精品解析：江苏省南通市海安市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024~2025学年度第二学期学业质量监测 八年级数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 化简后的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根意义是解题的关键． 利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 6，8，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理逆定理：验证每组数中较小两数平方和是否等于最大数的平方，以及三角形三边关系判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形， 故此选项不符合题意； B、∵，， ∵ ， ∴不能组成直角三角形， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴能组成直角三角形， 故此选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形， 故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如果是正比例函数，则a的值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的定义得到即可求解． 【详解】解：是正比例函数， ， 解得：， 故选：A． 4. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本事件，熟练掌握基本事件的分类是解题的关键．根据经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯进行判断即可． 【详解】解：经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，可能遇到绿灯， 故这个事件是随机事件， 故选B． 5. 如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故选：A． 6. 将一元二次方程配方，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 8. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，掌握其性质是关键． 根据矩形，菱形的性质判定即可求解． 【详解】解：矩形的对角线相互平分，对角线相等， 菱形的对角线相互平分，互相垂直，平分对角， ∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：B ． 9. 如图，，，D，E分别是，的中点，平分，交于点F，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，角平分线定义，等腰直角三角形，关键是由三角形中位线定理推出，由等角对等边得到． 由等腰直角三角形的性质求出，由三角形中位线定理推出，，由角平分线定义和平行线的性质推出，求出，即可得到EF的长． 【详解】解：∵中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，四边形是平行四边形，于点E，，，则值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是由勾股定理得到关于、的等式． 过作交的延长线于，判定，推出，，设，，则，，由勾股定理得到，因此，化简得，又因为，即，代入即可求解． 【详解】解：过作交的延长线于， 是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， 设，，则 ，， ，， ， ， ∴ ． ∴ ∴ 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 若正比例函数的图象经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．将点代入函数解析式即可求得． 【详解】解：点代入函数解析式得：， 即， 故答案为：． 13. 若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，先画图，求解，过作于，结合，得出为等腰直角三角形，可得答案． 【详解】解：如图，菱形的周长为， ∴， 过作于，而， 则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 14. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为： 15. 已知关于x的函数（是常数），与的部分对应值如下表：则______（从“”“””“”中选一个填空） x … 0 2 3 … y … s b t … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解表格系数，掌握待定系数法是关键，根据表格信息，代入计算得到，运用作差法即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 【答案】 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 解得：， 折断处离地面的高度为尺， 故答案为： 17. 平面直角坐标系中，点M和点N在第一象限内，，M的纵坐标和N的横坐标都等于4，，则点N的纵坐标为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平面内两点间距离公式，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．设，，求出，过点M作轴于点A，过点N作轴于点C，过点O作，延长，交延长线于点B，证明，得出，，证明，得出，列出方程，求出n的值即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 过点M作轴于点A，过点N作轴于点C，过点O作，延长，交延长线于点B，如图所示： 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标为． 故答案为：． 18. 平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，两点间的距离，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键．根据，可得，进而可知，由，进而根据两点间距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P到原点距离：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴点P到原点O的距离的最小值为： ， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字明、证明过程或演算步骤） 19. 计算与解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）先根式二次根式性质进行化简，然后再用二次分式加减运算法则进行计算即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 20. 甲，乙两小区各有600户居民，为了解两个小区1月份用户使用燃气量情况，小翠从两个小区分别随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．根据下列信息回答问题：a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）：b．甲小区用气量的数据在这一组的是：15 15 16 16 16 17 18 18 18 18 18 19，c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数如下： 甲小区用气量频数分布直方图 甲，乙两小区用气量的平均数、中位数 小区 平均数 中位数 甲 t 乙 19 （1）表中_____； （2）设在抽取的用户中两个小区1月份用气量低于各自平均用气量的户数分别为m，n，试比较m，n的大小，并说明理由； （3）估计甲小区1月份用气量超过本小区的平均用气量的户数． 【答案】（1） （2）；理由见解析 （3）140户 【解析】 【分析】本题考查求中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体的方法是解题关键． （1）利用求中位数的方法求解即可； （2）利用中位数和平均数的意义分析即可； （3）根据抽取的30户中用气量超过平均用气量的户数所占的比例，估算出整体户数即可． 【小问1详解】 解：甲小区抽取的用户中，将用气量从小到大排列后，排在第15位的是16，第16位的是17， 则中位数， 故答案为：16.5． 【小问2详解】 解：由题知，（户）， 在乙小区抽取的用户中，中位数为，平均数为17.7，即最多有15户低于他们的平均用气量，即， ； 【小问3详解】 解：由题知，（户）， 答：甲小区中用气量超过本小区的平均用气量的户数为户． 21. 某商品博览会在五一节期间举办了“五一不重”的活动，吸引了众多市民前来参观．商品博览会设置了A、B两个安检通道进入场馆内部，又设置了D、E、F三个离场通道．小明和小亮两名同学分别到博览会游玩． （1）小明从A入口进入商品博览会的概率是 ； （2）参观结束后，小明和小亮都从D出口走出博览会的概率是多少？（列表或画树状图） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）由概率公式求解即可； （2）用树状图法得出9种等可能的结果，小明和小亮都从D出口走出展馆的只有一种，再结合概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有两个入口，每个入口被选择的概率相同， ∴小明从A入口进入商品博览会的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小亮都从D出口走出博览会的结果数有1种， ∴小明和小亮都从D出口走出博览会的概率为. 22. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明是直角三角形是解题的关键。 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（1）根据题意结合角平分线定义，平行线性质推出，进而得到，再结合，推出，证明四边形为平行四边形，最后根据菱形的判定定理证明，即可解题； （2）利用直角三角形性质和菱形性质推出，进而得到，根据菱形性质得到，结合勾股定理求出，再根据菱形的面积为，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：在四边形中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线，交于点O， ，， ，， ，即有， ， ， ， 菱形的面积为， ， 解得． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线性质，菱形的性质与判定，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 24. 在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系． 售价x（元/千克） … 24 26 … 销售量y（千克） … 32 28 … （1）某天这种水果售价为元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 【答案】（1）这种水果的售价为元/千克是，当天该水果的销售量为千克 （2）该天水果的售价为25元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式和方程是解题的关键． （1）利用待定系数法求出y与x的函数关系式为，然后求出时，y的值即可得到答案； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为， 当时，， ∴这种水果的售价为元/千克是，当天该水果的销售量为千克； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 解得或， ∵售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克， ∴不符合题意舍去， ∴该天水果的售价为25元． 25. 在平面直角坐标系中，已知，，点C在线段上． （1）求直线的解析式； （2）若的面积是面积的三分之一，求点C的坐标； （3）若一次函数（k为常数，）图象经过点C，且当，该一次函数对应的函数值始终大于0，求点C的横坐标的取值范围． 【答案】（1）直线的解析式为； （2）点C的坐标为； （3）当，该一次函数对应的函数值始终大于0，点C的横坐标的取值范围为：． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法，增减性，一次函数与几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，设，由此得到，解方程即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时，则；当时，则时；根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，代入，得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； ∵点C在线段上，即， ∴，不符合题意，舍去， ∴点C的坐标为； 【小问3详解】 解：当，一次函数（k为常数，）对应的函数值始终大于0， ∴当时，， 当时，， ∴， 第一种情况，当时，则， ∴一次函数中，随的增大而减小，与轴的交点在点的下方， ∴点的横坐标的取值范围为：； 第二种情况，当时，则， ∴一次函数中，随的增大而增大，与轴的交点在点的下方， 当时，， 当时，，即当时，一次函数与点无交点，不符合题意； 当时，即时， ， 解得，， ∴当时，， ∴当时，， 解得，， ∴点的横坐标的取值范围为：； 综上所述，当，该一次函数对应函数值始终大于0，点C的横坐标的取值范围为：． 26. 综合与实践： 矩形中，点E在射线上，连接，过点O作，交直线于点F，连接． 【特例探究】（1）如图1，当E是线段中点时，，，则的长为______； 【一般情形】（2）当点E在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； 【拓展运用】（3）如图（3），中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，连接，F是的中点，连接，若，且，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）；证明见解析；（3）的最小值为2 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，证明四边形为矩形，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据勾股定理求出结果即可； （2）延长，交于点G，连接，根据矩形的性质得出，，，证明，得出，，证明，得出，根据勾股定理即可得出答案； （3）过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，证明四边形为矩形，得出，，，，证明，得出，，证明，得出，求出，根据直角三角形性质得出，根据三角形三边关系可得，且当、A、F三点共线时，等号成立，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ， ∵E是线段中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：； （2）；理由如下： 延长，交于点G，连接，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， 即． （3）过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，如图所示： 则， ∴四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∵，且当、A、F三点共线时，等号成立， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形三边关系应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期学业质量监测 八年级数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 化简后的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2. 下列各组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 6，8，9 3. 如果是正比例函数，则a的值是（ ） A. B. 0 C. D. 4. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 5. 如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 将一元二次方程配方，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 9. 如图，，，D，E分别是，的中点，平分，交于点F，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，四边形是平行四边形，于点E，，，则值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 若正比例函数的图象经过点，则______． 13. 若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 14. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为________． 15. 已知关于x的函数（是常数），与的部分对应值如下表：则______（从“”“””“”中选一个填空） x … 0 2 3 … y … s b t … 16. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 17. 平面直角坐标系中，点M和点N在第一象限内，，M的纵坐标和N的横坐标都等于4，，则点N的纵坐标为_______． 18. 平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字明、证明过程或演算步骤） 19 计算与解方程 （1） （2） 20. 甲，乙两小区各有600户居民，为了解两个小区1月份用户使用燃气量情况，小翠从两个小区分别随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．根据下列信息回答问题：a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）：b．甲小区用气量的数据在这一组的是：15 15 16 16 16 17 18 18 18 18 18 19，c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数如下： 甲小区用气量频数分布直方图 甲，乙两小区用气量的平均数、中位数 小区 平均数 中位数 甲 t 乙 19 （1）表中_____； （2）设在抽取的用户中两个小区1月份用气量低于各自平均用气量的户数分别为m，n，试比较m，n的大小，并说明理由； （3）估计甲小区1月份用气量超过本小区的平均用气量的户数． 21. 某商品博览会在五一节期间举办了“五一不重”的活动，吸引了众多市民前来参观．商品博览会设置了A、B两个安检通道进入场馆内部，又设置了D、E、F三个离场通道．小明和小亮两名同学分别到博览会游玩． （1）小明从A入口进入商品博览会的概率是 ； （2）参观结束后，小明和小亮都从D出口走出博览会的概率是多少？（列表或画树状图） 22. 如图，在中，，，，是垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：直角三角形； （2）求的长． 23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 24. 在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系． 售价x（元/千克） … 24 26 … 销售量y（千克） … 32 28 … （1）某天这种水果的售价为元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 25. 平面直角坐标系中，已知，，点C在线段上． （1）求直线的解析式； （2）若的面积是面积的三分之一，求点C的坐标； （3）若一次函数（k为常数，）的图象经过点C，且当，该一次函数对应的函数值始终大于0，求点C的横坐标的取值范围． 26. 综合与实践： 矩形中，点E在射线上，连接，过点O作，交直线于点F，连接． 【特例探究】（1）如图1，当E是线段中点时，，，则的长为______； 【一般情形】（2）当点E在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； 【拓展运用】（3）如图（3），中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，连接，F是的中点，连接，若，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $