精品解析：江苏省南通市海安市2025-2026学年度八年级下学期数学期末试卷

八年级数学 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 一个六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在四边形中，，添加下列条件，仍不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某乡镇组织开展村超等群众文化赛事活动，其中参赛的七个村得分分别为55，64，51，66，50，61，55，则这组数据的下四分位数是（ ） A. 51 B. 55 C. 58 D. 64 6. 一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线（为常数，）经过，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 姐弟两人一起去离家的图书馆，在图书馆阅读后原路返回．姐姐以的速度直接回家，弟弟在返回途中在离家的文具超市停留．设弟弟从家出发到返回家中所用时间为（），离家的距离为（），与的函数图象如图所示．当姐弟两人在返回途中相距时，时间的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，点在上，，点，分别在，上，于点，连接，．两位同学经过深入研究，小明发现：线段的长度始终为；小丽发现：当时，取到最小值为．请对两位同学的发现作出判断（ ） A. 小明的发现正确，小丽的发现错误 B. 小明，小丽的发现都错误 C. 小明的发现错误，小丽的发现正确 D. 小明，小丽的发现都正确 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 12. 如图，在中，，，，中线，相交于点，连接，则的长为_______． 13. 已知，是方程的两个根，则_______． 14. 如图，在菱形中，，交于点，于点，，，则菱形的面积为_______． 15. 在平面直角坐标系中，直线（为常数，）与两坐标轴相交于，两点，当点到该直线的距离最大时，线段的长度为_______． 16. 如图，在矩形中，，，，交于点，经过点，交，于点，，将矩形沿翻折，点，的对应点分别为，，连接，． （1）的度数为_______；（用含的式子表示） （2）若，则线段的长度为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）； （2） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 19. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，四边形为正方形，求的值． 20. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚．某校举办了“食动并行，体质并重”的知识竞赛．现从该校七、八年级的比赛成绩中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩用表示，单位：分），将成绩分成五组：A：；B：；C：；D：；E：，并对成绩整理、描述、分析如下： ①七年级20名学生的成绩：89，77，58，77，89，68，88，69，79，84，77，78，82，87，66，96，94，83，67，92． ② ③其中八年级学生的成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． ④抽取的七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 80 80.5 c 102.3 八 80 b 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）比赛成绩90分及以上记为优秀，七年级有580名学生参加比赛，八年级有600名学生参加比赛，请估计两个年级成绩优秀的学生总人数； （3）七、八年级中哪个年级的学生成绩更好？请结合两种统计量说明理由． 21. 判断下列命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若，则； （2）顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过，两点． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）一次函数与直线相交于点，交轴于点，若的面积为，求的值． 23. 某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． （1）关于的函数解析式为 ； （2）若销售单价不低于元时，求最大销售量； （3）若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 24. 已知函数与（为常数，且）． （1）若，与的函数图象公共点坐标为 ； （2）若，当时，比较与的大小，并说明理由； （3）当时，，求的取值范围． 25. 综合与实践： 【回归教材】人教版八下教材有“利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质”，如图1所示． 【知识运用】 （1）在矩形中，，，点为中点，连接． ①如图2，若点在上，，则的长为 ； ②如图3，若将沿翻折，点的对应点为点，连接并延长，交于点，求的长； 【思维拓展】 （2）如图4，在菱形中，，，，，三点在上，，，过点作直线，的垂线段，垂足分别为，，连接．当点在之间运动（包括端点）时，求的长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则求解． 【详解】解：． 2. 一个六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式计算即可，n边形的内角和可表示为，将六边形的边数代入公式计算即可得到答案． 【详解】解：多边形内角和公式为，六边形边数， 六边形内角和为． 3. 下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理解题，先确定每个选项中最大的边长，再验证两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方，相等即可构成直角三角形． 【详解】解：A选项，最大边为， ，，， 不能构成直角三角形； B选项，最大边为， ，， ，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； C选项，最大边为， ，，， 不能构成直角三角形； D选项，最大边为， ，，， 不能构成直角三角形． 4. 如图，在四边形中，，添加下列条件，仍不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，结合已知条件，对各个选项进行逐一分析即可得出结论． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A不符合题意； B、， ，在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形，故B不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故C不符合题意； D、，，不能判定是平行四边形，故D符合题意． 5. 某乡镇组织开展村超等群众文化赛事活动，其中参赛的七个村得分分别为55，64，51，66，50，61，55，则这组数据的下四分位数是（ ） A. 51 B. 55 C. 58 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路为先将数据从小到大排序，再计算下四分位数的位置，根据分位数的计算规则得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序：， 数据个数， 方法一：，向上取整数为，即下四分位数为排序后的第个数据，是； 方法二：这组数据的中位数是第个数据，为，下四分位数为前三个数据的中位数，即为． 6. 一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数增减性得到的取值范围，再代入得到的取值范围，即可选出符合的选项． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 当时，， ∵， ∴， 即， 选项中只有，符合要求． 7. 近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】年平均下降率为，2023年初始消费量为万吨，经过2年下降后2025年消费量为万吨，第一年下降后的消费量为，第二年在第一年基础上继续下降，最终消费量为 ，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为， 根据题意可列方程：． 8. 已知直线（为常数，）经过，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线和直线的交点为，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵直线（为常数，）经过，， 又， ∴随着的增大而减小， 对于直线，随着的增大而增大，当时，， ∴直线和直线交于点， ∴关于的不等式的解集即的解集为． 9. 姐弟两人一起去离家的图书馆，在图书馆阅读后原路返回．姐姐以的速度直接回家，弟弟在返回途中在离家的文具超市停留．设弟弟从家出发到返回家中所用时间为（），离家的距离为（），与的函数图象如图所示．当姐弟两人在返回途中相距时，时间的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出姐姐和弟弟在返回途中的路程与时间的函数关系式，计算两人之间的距离，结合图象分析相距的时间段即可. 【详解】解：由题意及图象可知： 姐姐返程的速度为，从开始返程， 姐姐返程的函数解析式为 ； 弟弟在段从处回家， 弟弟该段的速度为 ， 弟弟在  时的函数解析式为； 当时，， ， 此时两人相距， 当  时，姐弟两人的速度均为， 两人之间的距离保持不变，始终为， 当 时，姐姐到家，，此时，距离仍为 ， 当  时，姐姐停止运动，弟弟继续向家走，距离小于， 当姐弟两人在返回途中相距时，的取值范围是. 10. 如图，正方形的边长为，点在上，，点，分别在，上，于点，连接，．两位同学经过深入研究，小明发现：线段的长度始终为；小丽发现：当时，取到最小值为．请对两位同学的发现作出判断（ ） A. 小明的发现正确，小丽的发现错误 B. 小明，小丽的发现都错误 C. 小明的发现错误，小丽的发现正确 D. 小明，小丽的发现都正确 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过构造全等三角形证明，从而验证小明的发现；其次利用轴对称性质（将军饮马模型）求出的最小值，并计算此时的度数，从而验证小丽的发现． 【详解】验证小明的发现： 如图1，过点作于点， 四边形是正方形，  ，， ， ， ， ， 又 ，且在同一直线上，， ，即， 在和中，   ， ， 在 中，， ，故小明的发现正确； 验证小丽的发现： 由可知， 设，则， 点在上，且在上方（由在上，在上及走向可知）， 点到的距离为， 点到的距离为， 在中，， 在中，， ，此式表示轴上一点到点和点的距离之和，如图， 作点关于轴的对称点，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ， 设所在直线解析式为，代入坐标可得， 解得，所以所在直线解析式为，与轴交点坐标为， 所以， 当时，,, 设, ， 在中，， 在中，， ，解得，， 所以是等腰直角三角形，所以， 所以小丽的发现正确， 综上所述，小明和小丽的发现都正确． 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】由题意得： 2-x≥0， 解得：x≤2 故答案为x≤2． 12. 如图，在中，，，，中线，相交于点，连接，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理求出的长，三角形的中位线定理求出的长即可. 【详解】解：、为的中线， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， 在中，，，， ∴， . 13. 已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． 14. 如图，在菱形中，，交于点，于点，，，则菱形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的面积公式建立等量关系，结合勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：设菱形的边长为，则， 四边形是菱形，， ，，， 在中，由勾股定理得， ， 菱形的面积， ， 整理得， 两边平方得， 解得， ， ， 菱形的面积为. 15. 在平面直角坐标系中，直线（为常数，）与两坐标轴相交于，两点，当点到该直线的距离最大时，线段的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】易得直线恒过定点，得到当直线时，取得最大值，当直线时，在直线上截取，连接，作轴于点，作，证明，求出点坐标，代入解析式，求出值，进而求出直线与坐标轴的两个交点坐标，勾股定理求出线段的长度即可. 【详解】解∵ ∴当时，， ∴直线恒过定点， 连接，则原点到直线的距离满足， ∴当直线时，取得最大值， 如图，当直线时，在直线上截取，连接，作轴于点，作交的延长线于点， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 把代入，得， 解得， ∴， 令，得，解得，即直线与轴交点为； 令，得，即直线与轴交点为； ∴. 16. 如图，在矩形中，，，，交于点，经过点，交，于点，，将矩形沿翻折，点，的对应点分别为，，连接，． （1）的度数为_______；（用含的式子表示） （2）若，则线段的长度为_______． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】（1）根据矩形对角线互相平分且相等得到，，由翻折的性质得到得，，结合三角形的内角和计算即可； （2）取的中点，连接，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据条件先表示出各点的坐标，再求出对角线一半的长度，根据中位线定理求出的长度，的长度，进而可以计算的长度． 【详解】（1）∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点翻折到， ∴， ∴，， ∴， ∵， 设，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴ ， 把代入计算得； （2）如图所示，取的中点，连接， 以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系： ∴，，，， ∴矩形对角线中点， ∴， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴, ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 即， ∴, ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ∴， 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，       ， 该方程总有两个实数根； （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值.  【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 19. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，四边形为正方形，求的值． 【答案】（1）∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）可先证明，得到，再结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判断四边形的形状； （2）根据四边形是正方形，可得，，设，结合已知，利用直角三角形中角所对直角边是斜边一半的性质，可得到的长，进而推导​的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵四边形为正方形， ∴对角线，且，， ∴，， 设， 在中，，， ∴ ， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 20. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚．某校举办了“食动并行，体质并重”的知识竞赛．现从该校七、八年级的比赛成绩中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩用表示，单位：分），将成绩分成五组：A：；B：；C：；D：；E：，并对成绩整理、描述、分析如下： ①七年级20名学生的成绩：89，77，58，77，89，68，88，69，79，84，77，78，82，87，66，96，94，83，67，92． ② ③其中八年级学生的成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． ④抽取的七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 80 80.5 c 102.3 八 80 b 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）比赛成绩90分及以上记为优秀，七年级有580名学生参加比赛，八年级有600名学生参加比赛，请估计两个年级成绩优秀的学生总人数； （3）七、八年级中哪个年级的学生成绩更好？请结合两种统计量说明理由． 【答案】（1），， （2）207 （3）八年级学生成绩更好，理由如下： ① 七、八年级成绩的平均数相同，八年级方差七年级方差，说明八年级成绩更稳定； ② 八年级成绩的中位数七年级中位数，说明八年级整体成绩水平更高；∴八年级成绩更好 【解析】 【分析】（1）先计算组的人数占整体的百分比，即可得到，中位数是20个数据排序后第10和第11个数据的平均数，先根据八年级频数分布直方图确定前三个组的总人数，再结合D组的具体数据，找到排序后的第10、11个数据，计算二者平均值即为，众数是一组数据中出现次数最多的数，统计七年级20个成绩中各数值出现的次数，出现次数最多的数即为； （2）先分别统计七年级、八年级抽取的20名学生中90分及以上的人数，计算对应优秀率，再分别乘各年级总人数，求和即可得到总优秀人数； （3）从给出的平均数、中位数、众数、方差中选择两种统计量，结合其统计意义对比两个年级的成绩情况，说明理由即可． 【小问1详解】 ∵D组成绩从小到大排序后，在组的人数有4人， ∴组占整体的， ∴ 八年级共20名学生，中位数为第10、11名成绩的平均数， 由频数分布直方图得：前3组共人， ∴第10、11名均在D组， ∵第10名成绩为82，第11名成绩为83， ∵中位数； 七年级成绩中，77出现次数最多， ∴众数； 【小问2详解】 ∵七年级优秀率为， ∴七年级优秀人数约为：人 ； ∵八年级抽取的20人中，优秀（90分及以上）有4人，优秀率为， ∴八年级优秀人数约为：人 ∴总优秀人数：人 答：估计两个年级成绩优秀的学生总人数为人； 【小问3详解】 略． 21. 判断下列命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若，则； （2）顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形． 【答案】（1） 假命题，反例：当（反例不唯一）时，则， ∴， 但， 故原命题是假命题. （2） 解：是真命题，证明如下： 如图，四边形为矩形，分别为边的中点，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）举反例证明假命题即可； （2）根据矩形的性质，三角形的中位线定理，以及菱形的判定方法进行证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过，两点． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）一次函数与直线相交于点，交轴于点，若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）   或  【解析】 【分析】（1）将、两点坐标代入表达式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，确定直线的解析式； （2）先确定点的坐标，求出线段的长度，联立方程组求出的横坐标，根据的面积为列方程，解出即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为（）， 将、代入解析式得， 解得 ∴直线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵一次函数交轴于，如图， ∴令得 ∴， ∵， ∴； 联立直线方程， 消去得： ， 整理得​，即点横坐标为， ∴， ∵， ∴ ， 化简得， ∴， 解得：  或 ． 23. 某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． （1）关于的函数解析式为 ； （2）若销售单价不低于元时，求最大销售量； （3）若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【答案】（1） （2） 个 （3） 不能达到 【解析】 【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y与x的函数解析式； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量； （3）根据总利润单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结论.  【小问1详解】 解： 由题意可得，销售单价为元时，降价金额为元， 每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为个， 总销量， 整理得； 【小问2详解】 解：由题意得，结合(1)可得， 函数中，， ∴随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值， 将代入得； 答：最大销售量为（个）. 【小问3详解】 解：由题意，  ， 展开整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不存在满足条件的销售单价； 答：该网店不能达到元的利润. 24. 已知函数与（为常数，且）． （1）若，与的函数图象公共点坐标为 ； （2）若，当时，比较与的大小，并说明理由； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）． （2）． （3）或． 【解析】 【分析】（1）当时，得到两个函数解析式后联立方程解答即可； （2）作差后利用和判断差为负； （3）将不等式化为 ，分和讨论即可． 【小问1详解】 解：， ， 当时，即，解得， 与的函数图象公共点坐标为． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ，移项得， ①当时，解得， 当时，， ，解得， ； ②当时，解得， 当时，， ，解得， ； 综上所述，的取值范围是或． 25. 综合与实践： 【回归教材】人教版八下教材有“利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质”，如图1所示． 【知识运用】 （1）在矩形中，，，点为中点，连接． ①如图2，若点在上，，则的长为 ； ②如图3，若将沿翻折，点的对应点为点，连接并延长，交于点，求的长； 【思维拓展】 （2）如图4，在菱形中，，，，，三点在上，，，过点作直线，的垂线段，垂足分别为，，连接．当点在之间运动（包括端点）时，求的长的取值范围． 【答案】（1）①2，②3 （2） 【解析】 【分析】（1）①先通过勾股定理计算的长度，根据直角三角形斜边中线性质，，再用减得到的长即可； ②根据翻折的性质可得对应边、对应角相等，进而得到，再证得四边形是平行四边形，推导角的关系得到即可求解； （2）根据菱形的性质先求出的长度，建立平面直角坐标系，表示出、和，再结合的角度，建立和的函数关系，根据在上的运动范围，确定的取值范围，进而得到的取值范围． 【小问1详解】 ①∵四边形为矩形，是中点，，， ∴， 由勾股定理得，  ，是中点， ∴， ； ② 由折叠性质得：，，  是中点， ， ， 又，， ，即， ∴， ， 又， 四边形是平行四边形， ，  ， ； 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在的直线为轴，过点且垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 过作于，连接，取其中点，连接，过作于， ∴ ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴,， ∴​， 设， ， ∴在中， ，， 同理，在中，， 坐标为， 由勾股定理得： ， ∵,为的中点， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 在之间，，， ∴,， ∴   时，，即， ∴ ​时，， ∴的取值范围为： ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $