第42讲 等比数列及其前n项和·讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列及其前n项和核心考点，涵盖定义、公式、性质及综合应用，按考情分析、知识清单、分考点精练（八个考点）、高考真题的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导（如基本量方程法、分类讨论）、真题训练等环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于分考点细化25种考法，结合几何分形、函数求导等跨模块应用，培养数学思维与应用意识。设计典例精讲（如构造新数列证明）、分层练习（基础到综合），保障复习效果，提升学生解题能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支撑。

第42讲 等比数列及其前n项和 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 3 考点一：等比数列的基本运算 3 考点二：等比数列的判定与证明 5 考点三：等比数列项的性质应用 7 考点四：等比数列前n项和的性质 9 考点五：数列通项与求和综合 10 考点六：等差数列与等比数列的综合应用 13 考点七：等比数列的范围与最值问题 16 考点八：等比数列的实际应用 18 四、高考真题 19 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第13题 填空题 第16题 解答题 5分 15分 直接 间接 等比数列前n项和的性质与公比求解 等比数列求和公式在函数求导中的应用 2026 第14题 填空题 5分 直接 等比数列的性质与不等式综合求参数最值 近三年全国一卷中，等比数列及其前n项和的考查频率较高，体现了该知识点在高中数学中的重要基础地位与工具性作用. 2. 命题角度与特色 （1） 基础与综合并重：既有对等比数列前n项和公式、片段和性质等基本量的直接考查，也有与新定义数列、不等式结合的综合性问题，对学生的代数变形能力和逻辑推理能力要求较高. （2） 跨模块交汇：等比数列求和公式常作为解题工具，在导数、函数等其他模块的解答题中作为关键运算步骤出现，体现了知识的交汇性. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握等比数列的通项公式、前n项和公式及其基本性质（如片段和性质），在处理基本量计算时注意对公比是否为1进行分类讨论. （2） 重视等比数列与其他知识板块（如函数求导、不等式放缩、新定义数列）的交汇，提升综合解题与跨模块应用能力. 二、知识清单 1. 等比数列的有关概念 （1） 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为. （2） 等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即是与的等比中项 成等比数列 . 2. 等比数列的有关公式 （1） 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式. ① 推广形式：. （2） 等比数列的前项和公式：等比数列的公比为，其前项和为. ① 等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解. ② 已知(项数)，则利用求解；已知，则利用求解. ③ ，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数. 3. 等比数列的性质 （1） 等比中项的推广：若时，则，特别地，当时，. （2） 衍生数列性质： ① 设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列. ② 设与为等比数列，则与也为等比数列. ③ 若为正项等比数列，则为等差数列，公差为. ④ 若为等差数列，公差为，则为等比数列，公比为. ⑤ 若既是等差数列又是等比数列，则是非零常数列. （3） 等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）： ① 当或时，为递增数列. ② 当或时，为递减数列. ③ 当时，为常数列；当时，为摆动数列. （4） 前项和与前项积的性质： ① 等间距抽取：为等比数列，公比为. ② 等长度截取：为等比数列，公比为（当时，不为偶数）. ③ 前项积，则.当为奇数时，；当为偶数时，. ④ 积的等长度截取：仍为等比数列，公比为. ⑤ 倒数和性质：等比数列的前项倒数之和. 【易错提醒】 判断一个数列是否为等比数列，必须验证对于任意，是否为同一个非零常数.不能仅凭前几项的比例相等就下结论，且要注意等比数列的任何一项都不能为0. 【防坑警示】 在使用等比数列前项和公式时，极易忽略对公比是否等于1的讨论.当公比含有字母参数时，必须分和两种情况进行求解，否则会导致漏解. 三、典题精讲 考点一：等比数列的基本运算 考法1：利用通项公式与基本量方程求项或公比 例1.（2026·广东华师附中·检测）记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】已知正项等比数列的前n项和与项的关系式，直接利用等比数列的通项公式和前n项和公式，将已知条件转化为关于首项和公比的方程，解方程即可求出公比. 【解析】设公比为.若，则由，可得，解得，不符合题意，∴ .由，则，显然.∴ ，即.即，解得（负值已舍去）.故选D. 【规律】处理等比数列基本量问题时，通常设出首项和公比，利用通项公式和求和公式将已知条件转化为基本量的方程组.注意在应用求和公式时，必须优先排查公比是否为1. 考法2：结合等差或等比中项性质求基本量 例2.（2025·广东·联考）已知正项等比数列的前项和为，满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根据等比数列的性质将已知条件转化为关于首项和公比的方程，解出通项公式.随后代入取整函数表达式中化简，通过分类讨论n的取值，去掉取整符号，最后利用等差数列求和公式求解. 【解析】由得，解得.由得，解得.∴ .∴ .当时，.当时，.∴ . 【规律】遇到包含取整函数的新数列求和问题，核心在于先求出原数列的通项，代入化简后，观察内部代数式的单调性或取值范围，通过分段讨论剥离取整符号，将其转化为常规数列求和. 考法3：利用前n项和公式解基本量方程 例3.（2026·山东枣庄·一模）记正项等比数列的前项和为，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知数列的首项和前3项和，直接利用等比数列的前n项和公式（或展开前3项）建立关于公比的方程，解出公比后代入通项公式即可求出目标项. 【解析】设的公比为，由得，解得或（舍去），∴ .故选A. 【规律】当涉及前n项和且项数较少（如前3项）时，直接展开为往往比使用求和公式更不易出错，同时能避免讨论公比是否为1的情况. 考法4：构造等比数列求基本量 例4.（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】观察图形的生成过程，利用直角三角形的勾股定理寻找相邻两个正方形边长之间的数量关系，从而证明边长序列构成等比数列，最后利用通项公式求解. 【解析】由题意可知，，易知，∴ .又，∴ 数列是以为首项，为公比的等比数列.∴ ，故. 【规律】处理几何图形嵌套或分形问题时，关键是提取相邻两次操作的几何特征，利用相似、勾股定理等工具建立递推关系，进而转化为等比数列模型求解. 【考点一 方法总结】 1. 基本量方程法：“知三求二”是处理等比数列基本量问题的核心.通常设出首项和公比，利用通项公式和求和公式将已知条件转化为基本量的方程组求解. 2. 求和公式的分类讨论：在应用前项和公式时，必须优先排查公比是否为1.当涉及前项和且项数较少（如前3项）时，直接展开为往往比使用求和公式更不易出错，且能避免讨论. 3. 几何分形与新数列求和：处理几何图形嵌套问题时，关键是提取相邻两次操作的几何特征建立递推关系；遇到包含取整函数等新数列求和，先求出原数列通项，再通过分段讨论剥离特殊符号转化为常规求和. 考点二：等比数列的判定与证明 考法5：利用定义或充要条件判定等比数列 例5.（2026·河南周口中学·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【思路】判断充分性时，假设原数列为等比数列，利用通项公式推导新数列相邻项的比值是否为常数.判断必要性时，可通过构造反例（如找一个新数列是等比数列，但原数列不是等比数列的具体数值）来推翻. 【解析】令等比数列的公比为，则.∴ ，数列是等比数列，即.令，，，即数列是等比数列.令，则，显然，数列不是等比数列.∴ 是的充分不必要条件. 【规律】证明一个数列是等比数列，必须严格按照定义证明后一项与前一项的比值为同一个非零常数.在判断逻辑条件时，举反例是说明必要性或充分性不成立的最有效手段. 考法6：利用Sn与an关系证明等比数列 例6.已知数列满足，，其中为的前项和.证明： （1）是等比数列. （2）. 【答案】见解析 【思路】第一问利用与的递推关系，通过作差法消去，得到相邻两项与的关系，再根据题目给出的目标数列结构进行代数变形，证明比值为常数.第二问利用第一问的结论求出通项，代入求和式后采用放缩法证明不等式. 【解析】（1）∵ ，∴ .两式相减得：，即.∴ .当时，，即.又∵ ，∴ 是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，∴ .令.则.不等式左边的前项和.又，∴ 原不等式得证. 【规律】遇到含与的混合递推式，首选作差法转化为只含的递推式.在证明新数列为等比数列时，务必验证首项是否为0，这是解答题中容易遗漏的得分点. 考法7：构造新数列证明等比数列 例7.甲、乙两个容器中分别盛有浓度为，的某种溶液，同时从甲、乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和.记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，. （1）试用，表示，. （2）证明：数列是等比数列，并求出，的通项. 【答案】见解析 【思路】第一问通过分析溶液混合前后的溶质守恒，列出第n次与第n-1次浓度的递推关系式.第二问将两个递推式相减，构造出差数列的递推关系，从而证明其为等比数列，再结合浓度之和为定值解出各自的通项. 【解析】（1）由题意，经次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为.∴ ，. （2）由（1）知，，.可得.∴ 数列是等比数列.∵ ，∴ ①.又∵ ②.联立①②得，. 【规律】双数列交叉递推问题，通常采用两式相加或相减的方法进行解耦，构造出和数列或差数列，将其转化为基本的等差或等比数列模型求解. 【考点二 方法总结】 1. 定义法与中项法：证明一个数列是等比数列，最常用的是严格按照定义证明为同一个非零常数；或证明且各项不为0. 2. 与混合递推式的处理：遇到含与的混合递推式，首选作差法（退一相减或进一相减）转化为只含的递推式.在证明新构造的数列为等比数列时，务必单独验证首项是否为0. 3. 双数列交叉递推的处理：通常采用两式相加或相减的方法进行解耦，构造出和数列或差数列，将其转化为基本的等差或等比数列模型求解. 考点三：等比数列项的性质应用 考法8：利用等比中项及下标和性质求特定项或乘积 例8.（2026·浙江湖衢丽·二模）（多选）已知等比数列的公比为，.若，，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【思路】利用等比数列的下标和性质，将前n项积转化为中间项的幂，从而求出和，进而求出公比，最后逐项验证各个选项. 【解析】由已知，，C正确.则，B正确.又，则，A正确.则，D错误. 【规律】等比数列前n项积的计算，核心是利用等比中项性质配对.当n为奇数时，；当n为偶数时，. 考法9：等比数列性质与韦达定理或函数结合求值 例9.若，是函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】20 【思路】首先利用韦达定理得出两根之和与两根之积的符号，判断出两根均为正数.然后根据等比中项和等差中项的定义，结合正负性确定三个数的排列顺序，列出方程组解出两个零点，最后求出参数之积. 【解析】由题可得.则成等比数列，得.又不妨设，则成等差数列，得.结合，可得，解得或（舍去），即. 【规律】处理三个数成等差或等比数列的问题时，若题目未明确顺序，必须先通过已知条件（如正负性、大小关系）确定中间项，再利用中项性质列方程. 考法10：利用等比数列性质判断单调性及命题真假 例10.（2025·广东深圳中学·检测）（多选）已知为等差数列，为等比数列，的公差为，的公比为，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则为递增数列 B. 若，则为递减数列 C. 若，则为递增数列 D. 若，则为递增数列 【答案】AC 【思路】根据等差数列和等比数列的单调性判定法则逐一分析.对于两个数列的乘积或商的单调性，可通过作差法、作商法，或者直接举反例来验证命题的真伪. 【解析】对于A，若，则，∴ 为递增数列，故A正确.对于B，若，则为摆动数列，故B错误.对于C，若，则，，且和均为递增数列，∴ 为递增数列，故C正确.对于D，若，，当充分大时，该式符号不确定，例如，，不是递增数列，故D错误. 【规律】判断数列单调性时，除了常规的作差比较法，对于选择题中的全称命题，构造特殊值举反例是最高效的排除策略.注意等比数列公比为负时一定是摆动数列. 【考点三 方法总结】 1. 下标和性质的应用：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别是性质“若，则”，可以减少运算量.等比数列前项积的计算，核心也是利用等比中项性质配对. 2. 顺序不确定的中项问题：处理三个数成等差或等比数列的问题时，若题目未明确顺序，必须先通过已知条件（如正负性、大小关系）确定中间项，再利用中项性质列方程. 3. 单调性与命题真假判断：判断数列单调性时，除了常规的作差比较法，对于选择题中的全称命题，构造特殊值举反例是最高效的排除策略.注意等比数列公比为负时一定是摆动数列. 考点四：等比数列前n项和的性质 考法11：利用连续k项和（片段和）的性质求和或比值 例11.（2026·江西G20联盟·模拟）设等比数列的前项和为，公比为.若，，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】120 【思路】识别出题目给定了前3项和以及公比的立方，直接利用等比数列的片段和性质：，，成等比数列，依次求出各片段和，最后累加得到总和. 【解析】等比数列中，，，，仍成等比数列，公比为.∵ ，，则.∴ ，.∴ .∴ . 【规律】在等比数列中，若，则连续k项的和，，构成公比为的等比数列.利用此性质可大幅简化运算，避免直接求解首项和公比. 考法12：等比数列前n项和性质的综合判断 例12.（2026·山东菏泽·二模）（多选）等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的是（　　） A. 时，为等差数列 B. 时，中任意两项的差均不为 C. 不存在，使得为常数列 D. 不存在，使得为等比数列 【答案】ABD 【思路】根据等比数列的求和公式，分和两种情况写出和的表达式.然后结合等差数列、常数列、等比数列的定义及函数的单调性，逐一对各个选项进行代数验证. 【解析】对于A，当时，，，，，∴ 为等差数列，故A正确.对于B，当时，，，，∵ 为单调递减函数，∴ 中任意两项的差均不为0，故B正确.对于C，若为常数列，则，当时，不为常数列；当时，，，，若，则，解得，此时，一般地，当时，，∴ 存在，使得为常数列，故C错误.对于D，若为等比数列，则，当时，，若它为等比数列，则为常数，当时，，不满足等比数列各项不为0的定义，当时，，不是等比数列，∴ 不存在，使得为等比数列，故D正确.故选ABD. 【规律】涉及等比数列前n项和的综合命题判断，必须养成对公比q是否为1进行分类讨论的习惯.对于常数列或等比数列的存在性问题，通常先利用前几项建立方程求出可能的参数值，再代回通项进行一般性验证. 【考点四 方法总结】 1. 片段和性质：在等比数列中，若，则连续项的和 构成公比为的等比数列.利用此性质可大幅简化运算，避免直接求解首项和公比. 2. 奇偶项求和性质：等比数列中，若共有项，则；若共有项，则. 3. 综合命题判断：涉及等比数列前项和的综合命题判断，必须养成对公比是否为1进行分类讨论的习惯.对于常数列或等比数列的存在性问题，通常先利用前几项建立方程求出可能的参数值，再代回通项进行一般性验证. 考点五：数列通项与求和综合 考法13：利用Sn与an关系求通项公式 例13.（2025·河北邢台协作体·一模）已知为等比数列，为数列的前项和，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】已知与的关系式，写出与的关系式，两式相减消去，得到数列相邻两项的递推关系，从而求出公比.再利用时的特例求出首项，最后代入通项公式求解. 【解析】由题设得，作差可得，即.又为等比数列，故其公比为3，且，即.∴ . 【规律】处理与的混合关系式，最常用的方法是“退一相减法”或“进一相减法”，将含有和式的关系转化为只含项的递推式.注意相减后下标的适用范围，必要时需单独验证首项. 考法14：构造等比数列求通项公式 例14.已知数列和满足，，，.则数列的通项＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【思路】观察两个数列的交叉递推式，发现两式相加后可以提取公因式，从而构造出关于的等比数列递推关系，利用等比数列通项公式直接写出结果. 【解析】∵ ，，∴ .又，∴ 数列是以3为首项，2为公比的等比数列.∴ . 【规律】对于形如和的双数列递推问题，常通过两式相加或相减，消去常数项，构造出整体的等比数列模型. 考法15：数列求和的综合应用 例15.已知等比数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1）或 （2）当时，；当时， 【思路】第一问将已知条件全部转化为首项和公比的方程，解高次方程求出公比，从而得到通项公式.第二问根据求出的通项公式，判断新数列的结构，利用等差数列求和或错位相减法求出前n项和，最后代入n=10计算. 【解析】（1）设公比为，，∴ 或，∴ 或. （2）①当时，，此时，. ②当时，，∴ ①，②，①-②得，∴ ，∴ . 【规律】“等差×等比”型数列的求和是高考的高频考点，标准解法为错位相减法.在书写错位相减的过程时，要注意对齐同次幂的项，相减后中间部分构成一个等比数列求和，最后务必不要漏除系数. 考法16：奇偶项交替递推数列求通项与求和 例16.已知数列满足，且 （1）设，求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使得不等式成立的的最小值. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问利用奇偶项的不同递推关系，将转化为用表示的递推式，通过构造等比数列求出的通项.第二问利用第一问的结论，将转化为分组求和，再结合奇数项的通项求出，通过判断单调性估算满足不等式的最小n值. 【解析】（1）∵ ∴ ，，，∴ .又∵ ，∴ ，∴ .∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即，∴ .又∵ ，∴ ，∴ .∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ ，即. （2）由（1）可知，∴ .∴ ，又∵ ，∴ ，即，∴ .∴ .∵ ，，∴ 是一个增数列.∵ ，，∴ 满足题意的n的最小值是20. 【规律】处理奇偶项交替递推的数列，核心思想是“跨步合并”，即将相邻的奇数项和偶数项作为一个整体（如）进行研究，从而将其转化为单一递推关系的常规数列. 考法17：分段数列（奇偶项）分组求和 例17.记为等差数列的前项和，已知，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问根据递推关系识别出数列为等差数列，利用前5项和与首项解出公差，写出通项公式.第二问根据分段函数的定义，将原数列的前2n项和拆分为奇数项之和与偶数项之和，分别利用等差和等比数列求和公式计算后相加. 【解析】（1）由，得.∴ 数列为等差数列.∴ ，得.∴ 公差.∴ . （2）当为奇数时，.当为偶数时.∴ . 【规律】对于通项公式按奇偶性分段给出的数列求和问题，标准解法是分组求和法.即将前2n项和拆分为n个奇数项和n个偶数项，分别求和后再合并.注意项数的准确判定. 【考点五 方法总结】 1. 与关系求通项：处理与的混合关系式，最常用的方法是“退一相减法”，将含有和式的关系转化为只含项的递推式.注意相减后下标的适用范围，必要时需单独验证首项. 2. 错位相减法：“等差×等比”型数列的求和是高考的高频考点，标准解法为错位相减法.在书写错位相减的过程时，要注意对齐同次幂的项，相减后中间部分构成一个等比数列求和，最后务必不要漏除系数. 3. 奇偶项交替与分段数列求和：处理奇偶项交替递推的数列，核心思想是“跨步合并”，即将相邻的奇数项和偶数项作为一个整体进行研究；对于通项公式按奇偶性分段给出的数列求和问题，标准解法是分组求和法，将前项和拆分为个奇数项和个偶数项分别求和. 考点六：等差数列与等比数列的综合应用 考法18：等差数列与等比数列基本量的综合计算 例18.（2026·山东东营·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】先利用等比数列的已知项求出公比，进而求出等比数列的首项和第4项.再利用两个数列项的相等关系，转化为等差数列的基本量，求出公差后代入通项公式求解. 【解析】设公比为，则，.∴ ，.设公差为，则，解得.∴ . 【规律】处理等差与等比数列的综合基本量计算，关键是寻找两个数列的“交汇点”（如某几项相等），以其中一个条件充足的数列为突破口，求出基本量后再过渡到另一个数列. 考法19：等差与等比数列性质的综合判断与应用 例19.（2026·湖南师大附中·模拟）（多选）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（　　） A. 若，则等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 各项均为正数的数列满足， 且，则 【答案】BD 【思路】根据等差数列、等比数列的定义及性质逐项判断.对于A，注意等比数列中项不能为0；对于B，利用指数运算性质验证比值；对于C，利用求出通项并验证首项；对于D，识别出平方项构成等差数列，从而求出目标项. 【解析】对于A，当时，，此时不成等比数列，故A错误.对于B，若数列为等差数列，设其公差为，则此时有，∴ 数列为等比数列，故B正确.对于C，若，则不满足，∴ 数列不是等比数列，故C错误.对于D，∵ ，由等差中项的定义可知，数列是首项，公差的等差数列，∴ ，由此可知，又∵ ，∴ ，D正确. 【规律】等差与等比数列的性质判断中，常设陷阱包括：等比数列的项不能为0；利用求时未单独验证；等差中项或等比中项的变形识别. 考法20：等差与等比数列的综合求和 例20.在等差数列中，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问利用等差数列的基本量方程组求出首项和公差，进而得到通项公式.第二问根据已知条件写出新数列的通项，通过移项将待求数列的通项表示为一个等比数列与一个等差数列的差，最后利用分组求和法分别求和. 【解析】（1）设等差数列的公差为，由题知，则，解得∴ . （2）设数列的通项公式为，则，∴ .则. 【规律】当一个数列的通项可以拆分为一个等差数列和一个等比数列的和或差时，直接采用分组求和法，将其转化为两个基本数列的求和问题. 考法21：等差与等比数列的综合证明 例21.已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中任意三项均不能构成等比数列. 【答案】见解析 【思路】第一问先求出等差数列的通项公式和前n项和，代入新数列的表达式化简，再利用定义证明相邻两项之差为常数.第二问采用反证法，假设存在三项成等比数列，利用等比中项性质列出方程，推导出矛盾结论从而证明原命题. 【解析】（1）∵ 数列为等差数列，，，∴ 数列的公差为，∴ .则，又，∴ ，故数列为等差数列. （2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，不妨设、、、、均不相等)成等比数列，即.由数列的通项公式可得.将此式展开可得.∴ 有，即.∴ ，∴ .化简整理得，∴ ，与假设矛盾.故数列中任意三项均不能构成等比数列. 【规律】证明数列中“不存在”某几项满足特定关系时，反证法是最有力的工具.假设存在后，利用等差或等比中项性质建立关于项数下标的方程，通过代数恒等变形导出下标相等（与互不相等矛盾）或非整数等矛盾. 【考点六 方法总结】 1. 寻找交汇点：处理等差与等比数列的综合基本量计算，关键是寻找两个数列的“交汇点”（如某几项相等），以其中一个条件充足的数列为突破口，求出基本量后再过渡到另一个数列. 2. 综合性质判断的陷阱：等差与等比数列的性质判断中，常设陷阱包括：等比数列的项不能为0；利用求时未单独验证；等差中项或等比中项的变形识别. 3. 综合求和与证明：当一个数列的通项可以拆分为一个等差数列和一个等比数列的和或差时，直接采用分组求和法.证明数列中“不存在”某几项满足特定关系时，反证法是最有力的工具. 考点七：等比数列的范围与最值问题 考法22：利用基本不等式或函数求等比数列的最值 例22.（2026·安徽安庆·二模）已知等比数列，其公比，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】将待求代数式利用等比数列的通项公式展开，化简为只含公比q的表达式，观察结构特征后利用基本不等式求出最小值，并验证等号成立的条件. 【解析】由题意知等比数列，其公比，则，当且仅当，即时取等号.故的最小值为. 【规律】等比数列中的分式求最值问题，通常先统一化为首项和公比的形式进行约分，转化为关于公比的函数，再结合基本不等式或导数求最值. 考法23：结合通项变号与单调性判断最值与命题真假 例23.已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（　　） A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为 C. 数列为严格递增数列 D. 数列为严格递增数列 【答案】D 【思路】由于公比在(-1, 0)之间，数列各项正负交替且绝对值递减.通过对n分奇偶讨论，利用作差法判断奇数项子数列和偶数项子数列的单调性，从而确定最大项和最小项.对于新数列的单调性，同样采用作差法进行符号判定. 【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，∴ 最大.综上所述：数列的最大项为，A正确.对于B，当为偶数时，，，∴ 最小；当为奇数时，.综上所述：数列的最小项为，B正确.对于C，∵ ，，∴ .∵ ，∴ ，∴ .∴ 数列为递增数列，C正确.对于D，∵ ，，∴ .∵ ，∴ ，，又，∴ ，∴ 数列为递减数列，D错误.故选D. 【规律】当等比数列的公比为负时，数列呈现摆动特征.分析其最值和单调性时，必须将其拆分为奇数项和偶数项两个子数列分别研究，利用作差法结合公比范围判定符号. 考法24：解不等式求等比数列的参数范围 例24.已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和，若对于任意正整数有，则的范围为＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【思路】根据等比数列前n项和公式，分和两种情况讨论.将不等式转化为关于公比q的代数不等式，利用完全平方公式配方判断符号，从而解出q的取值范围. 【解析】对于任意正整数有.当时，，符合要求.当时，.∵ ，且，∴ .∴ .∴ .综上可得，. 【规律】涉及等比数列前n项和的不等式恒成立问题，首要步骤是排查公比q=1的特殊情况.在化简不等式时，常利用换元法（如令）将其转化为熟悉的一元二次不等式进行符号判定. 【考点七 方法总结】 1. 转化为公比的函数求最值：等比数列中的分式求最值问题，通常先统一化为首项和公比的形式进行约分，转化为关于公比的函数，再结合基本不等式或导数求最值. 2. 摆动数列的最值分析：当等比数列的公比为负时，数列呈现摆动特征.分析其最值和单调性时，必须将其拆分为奇数项和偶数项两个子数列分别研究，利用作差法结合公比范围判定符号. 3. 恒成立问题的参数范围：涉及等比数列前项和的不等式恒成立问题，首要步骤是排查公比的特殊情况.在化简不等式时，常利用换元法（如令）将其转化为熟悉的一元二次不等式进行符号判定. 考点八：等比数列的实际应用 考法25：等比数列在几何分形与数表规律中的应用 例25.如图，已知在扇形中，半径，，圆内切于扇形（圆和，，弧均相切），作圆与圆，，相切，再作圆与圆，，相切，以此类推.设圆，圆的面积依次为，那么＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【思路】结合图形，利用直角三角形中的边角关系求出第一个圆的半径，再通过相切关系列出相邻两个圆半径的递推方程，证明半径序列构成等比数列.进而得出面积序列也是等比数列，最后利用求和公式求解. 【解析】如图，设圆与弧相切于点， 圆，圆与分别切于点，，则，.设圆，圆，圆，，圆的半径分别为，，，，.∵ ，∴ .在中，，则，即，解得.在中，，则，即，解得.同理可得，，∴ 是以为首项，以为公比的等比数列.又圆的面积为，∴ 面积，，，，构成一个以为首项，以为公比的等比数列.则.故答案为：. 【考点八 方法总结】 1. 几何分形中的等比数列：几何图形中的等比数列问题，关键在于提取“相似”或“递推”特征.通过分析前两到三个图形的几何量（如长度、面积），找出公比，从而将几何问题转化为数列求和问题.注意面积的公比是长度公比的平方. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷·第13题）若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设该等比数列为，是其前项和，则.设的公比为.当时，，即，则，显然不成立，舍去.当时，则.两式相除得，即.则，解得.∴ 该等比数列公比为. 2.（2026·全国一卷·第14题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列.则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】令，由题意得.因此每个三项块的和为.设这9项为，记.由于，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论.若，这9项正好包含三个完整三项块，得，，.于是且，矛盾，故这种起点不存在.若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，∴ .若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，∴ .综上，∴ ，即的最大值为. 3.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）由题意，在数列中，，.∴ ，即.∴ 是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1.∴ ，即.在中，，.∴ .当且时，.∴ .∴ . 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第42讲 等比数列及其前n项和 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 3 考点一：等比数列的基本运算 3 考点二：等比数列的判定与证明 4 考点三：等比数列项的性质应用 5 考点四：等比数列前n项和的性质 6 考点五：数列通项与求和综合 7 考点六：等差数列与等比数列的综合应用 8 考点七：等比数列的范围与最值问题 9 考点八：等比数列的实际应用 9 四、高考真题 10 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第13题 填空题 第16题 解答题 5分 15分 直接 间接 等比数列前n项和的性质与公比求解 等比数列求和公式在函数求导中的应用 2026 第14题 填空题 5分 直接 等比数列的性质与不等式综合求参数最值 近三年全国一卷中，等比数列及其前n项和的考查频率较高，体现了该知识点在高中数学中的重要基础地位与工具性作用. 2. 命题角度与特色 （1） 基础与综合并重：既有对等比数列前n项和公式、片段和性质等基本量的直接考查，也有与新定义数列、不等式结合的综合性问题，对学生的代数变形能力和逻辑推理能力要求较高. （2） 跨模块交汇：等比数列求和公式常作为解题工具，在导数、函数等其他模块的解答题中作为关键运算步骤出现，体现了知识的交汇性. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握等比数列的通项公式、前n项和公式及其基本性质（如片段和性质），在处理基本量计算时注意对公比是否为1进行分类讨论. （2） 重视等比数列与其他知识板块（如函数求导、不等式放缩、新定义数列）的交汇，提升综合解题与跨模块应用能力. 二、知识清单 1. 等比数列的有关概念 （1） 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为. （2） 等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即是与的等比中项 成等比数列 . 2. 等比数列的有关公式 （1） 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式. ① 推广形式：. （2） 等比数列的前项和公式：等比数列的公比为，其前项和为. ① 等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解. ② 已知(项数)，则利用求解；已知，则利用求解. ③ ，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数. 3. 等比数列的性质 （1） 等比中项的推广：若时，则，特别地，当时，. （2） 衍生数列性质： ① 设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列. ② 设与为等比数列，则与也为等比数列. ③ 若为正项等比数列，则为等差数列，公差为. ④ 若为等差数列，公差为，则为等比数列，公比为. ⑤ 若既是等差数列又是等比数列，则是非零常数列. （3） 等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）： ① 当或时，为递增数列. ② 当或时，为递减数列. ③ 当时，为常数列；当时，为摆动数列. （4） 前项和与前项积的性质： ① 等间距抽取：为等比数列，公比为. ② 等长度截取：为等比数列，公比为（当时，不为偶数）. ③ 前项积，则.当为奇数时，；当为偶数时，. ④ 积的等长度截取：仍为等比数列，公比为. ⑤ 倒数和性质：等比数列的前项倒数之和. 【易错提醒】 判断一个数列是否为等比数列，必须验证对于任意，是否为同一个非零常数.不能仅凭前几项的比例相等就下结论，且要注意等比数列的任何一项都不能为0. 【防坑警示】 在使用等比数列前项和公式时，极易忽略对公比是否等于1的讨论.当公比含有字母参数时，必须分和两种情况进行求解，否则会导致漏解. 三、典题精练 考点一：等比数列的基本运算 考法1：利用通项公式与基本量方程求项或公比 例1.（2026·广东华师附中·检测）记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（　　） A. B. C. D. 考法2：结合等差或等比中项性质求基本量 例2.（2025·广东·联考）已知正项等比数列的前项和为，满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和为（　　） A. B. C. D. 考法3：利用前n项和公式解基本量方程 例3.（2026·山东枣庄·一模）记正项等比数列的前项和为，且，则（　　） A. B. C. D. 考法4：构造等比数列求基本量 例4.（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（　　） A. B. C. D. 【考点一 方法总结】 1. 基本量方程法：“知三求二”是处理等比数列基本量问题的核心.通常设出首项和公比，利用通项公式和求和公式将已知条件转化为基本量的方程组求解. 2. 求和公式的分类讨论：在应用前项和公式时，必须优先排查公比是否为1.当涉及前项和且项数较少（如前3项）时，直接展开为往往比使用求和公式更不易出错，且能避免讨论. 3. 几何分形与新数列求和：处理几何图形嵌套问题时，关键是提取相邻两次操作的几何特征建立递推关系；遇到包含取整函数等新数列求和，先求出原数列通项，再通过分段讨论剥离特殊符号转化为常规求和. 考点二：等比数列的判定与证明 考法5：利用定义或充要条件判定等比数列 例5.（2026·河南周口中学·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考法6：利用Sn与an关系证明等比数列 例6.已知数列满足，，其中为的前项和.证明： （1）是等比数列. （2）. 考法7：构造新数列证明等比数列 例7.甲、乙两个容器中分别盛有浓度为，的某种溶液，同时从甲、乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和.记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，. （1）试用，表示，. （2）证明：数列是等比数列，并求出，的通项. 【考点二 方法总结】 1. 定义法与中项法：证明一个数列是等比数列，最常用的是严格按照定义证明为同一个非零常数；或证明且各项不为0. 2. 与混合递推式的处理：遇到含与的混合递推式，首选作差法（退一相减或进一相减）转化为只含的递推式.在证明新构造的数列为等比数列时，务必单独验证首项是否为0. 3. 双数列交叉递推的处理：通常采用两式相加或相减的方法进行解耦，构造出和数列或差数列，将其转化为基本的等差或等比数列模型求解. 考点三：等比数列项的性质应用 考法8：利用等比中项及下标和性质求特定项或乘积 例8.（2026·浙江湖衢丽·二模）（多选）已知等比数列的公比为，.若，，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 考法9：等比数列性质与韦达定理或函数结合求值 例9.若，是函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则＿＿＿＿＿＿ 考法10：利用等比数列性质判断单调性及命题真假 例10.（2025·广东深圳中学·检测）（多选）已知为等差数列，为等比数列，的公差为，的公比为，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则为递增数列 B. 若，则为递减数列 C. 若，则为递增数列 D. 若，则为递增数列 【考点三 方法总结】 1. 下标和性质的应用：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别是性质“若，则”，可以减少运算量.等比数列前项积的计算，核心也是利用等比中项性质配对. 2. 顺序不确定的中项问题：处理三个数成等差或等比数列的问题时，若题目未明确顺序，必须先通过已知条件（如正负性、大小关系）确定中间项，再利用中项性质列方程. 3. 单调性与命题真假判断：判断数列单调性时，除了常规的作差比较法，对于选择题中的全称命题，构造特殊值举反例是最高效的排除策略.注意等比数列公比为负时一定是摆动数列. 考点四：等比数列前n项和的性质 考法11：利用连续k项和（片段和）的性质求和或比值 例11.（2026·江西G20联盟·模拟）设等比数列的前项和为，公比为.若，，则＿＿＿＿＿＿ 考法12：等比数列前n项和性质的综合判断 例12.（2026·山东菏泽·二模）（多选）等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的是（　　） A. 时，为等差数列 B. 时，中任意两项的差均不为 C. 不存在，使得为常数列 D. 不存在，使得为等比数列 【考点四 方法总结】 1. 片段和性质：在等比数列中，若，则连续项的和 构成公比为的等比数列.利用此性质可大幅简化运算，避免直接求解首项和公比. 2. 奇偶项求和性质：等比数列中，若共有项，则；若共有项，则. 3. 综合命题判断：涉及等比数列前项和的综合命题判断，必须养成对公比是否为1进行分类讨论的习惯.对于常数列或等比数列的存在性问题，通常先利用前几项建立方程求出可能的参数值，再代回通项进行一般性验证. 考点五：数列通项与求和综合 考法13：利用Sn与an关系求通项公式 例13.（2025·河北邢台协作体·一模）已知为等比数列，为数列的前项和，，则（　　） A. B. C. D. 考法14：构造等比数列求通项公式 例14.已知数列和满足，，，.则数列的通项＿＿＿＿＿＿ 考法15：数列求和的综合应用 例15.已知等比数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 考法16：奇偶项交替递推数列求通项与求和 例16.已知数列满足，且 （1）设，求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使得不等式成立的的最小值. 考法17：分段数列（奇偶项）分组求和 例17.记为等差数列的前项和，已知，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【考点五 方法总结】 1. 与关系求通项：处理与的混合关系式，最常用的方法是“退一相减法”，将含有和式的关系转化为只含项的递推式.注意相减后下标的适用范围，必要时需单独验证首项. 2. 错位相减法：“等差×等比”型数列的求和是高考的高频考点，标准解法为错位相减法.在书写错位相减的过程时，要注意对齐同次幂的项，相减后中间部分构成一个等比数列求和，最后务必不要漏除系数. 3. 奇偶项交替与分段数列求和：处理奇偶项交替递推的数列，核心思想是“跨步合并”，即将相邻的奇数项和偶数项作为一个整体进行研究；对于通项公式按奇偶性分段给出的数列求和问题，标准解法是分组求和法，将前项和拆分为个奇数项和个偶数项分别求和. 考点六：等差数列与等比数列的综合应用 考法18：等差数列与等比数列基本量的综合计算 例18.（2026·山东东营·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，则（　　） A. B. C. D. 考法19：等差与等比数列性质的综合判断与应用 例19.（2026·湖南师大附中·模拟）（多选）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（　　） A. 若，则等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 各项均为正数的数列满足， 且，则 考法20：等差与等比数列的综合求和 例20.在等差数列中，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 考法21：等差与等比数列的综合证明 例21.已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中任意三项均不能构成等比数列. 【考点六 方法总结】 1. 寻找交汇点：处理等差与等比数列的综合基本量计算，关键是寻找两个数列的“交汇点”（如某几项相等），以其中一个条件充足的数列为突破口，求出基本量后再过渡到另一个数列. 2. 综合性质判断的陷阱：等差与等比数列的性质判断中，常设陷阱包括：等比数列的项不能为0；利用求时未单独验证；等差中项或等比中项的变形识别. 3. 综合求和与证明：当一个数列的通项可以拆分为一个等差数列和一个等比数列的和或差时，直接采用分组求和法.证明数列中“不存在”某几项满足特定关系时，反证法是最有力的工具. 考点七：等比数列的范围与最值问题 考法22：利用基本不等式或函数求等比数列的最值 例22.（2026·安徽安庆·二模）已知等比数列，其公比，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 考法23：结合通项变号与单调性判断最值与命题真假 例23.已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（　　） A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为 C. 数列为严格递增数列 D. 数列为严格递增数列 考法24：解不等式求等比数列的参数范围 例24.已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和，若对于任意正整数有，则的范围为＿＿＿＿＿＿ 【考点七 方法总结】 1. 转化为公比的函数求最值：等比数列中的分式求最值问题，通常先统一化为首项和公比的形式进行约分，转化为关于公比的函数，再结合基本不等式或导数求最值. 2. 摆动数列的最值分析：当等比数列的公比为负时，数列呈现摆动特征.分析其最值和单调性时，必须将其拆分为奇数项和偶数项两个子数列分别研究，利用作差法结合公比范围判定符号. 3. 恒成立问题的参数范围：涉及等比数列前项和的不等式恒成立问题，首要步骤是排查公比的特殊情况.在化简不等式时，常利用换元法（如令）将其转化为熟悉的一元二次不等式进行符号判定. 考点八：等比数列的实际应用 考法25：等比数列在几何分形与数表规律中的应用 例25.如图，已知在扇形中，半径，，圆内切于扇形（圆和，，弧均相切），作圆与圆，，相切，再作圆与圆，，相切，以此类推.设圆，圆的面积依次为，那么＿＿＿＿＿＿ 【考点八 方法总结】 1. 几何分形中的等比数列：几何图形中的等比数列问题，关键在于提取“相似”或“递推”特征.通过分析前两到三个图形的几何量（如长度、面积），找出公比，从而将几何问题转化为数列求和问题.注意面积的公比是长度公比的平方. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷·第13题）若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为＿＿＿＿＿＿. 2.（2026·全国一卷·第14题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列.则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 3.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $