暑假专项提升--菱形的性质与判定专项练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以菱形性质与判定为核心，通过分层题型构建"性质应用-判定证明-动态综合"的方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|单选1-4、填空9-11|对角线垂直平分、等积法求高、角平分线性质|从菱形边、角、对角线基本性质到与直角三角形、等腰三角形结合应用| |判定证明|解答13-17|平行四边形+邻边相等/对角线垂直、全等三角形证四边相等|以平行四边形为基础，通过边、角、对角线条件完成菱形判定推理| |动态综合|单选5-8、填空12、解答18-21|折叠性质、动点轨迹分析、函数思想求最值|结合图形变换与动态问题，深化空间观念与模型意识，衔接中考综合题型|

暑假专项提升菱形的性质与判定专项练 2025-2026学年初中数学人教版(2024)八年级下学期 一、单选题 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠ABC=70°，E是线段A0上的 一点，且BC=CE,则∠OBE的度数是() B A.30.5 B.32.5° C.25.5° D.27.5° 2.如图，∠MON=Q,以点O为圆心，任意长为半径画弧，交射线OM于点A,交射线 ON于点B,分别以A,B为圆心，OA长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C,连 接AC,BC,则∠OCB的度数为() M B.a C.2a D.180°-a 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,以点A为圆心，适当长为半径 画弧，分别交AB、AC于点M、N:再分别以M、N为圆心，大于2MW的长为半径画 弧，两弧在∠BAC内交于点G;作射线AG,交BD于点H.若AB=7,OH=2,则 S。ABH= () N 7 B.14 C.10 D.12 4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P为AB边上一动点（不与点A, B重合)，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=6,则EF的最小值为( D A.3 B.2 e.号 D. 1 5.如图，在矩形ABCD中，AB<BC,连接AC,分别以点A、C为圆心，大于24C的 长为半径画弧，两弧交于点M、N,直线MN分别交AD、BC于点E、F.结论中：① 四边形AECF是菱形：②∠AFB=2∠ACB;③AC·EF=CF.CD;④若AF平分∠BAC, 则CF=2BF,其中错误的结论有() M D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，点P是BC边上的动点(BP>1),连 接AP,将△ABP沿AP翻折得△AB'P,射线PB与射线AD交于点E,给出下列结论： ①当AB'⊥AB时，BA=B'E. ②当点B'落在AD上时，四边形ABPB'是菱形， ③在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2. ④连接BR,则MBB的面积等于)AP·BB☐ 其中正确的结论个数是() D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，在菱形ABCD中，AC=2,∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O,点E、 F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，EF与AC交于点G,则在这 个运动过程中，下列说法正确的个数是() ①△CEF始终为等边三角形：②线段EF长的最小值为V5:③点G所走过的路径长为2： √5 ④△AEF面积的最大值4， F D B A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点 F,记菱形高线的长为h,则下列结论：①当P为BD中点时，则PE=PF;②PE+PF=h: ③∠EPF+∠A=180°：④若AB=2,∠EPF=60°，连接PC,则PE+PC有最小值为2：⑤ 若A=2.∠Br=60,连拉gF,则5心的录大值为9.其中错误的结论有（) P B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 9.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,AC=2cm,BD=4cm, 则这个菱形的边长是 cm A D 10.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为4，∠OAB=120°，对角线OB在x 轴上，将菱形翻折，使点B落在对角线上的点B处（点B与点B'不重合），折痕分别与 AB,BC交于点M,N,连接AB,若△OAB恰为等腰三角形，则点B的坐标为 A 0衣 11.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=12.点P为对角线BD上的任一点，作 PE⊥AB,PF⊥AD.则PE+PF+PC之和的最小值为 D B 12.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=8,点M、N分别在线段AD、BC上，将 四边形ABNM沿着MN翻折到菱形ABCD所在平面得到四边形EFNM,EF刚好过点D, F交CD于点G,连接DN.若CN=2,则DN=一，点M到DN的距离为 三、解答题 I3.如图所示，口ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,DE是AB边上的高， ∠OAB=∠BDE (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若∠BAD=60°，AB=4,求四边形ABCD的面积. 14.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=60°，点E,F分别在边AB,AD上， BE=AF.连接CE,EF,CF, (I)求证：△BCE≌△ACF: (2)求四边形AECF的面积： (3)当点E,F分别在边AB,AD上运动时，△CEF的面积是否存在最小值，若存在，请直 接写出△CEF面积的最小值；若不存在，请说明理由. 15.如图，平行四边形ABCD满足AB=2AD,延长DA至点E使得DA=AE,延长CB至 点F使得CB=BF,连接EF.点G为射线CD上异于点C的一点，连接FG交AB于点 H G D B 分 (I)求证：四边形EFCD是菱形： (2)若AD=5,四边形ABCD的面积为40，EF=2GH,则CG= 16.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,小颖、小亮两名同学以矩形ABCD的对角 线BD为边作菱形.具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长BA至E,使AE=AB,延长DA至F, 过点D作DEI‖AC,且DE=AC,过点B作 使AF=AD,连接DE,BF,EF. BF∥AC,且BF=AC,连接EF. E E F A (I)请选择其中一名同学的作法，证明四边形BDEF是菱形： (2)若∠DBC=30°，CD=2,求四边形BDEF的面积. 17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,己知OA=OC,OB=OD, 过点O作EF⊥BD,分别交AB、DC于点E、F,连接DE,BF 0 E B (I)求证：四边形DEBF是菱形： ②没4D/EF,4D+AB=2,BD=45,设B与CD之间的距离为，求的值. 18.【问题提出】 如图1，点E是菱形ABCD边BC上的一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF, ∠AEF=∠ABC=a(a290),AF交CD于点G,探究∠FCG与“的数量关系. E 图1 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当Q=90°时，求∠FCG的度数； 图2 (2)再探究一般情形，如图1，求∠FCG的度数；（用含α的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当a=120°，AB=4时，若点E为边BC的中点，请求出△CFG的面积. G 图3 19,在平面直角坐标系中，0为原点，菱形BCD的项点45,0）、B(0,1)、D25,)】 矩形a的.F5对引o》 G H B EM 图① 图② (1)填空：如图①，点C的坐标为 一，点G的坐标为 (2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E'FGH',点E,F,G,H的对应点 分别为E,F',G,H'.设EE=t,矩形EFGH'与菱形ABCD重叠部分的面积为S. 如图②，当边EF'与AB相交于点M、边G'H'与BC相交于点N,且矩形E'FGH'与菱形 ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围； 20.如图所示，第一个菱形OBCD的边长为2，∠BOD=60°，且点D落在y轴上，延长 CB交x销于A以C4为边作第二个菱形CC,延长CB交辅于点4，以C4为边作 A B2 C2C 第三个菱形 ,按这样的规律进行下去，若点D、C、C、C都在一条直线上。 C C D B B OA A A 【探究】 A9= AC 2,C BC= (3)则第n个菱形的面积为 21.探究1： 1)如下图，在菱形ABCD中，AB=8,∠ABC=60°，P点为射线BC上一动点， DE⊥AP于E,连接BE,PD当PD=AD时，BE= D E 探究2： P (2)如下图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=1O,P为射线BC上一点，DE⊥AP于E, 连接BE,PD.当PD=AD时，BE= A D E 拓展探究： P C (3)如下图，在ABCD中，AB=6,BC=8,∠ABC=60°，P点为射线BC上一点， DE LAP于E,连接BE,PD.数据： 37≈6) D E B D O若BE/PD,则 S.,倾“>”或“=”或“<”） ②若PD=AD,求BE的长. 参考答案 题号 1 2 3 6 6 7 答案 D A A A C B 1.D 本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质 是本题的关键， 由菱形的性质可得∠AB0=∠CB0=35°、AC⊥BD,可得∠BAC=∠ACB=55°，由等边对等 角以及三角形内角和定理求得∠CBE的度数，再根据角的和差即可解答. 解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=70° .∠ABO=∠CB0=35°、AC⊥BD」 .∠BAC=∠ACB=90°-35°=55°， BC=CE ·∠CEB=∠CBE=080°-∠BCA)=62.5°， .∠OBE=∠CBE-∠0BC=62.5°-35°=27.5° 故选D 2.A 由作图过程可证四边形OACB是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答」 解：，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交射线OM于点A,交射线ON于点B, ..OA=OB 分别以A,B为圆心，OA长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，,连接AC,BC .'AC=OA,BC=0A .OA=AC=BC =OB. .四边形OACB是菱形， :<OCB-LACB=-MON=0,即选项A符合恩意 3.A 过点H作HE⊥AB于E,由作图知，射线AG平分∠BAC,根据菱形的性质得到 OH⊥AO,根据角平分线的性质得到EH=OH=2,根据三角形面积的公式求解即可. 如图，过点H作HE⊥AB于E, D E 由作图可知，射线AG平分∠BAC :四边形ABCD是菱形， .OH⊥A0, .EH=OH=2. Sm=)4B-EH=x7×2=7 2 4.c 根据菱形的性质得AC⊥BD,OA=OC=4,OB=OD=3,由勾股定理求出AB=5,连接 OP,证明四边形OEPF是矩形，则EF=OP,当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值 最小，再根据等面积法求高即可求解. 解：四边形ABCD是菱形， ÷4C1Bn,0=0c-4c-x8=4,0B=0D=号D-5x6=3 2 2 ,∠AOB=90°， 在Rt△AOB中，AB=VOA+OB2=V42+3=5 如图所示，连接OP, D :PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠PEO=∠PFO=∠AOB=90° ∴.四边形OEPF是矩形， .'EF=OP, 当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，如图， Sa40s=2010B=24B-0P 0P=O40B-4x312 AB 55， 12 ·EF的最小值为5. 5.A 根据作图可得MN⊥AC,且平分AC,设AC与MN的交点为O,证明四边形AECF为菱 形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解.判 断③，根据30度角的直角三角形的性质，即可求解. 解：设EF,AC交于点O 由作图知，EF垂直平分AC ∴.A0=CO,∠AOE=∠COF=90° 在矩形ABCD中，AD∥BC .∠AEO=∠CFO ∴.△AEO≌△CFO ∴OF=OE ∴.四边形AECF是菱形 ①正确 :四边形AECF是菱形 ∴.∠FAC=∠FCA :.∠AFB=∠FAC+∠FCA=2∠ACB ∴②正确 :CD⊥AE,EF⊥AC xCC-FCF-CD ∴，③错误 AF平分∠BAC ∴.∠BAF=∠CAF=∠ACB ∠BAF=3×90°=30 ..AF =2BF .CF=AF ∴.CF=2BF .④正确. 综上，错误的结论只有1个. 6.C 对于①，由菱形的性质可得∠BAD=120°，则∠BAE=30°，由折叠的性质可得 ∠ABP=∠ABC=60°，进而得到∠E=30°=∠BAE,因此B'A=B'E,故①正确；对 于②，容易判断当点B'落在AD上时，四边形ABPB'与菱形ABCD重合，故②正确：对于 ③，由∠ABE=120°可知，AE≥AB'=2,仅当点B'、D、E三点重合时取等号，因此 的最小值为2，放③正确：对于④，设BB与1P的交点为”，由P18可得 AE 5m=4州时<Ap.3,数③错误 解：对于①：，AB⊥AB, ∠BAB'=90°， ,四边形ABCD是菱形， .∠BAD=180°-∠ABC=120° .∠BAE=∠BAE-∠BAB'=30°， 由折叠的性质可得，∠ABP=∠ABC=60°， .∠E=∠ABE-∠BAE=30°=∠BAE, .BA=BE,故①正确： 对于②：由折叠的性质可得，AB=AB'=2, :四边形ABCD是菱形， .AB=AD=2, .AB'=AD=2 ∴.当点B落在AD上时，点B与点D重合， 又：菱形ABCD关于直线AC对称， ∴此时点P与点C重合， .四边形ABPB即菱形ABCD,故②正确： 对于③：由①可知，∠ABP=60°， .∠AB1E=180°-∠ABP=120°为钝角， .AE≥AB'=2,仅当点B、D、E三点重合时取等号， .AE的最小值为2，故③正确： 对于④：如图，设BB与AP的交点为H, D E H B D 由折叠的性质可得，AP⊥BB, 故④错误； 综上，正确的结论有3个. 7.C EAC≌△FDC(SAS 根据菱形的性质，可证 ,得到CE=CF,∠ACE=∠DCF,再证明 ∠ECF=∠ACD,可判断O:根据CF=EF,那么当CF⊥AD时，CF最小，此时EF有最 小值，通过勾股定理，可算得CF的长度：由菱形的对称性可得，整个运动过程中点G的 运动是一个往返过程，点G先从点A运动到最远（离点A)为止，再从最远位置运动回点 A,且点G运动到最远位置时，此时点E刚好是AB的中点，点F为AD的中点，接着证 明此时AGLEF 利用勾股定理求得1G:根据 S.4g=S边形ecrS.cF可得 S=Sm-Sc,根据 S,40为定值，可知当 世面积取得最小值时 S。AEF最大，根 .cw-Cp 据 4 ,可得CF最小时Scr有最小值，从而算得答案. 解：，四边形ABCD是菱形，AC=2,∠ABC=60°， .AB=BC=AD=CD,∠ADC=60°， .△ABC、△ACD是等边三角形， .AB=BC=AC=CD=AD=2,∠BAC=∠ACB=∠ACD=∠ADC=60°， 由题意可知，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动， .BE=AF, .AE =DF, 又∠EAC=∠FDC,AC=DC, 、△EAC≌△FDC(SAS) ∴.CE=CF,∠ACE=∠DCF, ∴.∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠DCF+∠ACF=∠ACD=6O°， :.ACEF为等边三角形，故①正确； ..CF=EF, 当CF⊥AD时，CF最小，此时EF有最小值， ,AC=CD,CF⊥AD, :AF-DF=14D=2. CF=VAC2-AF2-2= :EF的最小值为3，故②正确： 由菱形的对称性可得，整个运动过程中点G的运动是一个往返过程，点G先从点A运动到 最远（离点A)为止，再从最远位置运动回点A,且点G运动到最远位置时，此时点E刚 好是AB的中点，点F为AD的中点， 如图所示： 分 A D G 1 AE-AF-74B-1. :∠BAC=∠DAC=60°， AG⊥EF, .∠AEG=30°. 4c6 1 “点G所走过的路径长为2×2=1，故③错误： .SAEr=S边形AECr-S,cEr .S.AEF=S.ACE+S.ACF-S.CEF=S.CDF+S.ACF-S.CEF S.AEF=S.ACD-S.CEF :当CFLAD时，CF=5 5m=05.25-5 22 :5m=5-S.ce, S6c面积取得最小值时 .当 SAEF最大， 过点E作EH⊥CF交CF于点H, F A D H :aCEF为等边三角形，∠ECF=60°，EH⊥CF, ·∠HBc=30,CH=FH=)CF, 1 1 CH=。CE EH-CE-CHF-cH-5cP 2 .crx5cF-5c 2 2 4 .C 5 的最小值为 S△cr最小值为4 33V5 4, .Sr的最大值为】 5-3w§5 44，故④正确： 综上，①②④正确。 8.B 本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接 CP,等积法判断①和②，四边形的内角和为360度，结合菱形的对角相等，判断③，连接 AC,过点A作AG⊥BC,根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接EH, 过点E作EH⊥PF，利用含30度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可. 解：菱形ABCD, .AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, 连接CP, D P B E 当P为BD中点时，则： SBCP =SDCP :PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F, CPECD.PF .BC=CD .PE=PF,故①正确： S.wco-S.wcr+5.mcr-BC.PE+CD.PF=BC(PE+PF). 2 2 S菱形ACn=BC·hS菱形ABCD=2S,BCD :2x BC(PE+PF)=BC.h 2 .PE+PF=h;故②正确： PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F, .∠PEC=90°，∠PFC=90°. ∴.∠EPF+∠C=360°-∠PEC-∠PFC=180°， .∠A=∠C, .∠EPF+∠A=180°；故③正确： 连接AC,过点A作AG⊥BC,则BD垂直平分AC, A D B G E .PA=PC, .PC+PE=PA+PE≥AE, 当A,P,E三点共线时，PC+PE的值最小， .PE⊥BC, .当点E与点G重合时，PC+PE的值最小为AG的长， :AB=2,∠EPF=60°，且∠EPF+∠BAD=180°， .∠BAD=120°，AB=BC=2, .∠BAC=60°， :.△ABC为等边三角形， ..BG=CG=1, AG=AB2-BG=3 3 :PC+PE的最小值为 故④错误； 连接EH,过点E作EH⊥PF, B E .∠EPF=60°， :PH=PE 2 、EH=PE2-PH- 2 PE .PE+PF=h=2, .PF=2-PE. 设PE=x,则：PF=2-x,Hs3 2 4 4 (-0≥0 ：4(x-1s0 S.ru=-3 (-1)+3s 4 4; 5 .S△Psr的最大值为4；故⑤错误； 故选B. 9 v5 据菱形的性质得出OA、OB的长及AC⊥BD,利用勾股定理求出AB的长即可. 解：：四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,AC=2cm,BD=4cm, A0A=34C=1,0B=8D-2,AC1BD 在Rt10B中，由勾股定理得ByO+0B=VP+2=V5cm, 这个菱形的边长是V5cm 45 10 30 或(-4,0) 连接AC交OB于点E由题意易得G=CE行AC,BE0EpBB=0:年 1C10:划有∠B0=∠40B=30,然后可得4-号4B=2.BE=N4B-AE-25. 进而可分当AB'=OB'时，当AO=OB时求解即可. 解：连接AC交OB于点E,如图所示： :四边形OABC是菱形，且边长为4， 4E=CE-4C服=0E-0,4BA044AC⊥B0: 2 ∠0AB=120°， .∠ABO=∠AOB=30°， :A=4B=2,BE=NB-AE-25, :B0=2BE=4V5 由题意可分：当AB'=OB时，则有∠BAO=∠AOB=30°， ∠BAB=LOAB-∠B'A0=90°， .BB'=2AB'=2OB、 0B=0B=45 3 3, 当40=OB=4时，此时 '(-4,0) .0 综上所述：当△OAB恰为等腰三角形时，则点B的坐标为3或(-4,0) 11.12V3 连接AP,AC,AC交BD于点O,证明△ABD,△BCD均为等边三角形，等积法得到 PE+PF=OA 进而得到当 即点与点O重合时，PE+PF+P CP⊥BD,P AC 之和最小为 的长，即可 解：连接AP,AC,AC交BD于点O, F B 在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=12, .AB=AD=BC=CD,∠BCD=∠BAD=60°，AC⊥BD,AC=2OA, △ABD,△BCD均为等边三角形， .AB=BD=AD=12, ÷08-6,0A=Ng-08-65 :4C=20A=125 :PE⊥AB.PF⊥AD,SBo=S,m+Sm 小号BD01=0-F+分4BpE, .PE+PF =OA. .PE+PF+PC=OA+PC, .当PC最小时，PE+PF+PC之和最小， ,点P为对角线BD上的任一点， :当CP⊥BD,即点P与点O重合时，PE+PF+PC之和最小，为AC的长， ,125 :PE+PF+PC之和的最小值为 4V39 12. 213 5 过点N作CD的垂线，利用菱形性质、含30°直角三角形性质求出DN长；根据翻折性质得 对应边、对应角相等，作辅助线构造直角三角形求出线段长，借助勾股定理列方程求出线 段长度，最后利用等面积法求出点M到DN的距离。 解：过点N作H⊥CD于点H. -- 四边形 是菱形， M D F ABCD ∠A=60°AB=8 ∴CD=BC=AB=8,∠C=∠A=60° :NH⊥CD, ∴.∠NHC=90°，∠CNH=30° CN=2, .CH-CN-1 :DH=CD-CH=7. 在Rt△NCH中，由勾股定理得，NH=CW-CF=V2-F=5 在Rt△NDH中，由勾股定理得，DN=VDH+NF=V72+W)=23 由翻折性质可知，四边形EFNM≌四边形ABNM, .EF=AB=8,∠E=∠A=60°， FN=BN=BC-CN=6.∠EFN=∠ABC=120° 点D在EF上， .∠DFN=120° 过点N作NK⊥EF,交EF的延长线于点K, .∠NFK=180°-120°=60° FK=IFN=3 2 在R△FK中，由勾股定理得， NK=FN2-FK2=62-32=33 在RtNKD:中，由勾股定理得，DK=VDN-K2=V2)-(B3)=5 .DF=DK-FK=2.ED=EF-DF=6 设AM=x,则EM=x,MD=AD-AM=8-x. 过点M作MP⊥ED交于点P, :∠E=60°，∠MPE=90°， ∴EP= 2 在R△Ept,内的股定理得，P=VEM-P-P-传-9： 1 ∴.PD=ED-EP=6-。x 2· 在RtAMPD中，由勾股定理得，MD=MP2+PD2, 即8-= 14 解得x= 5· MD=8-1426 55· 过点B作BO⊥AD于点O, ∠A=60°∠AQB=90° .∠ABQ=30° 0-号0- 由勾股定理得， B0=VAB2-A02=V82-4=45 ADI BC. ·点到4D的距离等于菱形的高 3 设点M到DN的距离为h, S.Mw -MD.BQ=1DN.h 2 2 26x4W5=x23-h. 126 2 2 解得h=4v39 5· 13.(1)见详解 55 (1)根据DE是AB边上的高，得出∠DEB=90°，则∠BDE+∠DBE=90°.结合 ∠OAB=∠BDE,得出LOAB+∠DBE=90°.即可得∠AOB=90°，即AC⊥BD.结合四边 形ABCD是平行四边形，即可证明四边形ABCD是菱形. (2)根据四边形ABCD是菱形，得出AB=AD=4,结合∠BAD=60°，得出△ABD是等边 三角形，则D=4B=4E=BE=4B=2,由勾股定理得DE-25,再根据四边形 2 ABCD的面积=AB×DE求解即可. (1)证明：，DE是AB边上的高， ∠DEB=90°， .∠BDE+∠DBE=90°. ,∠OAB=∠BDE, ∴.∠OAB+∠DBE=90° 在AOB中， ∠40B=180-(<01B+∠DBE)=90°，即4C1BD 又，四边形ABCD是平行四边形， ,四边形ABCD是菱形 (2)解：：四边形ABCD是菱形， .AB=AD=4, 又∠BAD=60°， ,△ABD是等边三角形， 2AB=2 AD=AB=4.AE=BE= 在Ra1DE中，由勾股定理得：DE=VAD2-AE=军-2-25 四边形 ABCD 的面积=AB×DE=2V3×4=8V5 14.(1)见解析 R 35 (3)存在，4 (1)先证明△ABC是等边三角形，可得BC=AC,∠BAC=60°，进而求出∠CAD=60°， 结合BE=AF,利用SAS即可证明结论： (2)白（知△BCEVaA1CT,可得9.a=S. ,推 S边c=5,,过点4作 AG⊥BC于点G,根据△ABC是等边三角形，求出AG,即可解答； S东明eCg是边三形，过克F作LCE于点，衣m求潮 2 -CE2 4 ,当CE⊥BC时，CE有最小值，此时△CEF的面积最小，同理 CE=3 (2)求出此时 即可解答. (1)证明：在菱形ABCD中，AB=BC,AD/BC, ∠B=60°， .△ABC是等边三角形， BC=AC,∠BAC=60°， ,∠B=60°，AD/BC, .∠BAD=180°-∠B=120°， .∠CAD=60°， ∠CAD=∠B=60°， ..BE =AF, :△BCE≌*CF(SAS) (2)解：由(1)知△BCE≌△ACF S.BCE=S.ACF S四边形AECr=SACr+S,ACE=SBCE+S,ACE=SABc 过点A作AG⊥BC于点G, 由(I)知△ABC是等边三角形， AB=2, BC=2, :.BG-IBC-1, 2 AG=AB2-BG2= :.S.mwe-1BC-AG=x2x= 2 ∴.四边形 AECF 的面积为V5, (3)解：存在， 由(1)知△ABC是等边三角形，△BCE≌△ACF, ∴.∠ACB=60°，∠ACF=∠BCE,CE=CF, :.∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=6O° .△CEF是等边三角形， .EF=CE, 过点F作FH⊥CE于点H, A EH-CE 2 -CEFH-5CE 4 当CE⊥BC时，CE有最小值，此时△CEF的面积最小， 同理(2)得此时CE=V5 5ce 4 4 15.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， :ABIICD,ADII BC,AB=CD,AD=BC, DA=AE,CB=BF, .DE =2AD,CF=2BC, .DE=CF, 又：DE∥CF, ∴四边形EFCD是平行四边形， AB=2AD,AB=CD. :CD=2AD=DE ∴.四边形EFCD是菱形： (2)12 (I)先证明四边形EFCD是平行四边形，再证出DE=DC即可求证： (2)过F作FM⊥DC于点M,根据平行四边形和菱形的性质得到△FGC为等腰三角形， 由三线合一的性质得到CM=GM=)CG,再根据面积求出菱形的高FM=8,最后根据 勾股定理求出CM的长即可. (1)略 (2)过F作FM⊥DC于点M, B :AD=5,DA=AE,四边形EFCD是菱形： ..EF=CD=DE=10, AB II CD FH BF ·GHBC .CB=BF, .FH=GH, ..GF=2GH, .EF =2GH ∴EF=GF, △FGC为等腰三角形， .FM⊥CG. 1 CM-GM-CG :四边形ABCD的面积为40， ∴.由题可知四边形EFCD的面积为80， ∴菱形的高为FM=80-8 10 在R△CFM中CM=CF2-FMF=V102-8=6 CG=2CM=2×6=12. 16.(1)见解析： (2)四边形BDE 3 的面积为 (1)根据菱形的判定方法可得结论： (2)先求出菱形BDEF的两条对角线的长，即可求出面积 (1)证明：小颖同学的作法： ,四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°，即BE⊥DF, 又：AE=AB,AF=AD, ∴.四边形BDEF是菱形： 小亮同学的作法： DEIIAC,BF∥AC, .DE∥BF, DE=AC,BF=AC. .DE=BF, ,四边形BDEF是平行四边形， :四边形ABCD是矩形， :BD=AC, .DE BD, 四边形BDEF是菱形： (2)解：：四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°，AE=AB=CD=2,AD=BC, .BE=AE+AB=2+2=4, 在Rt△BCD中，∠DBC=30°， .BD=2CD=2×2=4, BC=BD-CD=22 4F-AD-BC=23 :DF=AD+AF=23+2V5=45 四边形BDEr的面积=2BEDF-x4x45=8N5 2 17.(1)证明：OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD为平行四边形， .ABII CD ∴.∠FDO=∠EBO. ∠FDO=∠EBO OD=OB 在 和 中， △FDO△EBO ∠DOF=∠BOE △FDO≌△EBO(ASA) .DF=BE, 又DF∥BE, ∴.四边形DEBF为平行四边形， 又：EF⊥BD, .四边形DEBF为菱形； ②25 (1)先根据对角线平行且相等，证明四边形ABCD为平行四边形，再证 △FDO≌aEBO(ASA),得出DF=BE,证明四边形DEBF为平行四边形，结合EFLBD, 可证四边形DEBF是菱形： (2)先证∠ADB=90°，用勾股定理解Rt△ADB求出AD和AB,再利用等面积法求解. (1)略 (2)解：AD∥EF,EF⊥BD, ∴.∠ADB=90° 在RtAADB中，AD+BD2=AB2, AD+AB=12 BD=4V3 :AD+(45j=12-4AD3. 解得AD=4, AB=12-AD=12-4=8. AB与CD之间的距离为d, Sm408D-Bd, d=AD:BD4×4V =25 AB 8 18.(1)45° (2)∠FCG=3 0-90 335 (I)过点F作FH⊥BC交BC的延长线于H,证明△ABE≌△BHF即可得出结论. (2)在AB上截取AN,使AW=EC,连接NE,证明△ANE≌aECF,通过边和角的关系 即可证明. (3)过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P,在AB上截取AN,使AN=EC,连接 ME,作BM⊥NE于点M由(2)知，∠GCF=3a =a-90°=90°，通过证明AAPG2△FCG, 进一步可得答案 (1)解：过点F作FH⊥BC交BC的延长线于H, D F E H ,∠AEF=∠ABC=a=90°， ∴.∠BAE+∠AEB=90°.∠FEH+∠AEB=90° ∠BAE=∠FEH, FH⊥BC, .∠EHF=90°， ∴.∠ABE=∠EHF, 在△EBA和△FHE中， ∠ABE=∠EHF ∠BAE=∠FEH AE=EF .△ABE≌△BHF(AAS) .AB=EH,BE=FH, ·菱形ABCD, :AB=BC, ∴BC=EH, :BE=CH =FH, .∠GCF=∠FCH=45° (2)解：在AB上截取AN,使AN=EC,连接NE, D G B :∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=18O° ∠ABC=∠AEF」 ∴.∠BAE=∠FEC .AE EF, .△ANE≌△ECF(SAS) .∠ANE=∠ECF. ,菱形ABCD,∠EBN=M, ∴.AB=BC,AB∥CD, ∴.BN=BE,∠BCD=180°-∠ABC=180°-a, ∠BNE=,(180°-∠ABE)=90°- 2 :∠ANE=180°-∠BNE=90+2a, .∠GCF=∠ECF-∠BCD=∠ANE-∠BCD (3)解：如图，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P,在AB上截取AN,使 AN=EC,连接NE,作BM⊥NE于点M. D G B E 由(2)得：△ANE≌△ECF(SAS). .AN=CE :菱形ABCD,AB=4,点E为边BC的中点， .AB=BC=CD=AD=4,BE=CE=AN=2=BN, .NM=EM,∠BEN=∠BNE, 同理：∠ADC=∠ABC=∠AEF=a=120°， ∴.∠ADP=60°.∠BEN=∠BNE=30°， ·∠PAD=3O°，BM=)BE=L 2 .PD-4D-2,AP=AD-PD-2.NM-EM=2 :NE-CF-2=AP 结合(2)可得：∠GCF=弓a-90=90°=∠APG :∠AGP=∠FGC, ·.△APG≌aFCG(AAS) PG-CG-(CD+PD)=3, w-.cG=x3x25=35 192.（5, 5<1s5 4,t的取值范围是2 (1)根据矩形及菱形的性质可进行求解； (2)由题意易得EF=E'F'=V3,EH=EH'=1,然后可得∠AB0=60°，则有 M=3 2, 进而根据割补法可进行求解面积S. 1解：两边形GH是矩形，且0引r(6》H引 EF-GH=.EH=FG=1 连接AC,BD,交于一点M,如图所示： 0 ,四边形 是菱形，且 图① ABCD A(V3,0),B(0,1),D(2V3,1) :4B-AD-3-0)+(0-1)=2,4CLBD.CM=AM-OB=1BM=MD-04-, .AC=2, c5,2 西解：吉.专时.引 矩形EFGH中，EFx轴EHLx轴，EF=V5,EH= 矩彩EFGH中，ET轴，EW上轴，EF'=5,ET=1 由点45.0，点B0,1,得0A=5,oB=1. 在R△AB0中，AB=N5+1=2=20B,故∠0HB=30°，∠AB0=60. 在Rt△BME中，∠BME=∠OAB=30°，故 B=1-1=1 22,BM=2BE=1, EM=3 2. 5we8.EM 3 8.同理，得 △BNH 8 EE'=1,得 矩形EHH=EE'·EH=t 又S=Swm-SaE-Saw :f⑤ 4, 当EE=EM= 2时，则矩形E'FGH'和菱形ABCD重叠部分为△BE'H', 5 <t≤V5 ∴.t的取值范围是2 3 20.(1)2 3- V3×32m-2 (3)22m-3 (1)由第一个菱形OBCD的边长为2，∠BOD=60°，得出△BOA为含30度直角三角形， 由此得出4B8-08=9C=001,即可得到答案 (2)同理（少可得4C=4C,4C-4C=4C,由此发现提律： AC,=(AC=(分)BC即可解题： 3)根据(2)的规律求出第n个菱形的边CnBn的高A2A,=3 C=53 2 「22"-2即 可求解。 (1)解：∠BOD=60°， ∴.∠BOA=30° ~菱形OBCD的边长为2， .BC∥OD,OB=OD=BC=2, ：∠B40=90,4B=08=8c-00=1 :AC=AB+BC-OD+0D-30D 2 同理可得48=)4C=3 21 2 1 ..AC=AB+BC= 、一— 故答案为2 (2)由(1)可知4G=4B+B,G=,4C+4C=34C 2 4C=4品+4G=4G+4G-4G=4C,即：4G=C=8c 3 由此规律可知：A,.C,=(分)AC=()BC, 3 3 故答案为： 2)， 2-2. 3 (3)由(2)可知，第n个菱形的菱长为 4C的商44= =22， 第n个菱形的面积为 44,C=5x3”x35×3 22-2 22 22m-3 √5x32m-2 故答案为22m3 91√427 21.(1)4V3或4v7:(2)25或4W5(3)①=，②BE的长为2或2. (I)分两种情况：当点P与点C重合时：当点P在BC的延长线上时：分别根据菱形的性 质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，进行计算即可得出答案； (2)分两种情况：当点P在BC上时：当点P在BC的延长线上时，分别利用矩形的性质、 勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分别计算即可； (3)①延长BE交AD于F点，连接PF,证明四边形BPDF为平行四边形得到DF=BP, 从而得到AP=CP,S.Bc=S.cn:再由Sn+S.m-2Srr, +S=SP9,得到S=S,即可得解：②分两种情况：当P点在 段BC上时，延长BE交AD于G点，过G点作GH⊥BA交，BA的延长于H点，过D点作 DF⊥BC于F点：当P点射线CP上时，延长BE交AD至G点，使EG=BE,过G点作 GH⊥BC交BC于H点，过D点作DF⊥BC于F点，连接PG,分别进行求解即可. 解：(I)四边形ABCD是菱形， .AD=CD=AB=BC=8. :PD=AD,P点为射线BC上一动点， ∴如图，当点P与点C重合时，PD=AD,连接ACBD,交于点E, D C(P) 则BD⊥AC, ∠ABC=60°， △ABC是等边三角形， :.AC=AB=8, :BD⊥AC, AE=号4AC=4, 2 :BE=AB2-AE2=43 如图，当点P在BC的延长线上时， D 四边形 是菱形， D ABCD .AD=CD=AB=BC=8 ABI CD .∠DCP=∠ABC=60° AD=PD=8. :.CD=PD=8, △PCD是等边三角形， ..CP=DP=AD=AC=8. .四边形ACPD是菱形， CD⊥AP,∠CAP=60°， :.CE=DE=,CD=4,∠DAP=∠CAP=30? .AE=EP=V82-42=4V5 ∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°， :BE=AB2+AE2=47 综上所述， BE=4V34V万 或 故答案为： 4v34万 或 (2)如图，当点P在BC上时， E B P 四边形ABCD是矩形， ,AB=CD=8,AB=BC=10,∠ABC=∠C=90°， :PD=AD=10, DE⊥AP, .AE=PE, 在RtACDP中，CP=NPD-CD=6 .BC=BC-CP=4. ∴AP=VAB2+BP2=4V5 .AE=PE, 1 BE=54P=2W5 如图，当点P在BC延长线上时， 同理可得：CP=6」 ∴.BP=BC+CP=10+6=16, .AP=AB2+BP2=8V5 .AE=PE, ÷BE=AP=45】 2 综上所述， BE=2V545 或 故答案为： 25或45 (3)①延长BE交AD于F点，连接PF, F D 图3 :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC, :BE∥DP, ∴.四边形BPDF为平行四边形， :.DF=BP, :AD-DF BC-BP, :AF=CP, 1 ∴S4e=Sam'Sa+S.E=2S.mr, 1 SABE +SPBE =SBPF= 2 S.ABE=SFDE S.ADE=S.AFE+SFDE=SAFE+SABE=S.4BF=SPCD 故答案为：=： ②分两种情况分析： 当P点在线段BC上时，延长BE交AD于G点，过G点作GH⊥BA交，BA的延长于H点， 过D点作DF⊥BC于F点， H 图4 :AD=PD,DE⊥AP, :AE=EP, 四边形ABCD为平行四边形， AB∥CD,ADBC, ∴.∠DCF=∠ABC=60°，∠GAE=∠BPE, ,∴.△AEG≌△PEB(ASA) ..AG=BP, 在RCDF中，CF=CD=3,DF=35, 在RtAPDF中，PF=VPD2-DF2=V37≈6 :PC=PF-CF=3. ∴.PB=BC-CP=5, .AG=5」 在RtAGH中， 2 2， 在Rt△BGH中， BG=BH2+GH2=91 BE= 2 当P点射线CP上时，延长BE至G点，使EG=BE,过G点作GH⊥BC交BC于H点，过 D点作DF⊥BC于F点，连接PG, D G E B P H 图5 AD=PD,DE⊥AP .AE=EP, :∠AEB=∠PEG」 ∴.△ABE≌△PGE(SAS) PG=AB,∠ABE=∠G, PG∥AB 在R△PGH中，PH=3,GH=3W5 在RtCDF中，CF=3,DF=3V5 中 在RtaPDF中，PF=VPD-DF=37≈6，BH=BC+CF+PF+PH=20 在Rt△BGH中，BG=VBH+GH=V427 BE=V427 2: √91√427 综上可知：BE的长为2或2.