精品解析：北京市海淀区2025-2026学年高二下学期期末考试数学样题

高二年级样题 数学 2026.07 本样题共6页，共两部分，19道题，满分100分．考试时长90分钟．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样题上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知是等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 3. 从中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等比数列，其前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有3个极值点 D. 6. 目前某城市无人机配送已实现常态化运营．随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单．用频率估计概率．在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数存在单调递减区间，则其导函数可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数，．下列结论中正确的是（ ） A. ，使得对任意实数x，恒成立 B. ，使得方程恰有3个不同的实数根 C. ，函数存在最小值 D. ，函数在上单调递减 第二部分 （非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在的展开式中，的系数是________．（用数字作答） 12. 某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________． 13. 已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________． 14. 已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________． 15. 已知数列的前项和为，且，，，给出下列四个结论： ①当时，为递减数列； ②存在实数m，不是等比数列； ③当时，； ④当时，，，当时，都有． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 17. 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率． （1）估计这批太空辣椒种子发芽的概率； （2）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望； （3）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合． 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是_________．（直接写出序号） 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的最小值； （3）求证：对任意的，都有． 19. 已知无穷数列，满足：对任意整数，或，称为的伴随数列． （1）若，为的伴随数列，写出的所有可能值； （2）若，各项均为非负实数，且为的伴随数列，求的最小值； （3）若为的伴随数列，且为的伴随数列，，，．任意给定正整数，对所有满足题意的数列，，集合中元素个数的最大值记为．求的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级样题 数学 2026.07 本样题共6页，共两部分，19道题，满分100分．考试时长90分钟．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样题上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知是等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式结合已知条件求出公差，再代入计算． 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 因为，所以，解得， 所以． 2. 函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的四则运算法则求导，结合三角函数值求解即可． 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 3. 从中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第一象限点横、纵坐标均为正的特征，利用分步乘法计数原理计算符合条件的有序数对个数． 【详解】平面直角坐标系中，第一象限内的点满足横坐标且纵坐标，题设给出的数中，大于的数为，共个，要求选取两个不同的数组成有序数对， 选横坐标：从个正数中任选1个，共种选法 选纵坐标：由于为不同的数，故从剩余个正数中任选个，共种选法， 根据分步乘法计数原理，符合条件的点的总个数为． 4. 已知是等比数列，其前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据等比数列的通项公式，已知，， 则，， 等比数列前项和公式为， 则， 又，， 则. 5. 已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有3个极值点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象确定原函数的性质，导函数的正负确定原函数的单调性，根据导函数零点左右导数的正负确定极值点的情况. 【详解】，，在区间上单调递减，选项A错误； 时，，当时，，当时，， 所以不是极值点，选项B错误； 的3个零点，，， 当时，，当时，，不是极值点， 当时，，当时，，是极小值点， 当时，，当时，，是极大值点， 有个极值点，选项C错误； ，，在区间上单调递增，，选项D正确. 6. 目前某城市无人机配送已实现常态化运营．随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单．用频率估计概率．在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是. 7. 已知函数存在单调递减区间，则其导函数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数在定义域内单调递增，故A错误； 对于选项B：因为，所以函数在定义域内单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，所以函数存在单调递减区间，故C正确； 对于选项D：因为的定义域为， 当时，则，可得，即； 当时，则，可得，即； 综上所述：，所以函数在定义域内单调递增，故D错误. 8. 已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，所以在上单调递增，无极值点， 当时，，当时，，在上单调递减， 又在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线， 所以是函数唯一的极值点； 当时，令，则（舍去）， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线， 所以函数有两个极值点，分别为和，不符合题意， 综上，的取值范围为. 9. 设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例验证充分性，结合公差符号对趋势的影响验证必要性，从而判断出条件关系. 【详解】 充分性判断：取，，所有项都不为0，符合题意，此时， 当为奇数且不断增大时，会无限减小，没有下界，因此没有最小值， 即“”不是“有最小值”的充分条件； 必要性判断：假设，无穷等差数列单调递减，必然存在正整数，当时，所有， 且随增大趋向正无穷。 此时对于大于的奇数，为负数，且随增大无限增大， 即会无限减小趋向负无穷，没有最小值， 因此若有最小值，必然， 即“”是“有最小值”的必要条件； 综上，""是"有最小值"的必要不充分条件. 10. 已知函数，．下列结论中正确的是（ ） A. ，使得对任意实数x，恒成立 B. ，使得方程恰有3个不同的实数根 C. ，函数存在最小值 D. ，函数在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】直接由判断A，设，通过导数确定其单调性，结合零点存在定理判断B，设，利用导数确定的单调性，结合参数范围判断CD. 【详解】对A，因为，所以A错； 对B，显然有一个解是， 时，设，则， 设 ，则，由得， 时，，递增，时，，递减， 所以， 当时，，当时，， 当时，，所以存在两个零点，设为， 则当或时，，递减，当时，，递增， 又当时，，当时，，所以可能有三个零点， 例如当时，，即方程恰有3个不同的实数根，其中，B正确； 对C，设， 则， 令得，解得或， 若，则当或时，，递减，时，，递增， 所以在时取得极小值，在时取得极大值， 又时，的衰减速度远快于二次函数增长速度，极限为0，， 时，，，当时，， 所以不是最小值，即无最小值；C错. 对D，若，则，则在和上单调递减，在上单调递增， 所以在上不是单调递减，D错. 第二部分 （非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在的展开式中，的系数是________．（用数字作答） 【答案】 15 【解析】 【详解】在的展开式中，含的项为，其系数为15. 12. 某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定随机变量的取值，求出不同值的概率，根据数学期望公式求解. 【详解】随机变量的可能取值为， ，、 ， ， . 13. 已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由递增得所有项，结合是递减等比数列，可知首项为正、公比在内，据此举例即可. 【详解】设等比数列的公比为，： 因是递增数列，故对任意，有， 即数列的所有项均为正数，因此，. 又是递减数列，故，因此. 如， 验证递减：，满足条件； 验证递增：前项和，，满足条件. 14. 已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，根据的正负即可得出的单调递增区间；再分类讨论的范围，数形结合即可求解． 【详解】当时，， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以的单调递增区间为； 当时，，满足至少有2个零点； 当时，令， 设，则， 所以在处的切线斜率为1， 所以当时，与只有一个交点，如图所示， 所以当时，与至少有两个交点，如图所示， 所以． 15. 已知数列的前项和为，且，，，给出下列四个结论： ①当时，为递减数列； ②存在实数m，不是等比数列； ③当时，； ④当时，，，当时，都有． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】① 将代入得通项，由正负交替不单调递减，判断①错误； ② 取，此时出现零项，不符合等比数列定义，因此存在满足条件的，判断②正确； ③由得公比平方大于 1、偶数项均为负，，负数乘大于 1 的正数会更小，不等式不成立；④时公比，时是底数大于的指数型数列，极限趋向正无穷，满足无穷大定义. 【详解】已知时，，且，， 所以，整理得，即， 即是等比数列，公比为， 结合 ，得 ， 进一步得时 . ① 当时，，，数列是 正负交替， ，不是递减数列，①错误； ② 当时，，，数列为 ，不是等比数列，②正确； ③ 当时，，， 因为,，所以，所以，③错误； ④ 当时，，时 ，当时，， 因此对任意大的，总能找到足够大的，使得时，④正确. 三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得： . 令，即，解得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在处取得极小值，即最小值，为. 又， ， 所以在上的最小值为，最大值为. 17. 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率． （1）估计这批太空辣椒种子发芽的概率； （2）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望； （3）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合． 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是_________．（直接写出序号） 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 （3）①③ 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率； （2）分析的所有可能取值，求出对应的概率，列出分布列，求出期望； （3）求出三种方案对应的概率，即可得到答案. 【小问1详解】 这批太空辣椒种子发芽的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； 【小问3详解】 对于方案①，由题可知太空辣椒种子发芽的概率为，普通辣椒种子发芽的概率为， 将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合后发芽的概率为， 同理对于方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合后发芽的概率为 ； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合后发芽的概率为， 故上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是①③ 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的最小值； （3）求证：对任意的，都有． 【答案】（1） （2） （3）因为， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 则， 又，且时，故， 欲证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 令，，则， 则在上单调递减，则，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）将问题转化为在上恒成立，令，分、、、四种情况讨论； （3）先求的值域，将问题转化为对任意的，都有，再构造函数求最值即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，即在上恒成立， 则在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令， 若，则在上恒成立，不符合题意； 若，则的对称轴为， 若，则，则， 则在上单调递增，则，不符合题意； 若，则在上单调递减， 若，即，则在上存在一个零点， 则当时，，在上单调递增， 则，不符合题意； 若，即，则，在上恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意， 综上，实数的最小值为； 【小问3详解】 略 19. 已知无穷数列，满足：对任意整数，或，称为的伴随数列． （1）若，为的伴随数列，写出的所有可能值； （2）若，各项均为非负实数，且为的伴随数列，求的最小值； （3）若为的伴随数列，且为的伴随数列，，，．任意给定正整数，对所有满足题意的数列，，集合中元素个数的最大值记为．求的通项公式． 【答案】（1）1或5； （2）35； （3）这里满足. 【解析】 【分析】（1）利用定义直接求解即可；（2）根据伴随数列的定义，利用前后相邻两项并项求和即可；（3）利用伴随数列定义，求出数列和的各项的奇偶性规律，构造周期数列求解即可. 【小问1详解】 由已知，所以或； 【小问2详解】 因为为的伴随数列， 所以对任意整数，或，注意到是非负实数， ，所以. 从而， 取，则，此时为的伴随数列，且 ，因此的最小值为35. 【小问3详解】 对任何整数， 可知与的奇偶性相同，与的奇偶性相同， 又因为，即与的奇偶性相同， 因此与的奇偶性相同. 由题意，和的各项的奇偶性由决定，如下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 … 奇 偶 偶 偶 奇 偶 奇 偶 奇 奇 奇 偶 偶 奇 奇 奇 根据上表可知，当且仅当时，奇偶性相同. 对任意正整数，设， 当，且时，与奇偶性相同，所以. 又因为， 所以， 因此集合的元素个数小于等于. 另一方面，构造数列和如下： ， . 满足为的伴随数列，且为的伴随数列， 且对于任意的自然数，都有， 因为， 所以， 因此集合的元素个数等于. 综上，，这里满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $