精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2024—2025学年度下学期 初一数学期末试题 考生注意： 1.本科为闭卷考试，考试时间120分钟． 2.全卷共三道大题，总分120分． 3.请将答案填写在答题卡指定的位置． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 两直线平行，内错角相等 C. 同位角相等 D. 同旁内角互补 5. 若，则下列式子中错误的是（ 　） A. B. C. D. 6. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ） A. 调查观众对《哪吒2》的满意度，采用全面调查 B. 对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查 C. 调查河南省中学生的睡眠时间，采用抽样调查 D. 企业对招聘人员面试，采用抽样调查 7. 北京冬奥会开幕式上，以“二十四节气”为主题的倒计时短片，用“中国式浪漫”美学惊艳了世界．下图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，给出下列结论：①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小；②夏至时白昼时长最大；③春分和秋分，昼夜时长大致相等，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ② D. ③ 8. 青少年辩论社团共有40名学生，为方便开展活动，计划分成若干个小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图是一个数值转换器，当输入的值为时，输出的值是（ ）   A. B. C. 2 D. 4 10. 如图，在长方形中放入八个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则长方形的面积为（ ） A. 352 B. 279 C. 365 D. 296 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 是________的立方根． 12. 已知方程组，则的值为_____． 13. 若关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是______． 14. 在数轴上，介于和之间的整数是_____________． 15. 将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点F，作的平分线，交直线于点，则的度数为________． 16. 如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点，点先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标为__________． 三、解答题（本题共9道大题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程组． 18. 解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来． ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，将三角形平移，使点平移到点处，得到三角形，其中点的对应点分别为． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）若线段上一点的坐标为，写出平移后点的对应点的坐标； （3）若点在坐标轴上，三角形的面积为4，求点的坐标． 20. 亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 （1）经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ （2）经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 21. 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算＝ ；＝ ． （2）用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． （3）计算：． 22. 如图，直线，直线与直线、分别交于点、，点是直线上一点，连接，将三角形沿着方向平移得到三角形，平分．求证：． 23. 某初中学校为了解学生放假期间运动锻炼的情况，从本校学生中随机抽取部分学生，调查他们寒假期间一周的运动时长（单位：小时），将收集到的数据整理分组：，，，，并绘制了两幅不完整的统计图．已知假期每周运动时间不少于3小时为达标． 根据以上信息，解答下列问题． （1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数是 （2）请通过计算将频数分布直方图补充完整； （3）若全区有12000名初中学生，估计运动时间不达标的初中学生共有多少人？ 24. 综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 25. 综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 （1）点的坐标是 ，点的坐标是 ； （2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期 初一数学期末试题 考生注意： 1.本科为闭卷考试，考试时间120分钟． 2.全卷共三道大题，总分120分． 3.请将答案填写在答题卡指定的位置． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的概念，解题关键是熟记平方根的定义，根据平方根的定义求解． 【详解】解：， 的平方根是， 故选：C． 2. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴可建立如下坐标系， ∴， 故选：A． 3. 如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据已知易得：，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 两直线平行，内错角相等 C. 同位角相等 D. 同旁内角互补 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．根据乘方的性质，平行线的性质解答即可． 【详解】解：A．若，则，原命题是假命题，故A不符合题意； B．两直线平行，内错角相等，原命题是真命题，故B符合题意； C．两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，故C不符合题意； D．两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故D不符合题意； 故选：B． 5. 若，则下列式子中错误的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据不等式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：由可得，故正确，不符合题意； B、由可得，原写法错误，符合题意； C、由可得，故正确，不符合题意； D、由可得，故正确，不符合题意； 故选：B． 6. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ） A. 调查观众对《哪吒2》的满意度，采用全面调查 B. 对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查 C. 调查河南省中学生的睡眠时间，采用抽样调查 D. 企业对招聘人员面试，采用抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的优缺点，全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度是关键．根据抽样调查样本的代表性，可操作性结合具体问题情境综合进行判断即可． 【详解】解：A．为了调查观众对《哪吒2》的满意度，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B．对某批次的新能源电池使用寿命检测，适合抽样调查，故本选项不符合题意； C．调查河南省中学生的睡眠时间，适合抽样调查，故本选项符合题意； D．企业对招聘人员面试，采用全面调查，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 北京冬奥会开幕式上，以“二十四节气”为主题的倒计时短片，用“中国式浪漫”美学惊艳了世界．下图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，给出下列结论：①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小；②夏至时白昼时长最大；③春分和秋分，昼夜时长大致相等，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ② D. ③ 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小再增大；②夏至时白昼时长最大；③春分和秋分，昼夜时长大致相等，即可得②③正确． 【详解】解：由图可知， ①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小再增大；②夏至时白昼时长最大；③春分和秋分，昼夜时长大致相等， 即可得②③正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息． 8. 青少年辩论社团共有40名学生，为方便开展活动，计划分成若干个小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，解题关键是根据题目意思列出含x和y的方程． 设5人一组的有x个，6人一组的有y个，列出方程，再令x为大于等于1的整数，逐一进行计算，即可得出答案． 【详解】设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得： ， 当，则（不合题意）； 当，则； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则； 故有2种分组方案． 故选：C． 9. 如图是一个数值转换器，当输入的值为时，输出的值是（ ）   A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了程序计算，算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根，无理数的计算与判定是解题的关键．根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【详解】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出， 故选：A． 10. 如图，在长方形中放入八个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则长方形的面积为（ ） A. 352 B. 279 C. 365 D. 296 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设小长方形的长、宽分别为，，根据图形列出方程组求出小长方形的长、宽即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为，， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 是________的立方根． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．利用立方根定的义解答即可． 【详解】解：是的立方根， 故答案为：． 12. 已知方程组，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先把两个方程相加，再利用等式的基本性质求出即可． 【详解】解：， ①②得：， ∴， 故答案为：4． 13. 若关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解建立关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 在数轴上，介于和之间的整数是_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 求出和的范围即可求解． 【详解】解：∵，即， ，即， ∴介于和之间的整数是3， 故答案为：3． 15. 将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点F，作的平分线，交直线于点，则的度数为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，平行线的判定与性质. 先证明，得到，再根据和的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 当在右边时，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，交线段于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在左边时，交直线于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 16. 如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点，点先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化—平移，学会探究规律的方法是解题的关键． 根据题意得出前若干个点的坐标进而即可得到进而即可解答． 【详解】解：∵，，……， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共9道大题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，立方根，绝对值，算术平方根的意义，解二元一次方程组．解题的关键是正确使用立方根，绝对值，算术平方根的意义进行运算． （1）利用立方根，绝对值，算术平方根的意义解答即可； （2）利用加减法解答即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 整理得：， 由①+②得：， 解得：， 将代入①中得：， 解得：， 18. 解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来． ． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，按照解一元一次不等式组的一般步骤，求出不等式组的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， ， ， ， 由②得：， ， ， ， ∴不等式组的解集为：， 解集在数轴上表示为： 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，将三角形平移，使点平移到点处，得到三角形，其中点的对应点分别为． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）若线段上一点的坐标为，写出平移后点的对应点的坐标； （3）若点在坐标轴上，三角形的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1） 如图，为所求作的图形，； （2） （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换——平移，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是概念． （1）根据点的平移方式，确定点的对应点，再依次连接，并写出坐标即可； （2）根据线段的平移方式写出的坐标即可； （3）分两种情况求解：当点在轴上时，当点在轴上时，根据三角形面积公式分别求出的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知，线段的平移方式为先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度， 若线段上一点的坐标为，则平移后点的对应点的坐标为； 【小问3详解】 解：到轴的距离为2，到轴的距离为3，且， 当点在轴上时，， 解得：， 则或， 当点在轴上时， 解得：， 则或． 综上可知，点的坐标为或或或． 20. 亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 （1）经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ （2）经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 【答案】（1）70 ；130 （2）八折 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，明确题意，找准等量关系是解答本题的关键． （1）设甲类x个，则乙类个，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解； （2）设甲类打y折，根据题意列出关于y的一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设甲类x个，则乙类y个，由题意得： ， 解得： ∴（个）， 答：甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个． 【小问2详解】 设甲类打y折，由题意得： ， 解得：． 答：甲类纪念品打了八折． 21. 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算＝ ；＝ ． （2）用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，直线，直线与直线、分别交于点、，点是直线上一点，连接，将三角形沿着方向平移得到三角形，平分．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平移的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，由平移性质得到，即可证明． 【详解】证明：， ， 平分， ， 由平移性质得：， ． 23. 某初中学校为了解学生放假期间运动锻炼的情况，从本校学生中随机抽取部分学生，调查他们寒假期间一周的运动时长（单位：小时），将收集到的数据整理分组：，，，，并绘制了两幅不完整的统计图．已知假期每周运动时间不少于3小时为达标． 根据以上信息，解答下列问题． （1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数是 （2）请通过计算将频数分布直方图补充完整； （3）若全区有12000名初中学生，估计运动时间不达标的初中学生共有多少人？ 【答案】（1）120；144 （2）见解析 （3）9000人 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体． （1）用频数分布直方图中的人数除以扇形统计图中B的百分比可得共调查的学生人数；用乘以C的人数所占的百分比，即可得出答案； （2）根据的人数，补全频数分布直方图即可； （3）根据用样本估计总体，用12000乘A，B，C组的人数所占的百分比之和，即可得出答案． 【小问1详解】 解：在这次抽样调查中，共调查了学生：（名）， C组所对应的人数为（人）， 在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数是：， 故答案为：120；144； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计运动时间不达标的初中学生共有9000人． 24. 综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 25. 综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 （1）点的坐标是 ，点的坐标是 ； （2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）存在，3 （3）3 【解析】 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （3）分点N在线段上，点N在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ，解得， ∴点A和点的坐标分别为；， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：存在． 过D作的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点A和点的坐标分别为；， ∴， ∵将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴点C和点D的坐标分别为和， ∴， 设M点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴存在这样的，使得四边形的面积等于9； 【小问3详解】 解：不变． 理由如下： 当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过D作的延长线，垂足为H ，连接， ∵， ， ∴ = = ， 当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ， 综上可知，的值为． 【点睛】本题是考查了平移的性质，非负数性质，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $