精品解析：北京市房山区2024-2025学年高二下学期学业水平调研（二）数学试题

房山区2024-2025学年度第二学期学业水平调研（二） 高二数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 数列满足，且，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列定义得，代入计算即可. 【详解】因为，所以， 而，从而数列是首项为8、公差为的等差数列， 所以， 所以. 故选：C. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 3. 在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列性质、求和公式计算即可求解. 【详解】在等差数列中，已知， 则该数列前8项和的值为. 故选：B. 4. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由切点在切线上，切线斜率为在切点处的导数值即可计算求解. 【详解】所求为. 故选：C. 5. 随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（ ） 0 1 2 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解. 【详解】由题意，故， 而，从而. 故选：A. 6. 下列曲线中，存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原题条件等价于导函数有零点，且对应的切点不在轴上，逐一求导验算即可得解. 【详解】原题条件等价于导函数有零点，且对应的切点不在轴上， 对于A，显然有零点，比如即满足条件，此时对应的切点为不在轴上，故A正确； 对于B，无零点，故B错误； 对于C，无零点，故C错误； 对于D，有唯一的零点，此时对应的切点为在轴上，故D错误. 故选：A. 7. 设函数的导函数为则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导得，计算函数值得，然后由作差法比较大小即可判断. 【详解】对求导得，，所以， 而， 因为 ， 所以， 因为， 所以， 综上所述，. 故选：B. 8. 设是公差为的等差数列，其前项和为，则“”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意“，”，取，说明充分性不成立，对的符号分情况讨论说明必要性成立即可. 【详解】因为“，”等价于“”， 取，，显然满足，但， 所以“”不是“，”的充分条件， 注意到，， 若，则当充分大时，总有， 所以若，则必有， 所以“”是“，”的必要条件， 所以“”是“，”的必要而不充分条件. 故选：B. 9. 设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（ ） A. {或} B. C. {或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数单调性，在同一平面直角坐标系中画出的图象，结合已知即可求解. 【详解】当时，，求导得， ，， 所有在单调递增，在单调递减， 且当从0的右边趋于0时，趋于，当时，趋于0， 当时，在单调递减， 当时，，且， 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示， 由图可知，若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是{或. 故选：C. 10. 袋中装有红球、黑球各3个.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A. 乙盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B. 乙盒中红球与丙盒中红球一样多 C. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 D. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，乙中放红球，则甲中也肯定是放红球，往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析即可. 【详解】取出两个球放入盒子，有4种情况： 红+红：则乙盒中的红球增加一个； 黑+黑：则丙盒中的黑球增加一个； 红+黑：（红球放入甲盒）则乙盒中的黑球增加一个； 黑+红：（黑球加入甲盒）则丙盒中的红球增加一个. 现共有6个球，红球与黑球各3个，甲盒中的球共有3个，设其中的红球有个，黑球个，则， 因乙盒中有个球，其中红球个，黑球个，则， 丙盒中有个球，其中红球个，黑球个，则， 则黑球总数为，又，则，又，故， 即乙盒中红球与丙盒中黑球一样多. 故选：D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设，则_____. 【答案】81 【解析】 【分析】令，得到答案. 【详解】中，令得 . 故答案为：81 12. 某农场种植的水果由甲、乙两块果园产出，甲果园产量占总产量的65%，乙果园产量占总产量的35%.甲果园水果的优质率为80%，乙果园水果的优质率为60%.从农场所有水果中随机选一个，估计选到优质水果的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】因随机选一个，选到甲果园的优质水果的概率为， 选到乙果园的优质水果的概率为， 故选到优质水果的概率为. 故答案为：. 13. 设等比数列的前项和为，能说明“若是递增数列，则是递增数列”为假命题的一个的通项公式为_____ 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】说明满足题意即可得解. 【详解】取等比数列，其首项为，公比为， 显然， 所以等比数列是递增数列， 由于恒成立，所以对应的是递减数列， 故满足题意， 事实上都满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知在处有极大值，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，对分类讨论得对应的单调性、极大值情况即可求解. 【详解】由题意， 已知在处有极大值， 所以是的变号零点， 显然， 若，则， ，， 所以此时在单调递增，在单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时，或，， 所以此时在上单调递增，在上单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时， （i）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极大值，故满足题意， （ii）当时，，等号成立当且仅当， 此时在上单调递减， 即此时在处无极大值，故不满足题意， （iii）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极小值，故不满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为_____. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】结合等差数列的性质判断①②，结合不等式判断③，举反例判断④即可求解. 【详解】对于①，若等差数列的公差，则显然存在，使得对任意，都有， 即该数列为“差有界数列”，故①正确； 对于②，若等差数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有，其中是等差数列的公差， 若，则对于任意给定的，当充分大时，总有，矛盾， 所有，故②正确； 对于③，若数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有， 因为， 所以，则为“差有界数列”，故③正确； 对于④，取，则存在，使得对任意，都有， 即此时数列为“差有界数列”， 而，这意味着对于任意给定的，当充分大时，总有， 所以此时不是“差有界数列”，故④错误. 故答案为：①②③. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的定义解题即可； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列前项和公式解题即可. 【小问1详解】 因为是各项均为正数的等比数列，设公比为， 又，所以，， 因为，，所以，所以， 解得或（舍），所以， 所以，因为是等差数列，设公差为，因为，则， 所以. 所以，. 【小问2详解】 有（1）可得， 则 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的零点的个数. 【答案】（1）答案见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的符号即可求解； （2）结合函数单调性、零点存在定理即可求解. 【小问1详解】 对求导得，， 令或，令， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）可得函数的极大值为， 极小值为， 而， 综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间. 18. 某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率. （1）从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率； （2）从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）0.6 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由互斥加法即可求解； （2）由二项分布的概率公式求得分布列，由期望公式计算期望即可求解. 【小问1详解】 从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率为； 【小问2详解】 由题意可得，的所有可能取值为， 所以，，， ，， 所有的分布列为： 0 1 2 3 4 的数学期望为. 19. 习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： （1）从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； （2）从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； （3）从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）答案见解析， （3） 【解析】 【分析】(1) 有3个行业人工智能渗透度不低于，再由古典概率公式求解； (2)由可取，求出对应的频率，列出分布列，再求出数学期望即可； (3) 设，得，当且仅当，等号成立时，，再由中位数的概念进行求解． 【小问1详解】 从上图2021年8个行业中，有3个行业人工智能渗透度不低于， 则所求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率为：． 【小问2详解】 从上图2022年8个行业中，有2个行业的人工智能渗透度高于， 2023年8个行业中，有4个行业的人工智能渗透度高于， 则可取， ， ， ， 得的分布列为： X 0 1 2 P 则的数学期望为：． 【小问3详解】 设，则， 则， 得， 当且仅当，等号成立时，， 从上图2023年8个行业中人工智能行业渗透度从小到大依次为： ， 则实数的取值范围为： 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是函数的极值点，求的单调区间； （3）证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2）根据函数的极值点求得，利用导数判断函数的单调性即得单调区间； （3）设，得，再设，通过求导判断的单调性，利用零点存在定理，推得函数在上的单调性，得到的极小值，通过替换整理证明即可得证. 【小问1详解】 当时， ，则，因， 则曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由求导得， 因是函数的极值点，则，解得， 则，其定义域为，， 设，则，故函数在上单调递增， 又，则当时，，即，故函数在上单调递减； 当时，，即，故函数在上单调递增. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 设，定义域为，则， 设，则，即函数在上单调递增， 又，则必存在，使得， 即，则，. 当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增， 故函数在时取得极小值，即， 即得恒成立，故有. 21. 已知数列A：，，，的各项均为正整数，定义数列的差集为，记的元素个数为. （1）若数列A：2，5，1，4，求数列的差集，并写出的值； （2）若数列A对任意，都有，求证：“A为等差数列”的充要条件是“”； （3）若，，数列由奇数1，3，5，…，和偶数这个数组成，这个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值与最小值之差. 【答案】（1）4 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别列举的所有可能取值，求解即可； （2）必要性：若A为等差数列，找出里的元素，计算个数 充分性：由条件分析得数列A严格单调，假设严格递增，构造差值，通过中的差值最多有个证明等差； （3）分别计算最大与最小时的元素个数，相减即可. 最大:重复奇数，，最小：奇数从小到大排列，末尾重复偶数 【小问1详解】 ， ①， ； ② ，， ③ ，， 【小问2详解】 必要性：若A为等差数列，设公差为d，则， 取，故，元素个数； 充分性：若，因为，所以与符号相同，所以，数列 A 是严格单调的（严格递增或严格递减）, 假设严格递增：,则所有为正数，差集由所有可能的组成, 定义相邻差值, 则中的差值最多有个，故 A必为等差数列. 证毕. 【小问3详解】 数列包括奇数1，3，5，…，和偶数，共个数，每个数最少出现一次， 最大值; 每个数都出现，且重复奇数时， ， 最小：奇数从小到大排列， 末尾重复偶数, 的最大值与最小值之差 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2024-2025学年度第二学期学业水平调研（二） 高二数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 数列满足，且，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 4. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（ ） 0 1 2 A. B. C. 1 D. 6. 下列曲线中，存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的导函数为则（ ） A. B. C. D. 8. 设是公差为的等差数列，其前项和为，则“”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（ ） A. {或} B. C. {或 D. 10. 袋中装有红球、黑球各3个.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A. 乙盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B. 乙盒中红球与丙盒中红球一样多 C. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 D. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设，则_____. 12. 某农场种植的水果由甲、乙两块果园产出，甲果园产量占总产量的65%，乙果园产量占总产量的35%.甲果园水果的优质率为80%，乙果园水果的优质率为60%.从农场所有水果中随机选一个，估计选到优质水果的概率为_____. 13. 设等比数列的前项和为，能说明“若是递增数列，则是递增数列”为假命题的一个的通项公式为_____ 14. 已知在处有极大值，则实数的取值范围是_____. 15. 对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的零点的个数. 18. 某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率. （1）从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率； （2）从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为，求的分布列及数学期望. 19. 习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： （1）从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； （2）从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； （3）从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是函数的极值点，求的单调区间； （3）证明：. 21. 已知数列A：，，，的各项均为正整数，定义数列的差集为，记的元素个数为. （1）若数列A：2，5，1，4，求数列的差集，并写出的值； （2）若数列A对任意，都有，求证：“A为等差数列”的充要条件是“”； （3）若，，数列由奇数1，3，5，…，和偶数这个数组成，这个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值与最小值之差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $