构造等差或等比数列. 4. 形如或可通过平移转化为该形式的递推式，两边取对数是降次的有效手段. 5. 对于含有、及交叉项的齐次递推式，优先考虑因式分解转化为一阶线性递推式. 考点五：特殊递推关系求通项 考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项 例13.（2025·河北衡水·联考）已知数列满足，记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列． （1） 求的值； （2） 求的通项公式； （3） 求的通项公式，并证明：． 考法14：周期数列求通项与求和 例14.（2026·山东淄博·二模）记为数列的前项和，若，，且，则（　　） A. B. C. D. 考法15：前n项积型数列求通项 例15.（2026·湖北孝感·一模）已知数列为等比数列，，公比，是数列的前项积．若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考法16：双数列递推求通项 例16.已知数列和满足． （1） 证明：是等比数列，是等差数列； （2） 求的通项公式以及的前项和． 考法17：其他非线性或高阶递推求通项 例17.已知，则的通项公式为＿＿＿＿＿＿． 考法18：结合实际情境与模型的递推数列 例18.（2025·河北保定·一模）现有个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生的 B 类信号全部发射至下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第个处理器发射的 B 类信号数量记作，即，则＿＿＿＿＿＿，数列的通项公式＿＿＿＿＿＿． 【考点五 方法总结】 1. 当已知条件涉及时，通常需要按奇偶项分类讨论，利用分组累加法求. 2. 含有周期性变化的系数（如三角函数、）的递推式，应根据周期进行分类讨论，转化为常规递推式. 3. 等比数列的前项积，常转化为指数函数的单调性或二次函数的最值问题. 4. 对于双数列交织的递推式，通过整体加减构造出两个独立的等差或等比数列是通法. 5. 对于分式递推式，若有两个不同的特征根，则. 6. 实际情境中的数列问题，关键是准确理解题意，将文字描述转化为数学递推符号，再运用常规方法求解. 考点六：递推数列的综合应用 考法19：递推数列与不等式证明 例19.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列中，，． （1） 求证：数列为等比数列； （2） 记，数列的前项和为，求证：． 考法20：抽象递推关系求通项 例20.（2026·安徽·检测）已知数列满足： （1）求，； （2）猜想数列的通项公式并给出证明. 考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和） 例21.（2026·广东广州·一模）数列的前三项均为1，是公比为3的等比数列，且. （1）求的前项和； （2）求. 【考点六 方法总结】 1. 数列不等式证明中，若直接求和困难，常通过放缩法将通项放大或缩小为可求和的数列（如等比数列或裂项相消数列）. 2. 对于抽象的求和递推式，赋值猜想是探路的好方法，证明时常利用与的式子作差消去求和符号. 3. 对于跨项的递推关系（如），求特定项时可采用间隔累加法，注意起始项的对应. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第43讲 数列的通项公式 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 4 考点一：观察法求通项 4 考点二：由与关系求通项 5 考点三：累加法与累乘法求通项 8 考点四：构造法求通项 9 考点五：特殊递推关系求通项 12 考点六：递推数列的综合应用 16 四、高考真题 18 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第16题 解答题 15分 直接 考察通过对递推关系式进行代数变形，构造等差数列求通项公式的方法. 2026 — — — — 近三年全国一卷中，数列的通项公式在2025年以解答题形式进行了直接考查.整体来看，通项公式的求解常作为数列综合题的第一问出现，是解决后续求和或证明问题的重要基础. 2. 命题角度与特色 （1） 侧重于对递推关系的代数变形能力的考查，要求学生能够通过同乘、同除等手段构造出基本的等差或等比数列. （2） 常与其他知识板块（如导数、函数求导与错位相减求和的结合）进行综合考查，体现了知识的交汇性与综合性. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握由递推关系求通项公式的常见方法，如累加法、累乘法、构造法等基本题型. （2） 提高代数变形与式子化简能力，能够敏锐观察递推式的结构特征，寻找构造等差或等比数列的切入点. （3） 重视数列与函数、导数等知识的跨章节综合训练，提升综合运用数学知识解决问题的能力. 二、知识清单 1. 观察法与公式法 （1） 观察法：已知数列的前若干项，通过观察各项的符号、分子、分母等特征，寻找项与项数之间的规律，从而归纳出数列的通项公式. （2） 公式法：若已知数列的前项和与通项的关系，可利用公式求解.求解后需检验时的情形是否符合时的通项公式，若符合则合写为一个表达式，否则写成分段函数的形式. 【易错提醒】 在利用公式求通项时，极易忽略的前提条件.必须单独计算，并检验是否符合由推导出的表达式.若不符合，必须写成分段函数的形式. 2. 累加法 （1） 适用类型：形如的递推数列. （2） 求解步骤：将递推式变形为，依次列出个等式，将这个等式两边分别相加，可得（）. （3） 常见情形： ① 若为常数，则该数列为等差数列. ② 若为关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和. ③ 若为关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和. ④ 若为关于的分式函数或根式函数，累加后常通过裂项相消法求和. 3. 累乘法 （1） 适用类型：形如的递推数列，且. （2） 求解步骤：将递推式变形为，依次列出个等式，将这个等式两边分别相乘，可得（）. （3） 常见情形：若为关于的分式，累乘后常通过裂项相消（约分）化简. 【防坑警示】 在使用累乘法时，必须确保作为分母的项.在解题步骤中，应先根据已知条件和递推关系，简要说明恒成立，再进行除法运算. 4. 构造数列法 （1） 适用类型一：形如（均为非零常数，且）的一阶线性递推数列. （2） 求解步骤：利用待定系数法，设，展开后与原式比较系数，解得.从而将原数列转化为以为首项，以为公比的等比数列，求出其通项后再解出. （3） 适用类型二：形如（）的递推数列. ① 若为一次函数，可设，通过待定系数法求出，构造等比数列.或者利用与两式相减，转化为累加法求解. ② 若为指数函数，即.当时，可在两边同除以，转化为，再利用构造法求解；当时，可在两边同除以，转化为，此时为等差数列. 5. 倒数变换法 （1） 适用类型一：形如（）的分式递推数列. （2） 求解步骤：两边取倒数，得.令，则转化为，再利用构造数列法求出，进而求出. （3） 适用类型二：形如（）的递推数列.两边同除以，得，即为等差数列. 【防坑警示】 在使用倒数变换法时，同样必须先验证并说明数列的所有项均不为零，方可进行取倒数或同除操作. 6. 对数变换法 （1） 适用类型：形如（）的递推数列. （2） 求解步骤：两边取对数，得（底数可根据题意选取，通常取或）.令，则转化为，再利用构造数列法求出，进而求出. 【防坑警示】 在使用对数变换法时，必须确保数列的各项均为正数（即恒成立），否则不能在等式两边取对数. 7. 特征方程法（二阶线性递推） （1） 适用类型：形如（）的递推数列. （2） 求解步骤：利用待定系数法，设，展开比较系数得，.可知是一元二次方程（即特征方程）的两个根.从而转化为等比数列求解. 8. 奇偶项分段数列与周期数列 （1） 奇偶项分段数列：若递推关系中含有或根据的奇偶性给出不同的递推式，通常需要分为奇数和偶数两种情况进行讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，最后用分段函数表示，或尝试合并为一个统一的解析式. （2） 周期数列：若递推关系呈现周期性变化，可通过计算前几项寻找周期规律，利用的性质确定通项. 三、典题精讲 考点一：观察法求通项 考法1：观察前几项归纳通项公式 例1.若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】观察数列前几项的符号、分子、分母的特征，分别寻找它们与项数之间的对应规律，再将各部分组合起来. 【解析】通过观察数列的前6项，可以发现有如下规律： 且奇数项为正，偶数项为负，故用表示各项的正负. 各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数. 而分母是以1为首项，2为公差的等差数列. 故第项的绝对值是. 所以数列的通项可为. 故选D. 【规律】归纳数列通项公式时，通常将数列的项拆分为符号、分子、分母等部分，分别观察它们与项数的关系，最后进行乘积组合. 考法2：结合数学文化与模型观察求通项 例2.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数构成数列，其前项和为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据杨辉三角的规律写出数列的前几项，将其分母转化为相邻两整数乘积的形式，从而归纳出通项公式，再利用裂项相消法求和. 【解析】由题意可知， . . . . 则. 所以其前项和为： . . 则. 故选B. 【规律】对于分母为相邻两项乘积的数列，常将其拆分为两项之差，利用裂项相消法进行求和. 【考点一 方法总结】 1. 归纳数列通项公式时，通常将数列的项拆分为符号、分子、分母等部分，分别观察它们与项数的关系，最后进行乘积组合. 2. 对于分母为相邻两项乘积的数列，常将其拆分为两项之差，利用裂项相消法进行求和. 考点二：由与关系求通项 考法3：利用与关系求通项 例3.（2026·广东佛山·检测）已知数列的前项和为，且（为常数，且）. （1）求的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问利用将已知条件转化为的表达式，注意必须单独检验的情况；第二问代入求出，化简后利用裂项相消法求和. 【解析】（1）当时，.当时，.所以.由于，故，不适合.综上，的通项公式为. （2）若，由（1）即，得.所以，时，.即.所以，当时，.当时，，即.所以，当时，.当时，.所以.当时，.当时，也满足.综上，. 【规律】已知与的关系式，通常利用（）转化为的递推式，必须单独检验时公式是否成立. 考法4：利用与关系求通项并求和或最值 例4.（2026·山东烟台·检测）已知正项数列的前项和为，，且. （1） 求数列的通项公式； （2） 求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问将条件式两边同除以，构造出，从而得到与的关系，再用求解；第二问将通项代入后利用裂项相消法求和. 【解析】（1）因为，所以，.所以，即.当时，.两式相减，可得，整理得.所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）.所以.整理得. 【规律】遇到复杂的与混合式，可通过代数变形（如同除、因式分解等）分离变量，转化为基本递推关系. 考法5：利用与关系求通项并证明不等式 例5.（2026·山东泰安·一模）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【思路】利用平方差公式将条件转化为，求出后再求，注意的正负会导致两种情况，随后利用放缩法证明不等式. 【解析】由，得，即. 当时，，即，解得，故A正确. 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以，即，故B错误. 当时，，则. 当时，，则，故C正确. 当时，. 当时，，故D正确. 【规律】当递推式中含有的二次式时，常构造的等差数列进行求解. 【考点二 方法总结】 1. 已知与的关系式，通常利用（）转化为的递推式，必须单独检验时公式是否成立. 2. 遇到复杂的与混合式，可通过代数变形（如同除、因式分解等）分离变量，转化为基本递推关系. 3. 当递推式中含有的二次式时，常构造的等差数列进行求解. 考点三：累加法与累乘法求通项 考法6：利用累加法求通项 例6.（2024·广东新南方·联考）数列满足. （1） 求数列的通项公式； （2） 若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【思路】由可知，数列的相邻项之差构成等差数列，利用累加法可求出；第二问将代入后利用裂项相消法求和. 【解析】（1），因此是以2为首项，1为公差的等差数列.设的前项和为，则.又由，得.当时，经检验也满足，. （2），因此. 【规律】形如的递推式，若可求和，则直接使用累加法求通项. 考法7：利用累乘法求通项 例7.（2026·河北名校·一模）已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（　　） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】C 【思路】将递推式变形为，说明相邻项的比值构成等差数列，求出比值后再用累乘法求，最后代入求和并解不等式. 【解析】由可得，，又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以. 当时，，又，也符合，故. 所以. 当为偶数时，. 当为奇数且时，为偶数，则. 又符合上式，故当为奇数时，. 当为偶数时，，当为奇数时，，故. 由可得，即，故满足条件的的最大值为23. 故选C. 【规律】形如的递推式，若可求积，则使用累乘法求通项. 【考点三 方法总结】 1. 形如的递推式，若可求和，则直接使用累加法求通项. 2. 形如的递推式，若可求积，则使用累乘法求通项. 考点四：构造法求通项 考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项 例8.（2026·安徽淮北·检测）已知数列满足，，． （1） 设，求证：数列为等比数列； （2） 求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【思路】将二阶线性递推式变形为，构造等比数列，再用累加法求通项. 【解析】（1）由得：， 即，故为等比数列； （2），由（1）得. 即， 于是. 【规律】对于型递推式，常通过待定系数法将其转化为的形式构造等比数列. 考法9：同除以指数构造数列求通项 例9.已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【思路】递推式右边含有指数式，两边同除以，可构造出等差数列. 【解析】将两边除以， 得，则， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则， ∴数列的通项公式为. 【规律】形如的递推式，通常两边同除以或，构造新的等差或等比数列. 考法10：取倒数法构造数列求通项 例10.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知数列满足，． （1） 证明：数列是等差数列； （2） 若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【思路】将递推式减1后取倒数，证明是等差数列；第二问求出后，找到其正负分界点，分段去绝对值求和. 【解析】（1）证明：数列满足，则，于是，即，而，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，，即，则，所以，当时，，当时，，所以当时，；当时，.综上所述：. 【规律】形如的分式递推式，常通过求特征根或取倒数法构造等差或等比数列. 考法11：取对数法构造数列求通项 例11.已知数列满足，． （1） 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2） 若，数列的前项和，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【思路】将递推式配方为，两边取自然对数，转化为等比数列求解；第二问利用裂项相消法证明不等式. 【解析】（1） 因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则， 所以； （2） 由，得， 则， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 【规律】形如或可通过平移转化为该形式的递推式，两边取对数是降次的有效手段. 考法12：因式分解法构造数列求通项 例12.（2025·河南南阳一中·三模）已知正项数列中，，满足． （1） 求数列的通项公式； （2） 已知数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【思路】将递推式看作关于的一元二次方程，因式分解得到与的比例关系；第二问分奇偶项分别求和. 【解析】（1）由题意：，即，因为，所以，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）方法一：由（1）知，为奇数时，，，由于无法求和，方法一错误. 方法二：由（1）知，设，则可得，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，所以的前项和，设，所以的前项和，所以. 【规律】对于含有、及交叉项的齐次递推式，优先考虑因式分解转化为一阶线性递推式. 【考点四 方法总结】 1. 对于型递推式，常通过待定系数法将其转化为的形式构造等比数列. 2. 形如的递推式，通常两边同除以或，构造新的等差或等比数列. 3. 形如的分式递推式，常通过求特征根或取倒数法构造等差或等比数列. 4. 形如或可通过平移转化为该形式的递推式，两边取对数是降次的有效手段. 5. 对于含有、及交叉项的齐次递推式，优先考虑因式分解转化为一阶线性递推式. 考点五：特殊递推关系求通项 考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项 例13.（2025·河北衡水·联考）已知数列满足，记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列． （1） 求的值； （2） 求的通项公式； （3） 求的通项公式，并证明：． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【思路】利用，结合已知等比数列，分奇数项和偶数项分别进行累加求和，进而求出. 【解析】（1），则， 当时，，又，则， 当时，，即，又，则. （2）当为偶数时，，同理，，以此类推，，累加有，化简得，则.当为奇数时，，同理，，以此类推，累加有，化简得.综上，. （3）由（2）可得，，故.当为奇数时，易知与均增大而增大，当时，，故.此时，当时，，而对于任意奇数，，故.当为偶数时，易知与均增大而减小，当时，，故.此时，当时，，而对于任意偶数，，故.综上：. 【规律】当已知条件涉及时，通常需要按奇偶项分类讨论，利用分组累加法求. 考法14：周期数列求通项与求和 例14.（2026·山东淄博·二模）记为数列的前项和，若，，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】递推式中含有三角函数，利用三角函数的周期性，对分奇偶讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项，再分组求和. 【解析】. 当为奇数时，，，. . ，所以. 当为偶数时，，，. ，所以. . 【规律】含有周期性变化的系数（如三角函数、）的递推式，应根据周期进行分类讨论，转化为常规递推式. 考法15：前n项积型数列求通项 例15.（2026·湖北孝感·一模）已知数列为等比数列，，公比，是数列的前项积．若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】26 【思路】先求出等比数列的通项公式，再利用同底数幂的乘法法则求出前项积，最后解指数不等式. 【解析】由题意，所以，由，可得，则有，解得或，又为正整数，所以的最小值是26. 【规律】等比数列的前项积，常转化为指数函数的单调性或二次函数的最值问题. 考法16：双数列递推求通项 例16.已知数列和满足． （1） 证明：是等比数列，是等差数列； （2） 求的通项公式以及的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2）, 【思路】将两个递推式分别相加和相减，构造出和两个基本数列，求出它们的通项后再解方程组求. 【解析】（1） 证明：因为， 所以，即， ，所以是公比为的等比数列. 将方程左右两边分别相减， 得，化简得， 所以是公差为2的等差数列. （2） 由（1）知，， 上式两边相加并化简，得， 所以. 【规律】对于双数列交织的递推式，通过整体加减构造出两个独立的等差或等比数列是通法. 考法17：其他非线性或高阶递推求通项 例17.已知，则的通项公式为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】将递推式分子分母分别减去特征根，两式相除构造等比数列. 【解析】，① .② 由①÷②得. 又因为，所以是公比为-2，首项为-2的等比数列，从而，即. 【规律】对于分式递推式，若有两个不同的特征根，则. 考法18：结合实际情境与模型的递推数列 例18.（2025·河北保定·一模）现有个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生的 B 类信号全部发射至下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第个处理器发射的 B 类信号数量记作，即，则＿＿＿＿＿＿，数列的通项公式＿＿＿＿＿＿． 【答案】8； 【思路】根据信号处理规则，列出和的递推关系，利用待定系数法构造等比数列求通项. 【解析】设第个处理器发射的 A 类信号数量记作，则， 由题意，当时，第个处理器发射的 A 类信号数量为，即当时，， 当时，，则， 故当时，，可得， 又，所以数列从第二项开始是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，上式不成立，所以. 【规律】实际情境中的数列问题，关键是准确理解题意，将文字描述转化为数学递推符号，再运用常规方法求解. 【考点五 方法总结】 1. 当已知条件涉及时，通常需要按奇偶项分类讨论，利用分组累加法求. 2. 含有周期性变化的系数（如三角函数、）的递推式，应根据周期进行分类讨论，转化为常规递推式. 3. 等比数列的前项积，常转化为指数函数的单调性或二次函数的最值问题. 4. 对于双数列交织的递推式，通过整体加减构造出两个独立的等差或等比数列是通法. 5. 对于分式递推式，若有两个不同的特征根，则. 6. 实际情境中的数列问题，关键是准确理解题意，将文字描述转化为数学递推符号，再运用常规方法求解. 考点六：递推数列的综合应用 考法19：递推数列与不等式证明 例19.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列中，，． （1） 求证：数列为等比数列； （2） 记，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【思路】对递推式取倒数构造等比数列求出，进而求出，再利用放缩法将放大为等比数列进行求和证明. 【解析】（1）证明：，， ，即， ，数列是以2为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，，， . 当时，； 当时，. 【规律】数列不等式证明中，若直接求和困难，常通过放缩法将通项放大或缩小为可求和的数列（如等比数列或裂项相消数列）. 考法20：抽象递推关系求通项 例20.（2026·安徽·检测）已知数列满足： （1）求，； （2）猜想数列的通项公式并给出证明. 【答案】（1）， （2）通项公式为，证明见解析 【思路】先通过赋值法求出数列的前几项，归纳猜想出通项公式，再利用作差法证明猜想. 【解析】（1）已知对任意正整数，有 当时，. 当时，，代入，得. 所以，. （2）猜想通项公式为. 由题设，当时，有. ①－②得：③. 将替换为，得④. ④－③得：，即. 结合，知数列是首项为1，公比为-1的等比数列. 故通项公式为，得证. 【规律】对于抽象的求和递推式，赋值猜想是探路的好方法，证明时常利用与的式子作差消去求和符号. 考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和） 例21.（2026·广东广州·一模）数列的前三项均为1，是公比为3的等比数列，且. （1）求的前项和； （2）求. 【答案】（1） （2） 【思路】利用等比数列通项公式求出，再利用对数运算法则化简求和；第二问利用的关系，通过间隔累加法求出特定项. 【解析】（1）因为是公比为3的等比数列，且. 又因为，则. 可得，则. 可得. 所以. （2）因为，即，则. 可得. 则 . 所以. 【规律】对于跨项的递推关系（如），求特定项时可采用间隔累加法，注意起始项的对应. 【考点六 方法总结】 1. 数列不等式证明中，若直接求和困难，常通过放缩法将通项放大或缩小为可求和的数列（如等比数列或裂项相消数列）. 2. 对于抽象的求和递推式，赋值猜想是探路的好方法，证明时常利用与的式子作差消去求和符号. 3. 对于跨项的递推关系（如），求特定项时可采用间隔累加法，注意起始项的对应. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由题意证明如下，. 在数列中，，. 所以，即. 所以是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，. 在数列中，首项为3，公差为1. 所以，即. 在中. ，. 所以. 当且时. 所以. 所以. 所以. . . . 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $