暑假作业06 菱形的性质与判定知识点（8题型70题）（巩固培优）八年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，以8题型70题构建"基础巩固-能力提升-综合拓展"三阶训练，强化从概念理解到模型应用的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|菱形定义、性质（边/对角线/对称性）、判定定理、基础计算（周长/面积）|紧扣教材核心，如题型1-3通过角度计算强化对角线平分对角性质，突出概念辨析| |能力提升层|易错点规避（判定前提/性质混淆）、四大培优模型（折叠/最值/动点）|针对折叠模型设题，如题型6结合勾股定理列方程，培养方程思想与空间观念| |综合拓展层|菱形与勾股定理/全等/坐标系综合、多结论判断|跨知识整合，如题型8坐标系中菱形存在性问题，提升综合推理与数学表达能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 菱形的性质与判定8题型70题 【知识点1 菱形的定义】 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 核心前提：菱形首先是平行四边形，附加“一组邻边相等”条件，定义可直接用于菱形判定，是最基础的判定依据。 【知识点2 菱形的核心性质（通用性质+专属性质）】 菱形具备平行四边形全部性质（对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称），同时拥有专属特殊性质： 1.边的专属性质 菱形的四条边长度全部相等，是菱形最核心、最直观的性质。 2.对角线专属性质 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 3.对称性专属性质 菱形既是中心对称图形（对称中心：对角线交点），又是轴对称图形（有2条对称轴，为两条对角线所在直线）。 【知识点3 菱形核心面积公式（课内必考）】 1.通用面积公式 面积 = 底 × 高（适用于所有平行四边形，菱形通用）。 2.菱形专属面积公式（高频考点） 面积 =对角线乘积，仅适用于菱形、正方形、对角线垂直的四边形。 【知识点4 菱形三大判定定理（必考）】 1.定义判定（基础） 一组邻边相等的平行四边形是菱形。（先证平行四边形，再证邻边相等） 2.边判定（四边形直接判定） 四条边都相等的四边形是菱形。（无需先证平行四边形，直接判定） 3.对角线判定（大题高频） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 重点易错前提：必须是平行四边形+对角线垂直，普通四边形对角线垂直不能判定为菱形。 【知识点5 基础计算与基础题型】 1.周长计算：菱形周长 =4×边长（四边相等，计算极简）； 2.角度计算：利用对角线平分对角、邻角互补求角度； 3.线段计算：结合对角线垂直平分，构造直角三角形，用勾股定理求边长、对角线长； 4.面积计算：灵活选用底高公式、对角线乘积公式求解面积。 【知识点6 基础题型高频易错点（必规避）】 判定定理误用：直接用“对角线垂直的四边形是菱形”判定，缺少平行四边形前提，判定无效； 特殊图形性质混淆：混淆矩形、菱形性质，矩形对角线相等，菱形对角线垂直，切勿记混； 面积公式乱用：对角线乘积一半的公式，错误用于普通平行四边形、矩形； 对角线性质遗漏：只记得菱形对角线垂直，遗忘“对角线平分一组对角”的核心性质； 证明逻辑缺失：证明菱形时，跳步证明，未满足判定定理完整条件导致扣分。 【知识点7 菱形四大经典培优模型】 1.菱形四大经典培优模型 菱形对角线直角三角形模型（核心基础模型） 菱形对角线互相垂直平分，将菱形分割为四个全等的直角三角形。已知对角线长度可求边长，已知边长和一条对角线，可求另一条对角线，全程结合勾股定理运算，是所有菱形培优题的基础。 2.菱形折叠模型（期末压轴高频） 题型特征：菱形沿边、对角线折叠，求线段长、折痕长度、重叠面积、角度大小。 核心性质：折叠前后全等，结合菱形四边相等、对角线垂直的特性，构造直角三角形。 解题方法：设未知数+勾股定理列方程，破解折叠类复杂计算。 3.菱形最值模型（将军饮马） 题型特征：菱形边上动点，求线段和最小值、周长最小值。 核心原理：利用菱形对称性（对角线为对称轴），结合将军饮马模型，转化线段路径，用勾股定理求最短距离，是选择填空压轴高频考点。 4.菱形动点存在性模型 题型特征：平面、坐标系内动点运动，判定四边形何时为菱形。 核心思路：依托“平行四边形+邻边相等/对角线垂直”判定菱形，分类讨论所有存在情况，规避漏解。 【知识点8 综合拔高核心题型】 1.菱形与勾股定理综合计算 利用对角线分割的直角三角形、折叠构造直角三角形，结合勾股定理求解边长、对角线、折痕、阴影面积等复杂计算问题。 2.菱形与全等、等腰三角形综合证明 结合菱形四边相等、对角线平分对角、对角线垂直的性质，搭配全等三角形、等腰三角形判定，完成复杂几何证明与边角转化。 3.多结论正误判断（选择压轴） 综合菱形角度、线段、面积、折叠、动点性质，判断多项结论对错，综合考查几何推理与模型识别能力。 4.坐标系中的菱形求解 平面直角坐标系中，结合动点坐标、平移运动，求菱形顶点坐标、边长、周长、面积及运动参数。 【知识点9 培优核心解题思想与方法】 方程思想：折叠问题、线段求值、对角线计算，设未知线段为x，结合勾股定理列方程求解； 转化思想：将菱形问题全部转化为直角三角形、等腰三角形、全等三角形基础模型求解； 对称最值思想：利用菱形轴对称性，解决线段和最短、周长最小的最值问题； 分类讨论思想：动点构造菱形、坐标菱形存在性问题，完整分情况讨论，杜绝漏解； 模型思想：固化对角线直角模型、折叠模型、将军饮马最值模型，快速秒杀同类题型。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，以的顶点为圆心，以适当长度为半径作圆弧交的两边于，两点，再分别以点和点为圆心，以长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，连接，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 4．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，则这个菱形的边长是______． 5．如图，菱形在平面直角坐标系中，，若，则菱形的面积为______． 6．某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了约______．（结果精确到，） 【题型3 利用菱形的性质求面积】 7．如图，在菱形中，，． （1）菱形的面积为______． （2）线段（点在点的左侧）在直线上移动，且，当时，的长为______． 8．在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求菱形的面积． 9．如图所示，的两条对角线，相交于点，是边上的高，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型4 利用菱形的性质证明】 10．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 11．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 12．如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 【题型5 证明四边形是菱形】 13．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，则以下结论不正确的是（   ） A．， B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D． 14．如图，在平行四边形中，，为对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于，两点，垂足为，连接，（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据（1）所作图形，证明四边形是菱形． 15．如图，平行四边形满足，延长至点E使得，延长至点F使得，连接．点G为射线上异于点C的一点，连接交于点H． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为40，，则_____． 【题型6 根据菱形的性质与判定求角度】 16．小馨同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 17．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图．例如，作一个给定角的平分线．作法： （1）以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）分别以点，为圆心，（或）为半径作弧，两弧相交于点（非点），连接，，则四边形为菱形； （3）作射线，则射线就是的平分线． 根据以上作法步骤完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）和证明： 证明：由尺规作图可得 ． 四边形为菱形． 由 可得， 射线是的平分线． 【题型7 根据菱形的性质与判定求线段长】 19．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 20．如图，在矩形中，，，是边上的一点，延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当为何值时，四边形是菱形？请说明理由． 21．如图，在中，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． (1) ， （用t表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【题型8 根据菱形的性质与判定求面积】 22．如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 23．矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 24．【综合与实践：折纸中的数学】我国传统建筑中，设计精巧、样式繁多的几何图案随处可见，它们由笔直的短木条沿横、竖、斜方向交错构成，给人以明朗、均匀、简洁的美感．漫步于我们的校园，盈乐园中的小亭便体现了这一艺术特点．小亭的布局以“因地制宜”为原则，每换一个角度，眼前都是一幅不同的画面．如图②，是从底部仰视亭子内部顶部设计时看到的图案——木条纵横交错，形成一个个规整的四边形，简洁而富有韵律．      有趣的是，这样的图案不仅存在于传统建筑中，我们还可以通过折纸的方式将其“复现”．下面，让我们动手操作，在折纸中探寻数学的奥秘，感受传统文化与数学的交融之美．          【素材】如图③，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图④所示得到四边形． 【实践探索1】 四边形的形状为 ；面积为 ； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图⑤所示，得到四边形． 【实践探索2】 ①判断四边形的形状，并加以证明． ②直接写出四边形的面积 ． 由折叠可得：． ∵四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 1．菱形的一条对角线是，周长是，则菱形面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为中点，连接，若，，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，为的中点，，，则下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 4．如图，四边形中，E，F，G，H分别是边的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，点是对角线的中点，直线经过点，并且与交于点，与交于点，连接，，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则（     ） A．7 B．14 C．10 D．12 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   　 ） A．3 B．2 C． D． 8．如图，在矩形中，，连接，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交、于点、．结论中：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中错误的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 10．如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论： ①当时，． ②当点落在上时，四边形是菱形． ③在点运动的过程中，线段的最小值为． ④连接，则的面积等于 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 12．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 13．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，对角线在轴上，将菱形翻折，使点落在对角线上的点处（点与点不重合），折痕分别与，交于点，，连接，若恰为等腰三角形，则点的坐标为_______________． 15．如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 16．如图，在菱形中，，．点P为对角线上的任一点，作，．则之和的最小值为______． 17．如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 18．如图，在菱形中，，，点、分别在线段、上，将四边形沿着翻折到菱形所在平面得到四边形，刚好过点，交于点，连接．若，则______，点到的距离为______． 19．如图，在中，是的平分线，，交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求的长． 20．综合与实践 手工课上，同学们用平行四边形纸片进行创意剪纸创作，结合设计需求完成以下操作、证明与计算： (1)【动手操作】作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F，交于点．要求：请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)【推理证明】连接，，证明：四边形是菱形； (3)【实践应用】将剪出的菱形制作成书签，如果菱形的边长为，，求这个书签的面积（结果保留根号）． 21．如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 22．如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；作射线交于；过点作交于点，交于点；连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的面积． 23．如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，过点作，分别交、于点、，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)设，，，设与之间的距离为，求的值． 24．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ ∵即， 只需即可，由（1）知：，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； 25．【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 26．在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点、、，矩形的顶点、、． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为．如图②，当边与相交于点、边与相交于点，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴； 1．如图，在边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（　　） A．9 B． C．27 D． 2．如图，两个等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形为，求证：四边形是菱形．    下列说法正确的是（　　） A．证明1用特殊到一般法证明了该问题 B．证明2的证明过程是完整的，能够得出结论 C．证明2还需要证明三角形全等，该证明才完整 D．证明1只要测量够一百个四边形的边长进行验证，就能证明该问题 3．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到点，延长到点，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，___________①___________． ∵，∴___________②___________． ∴四边形是平行四边形． ∵，∴四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知，求作，作法： （1）以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点； （3）作射线，则为的平分线，可得．    根据以上作法，某同学有以下3种证明思路： ①可证明，得，可得； ②可证明四边形为菱形，，互相垂直平分，得，可得； ③可证明为等边三角形，，互相垂直平分，从而得，可得． 你认为该3种证明思路中，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点O，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（  ） ①始终为等边三角形；②线段长的最小值为；③点G所走过的路径长为；④面积的最大值． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（    ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 9．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 10．如图，菱形的边长为2，，则菱形的面积是；以对角线为边作第二个菱形，使，则菱形的面积是；以对角线为边作第三个菱形，使，则菱形的面积是；…．按此规律所作的第个菱形的面积是________． 11．如图所示，第一个菱形的边长为，，且点落在轴上，延长交轴于点，以为边作第二个菱形；延长交轴于点，以为边作第三个菱形按这样的规律进行下去，若点…都在一条直线上，则第个菱形的面积为_______． 12．将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中，菱形周长的最小值是___________，菱形周长的最大值是___________． 13．如图，在菱形中，两点分别从两点同时出发，以相同的速度分别向终点移动，连接，在移动的过程中，的最大值为______，最小值为______． 14．四边形纸片中，点E，F分别在边，上，将纸片沿直线折叠，点C恰好落在点A处，再将、分别沿折叠，点，D落在上的同一个点G处，请完成下列探究：的大小为______°；当四边形是菱形，点G为中点且时，四边形纸片的面积为______．    15．如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示． (1)指出图中点P坐标的实际意义； (2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (3)直接写出B，D之间距离的变化范围． 16．如图所示，第一个菱形的边长为2，，且点D落在y轴上，延长交x轴于A，以为边作第二个菱形；延长交x轴于点，以为边作第三个菱形…，按这样的规律进行下去，若点D、C、、…都在一条直线上． 【探究】 (1)______； (2)____________； (3)则第个菱形的面积为______． 17．[问题解决] （1）如图1．在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点处，折线AE交BC于点E，连接B'E．求证：四边形是菱形． [规律探索] （2）如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由． [拓展应用] （3）如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点处，点A落在纸片ABCD外部点处，与AD交于点M，且M＝M．已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长． 18．《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点P为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】如图1，点E，F分别为，的中点，若Q点与点A重合，点D的对应点为点M，当点M落在上时，展开纸片，连接交折线于点O，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】如图2，若点Q在上，点D的对应点为点M，点A的对应点为点N，若点M始终落在上，展开纸片，连接交折线于点O，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】如图3，若点Q在上，点D的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 19．探究1： （1）如下图，在菱形中，点为射线上一动点，于，连接．当时， _________；   探究2： （2）如下图，在矩形中，为射线上一点，于，连接．当时， _________；   拓展探究： （3）如下图，在中，，点为射线上一点，于，连接．(数据：)    ①若，则____；(填“＞”或“＝”或“＜”) ②若，求的长． 20．综合与实践： 【提出问题】在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，， ， ， 又、， ______＋______， 化简整理得_______； 【类比探究】 （2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 菱形的性质与判定8题型70题 【知识点1 菱形的定义】 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 核心前提：菱形首先是平行四边形，附加“一组邻边相等”条件，定义可直接用于菱形判定，是最基础的判定依据。 【知识点2 菱形的核心性质（通用性质+专属性质）】 菱形具备平行四边形全部性质（对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称），同时拥有专属特殊性质： 1.边的专属性质 菱形的四条边长度全部相等，是菱形最核心、最直观的性质。 2.对角线专属性质 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 3.对称性专属性质 菱形既是中心对称图形（对称中心：对角线交点），又是轴对称图形（有2条对称轴，为两条对角线所在直线）。 【知识点3 菱形核心面积公式（课内必考）】 1.通用面积公式 面积 = 底 × 高（适用于所有平行四边形，菱形通用）。 2.菱形专属面积公式（高频考点） 面积 =对角线乘积，仅适用于菱形、正方形、对角线垂直的四边形。 【知识点4 菱形三大判定定理（必考）】 1.定义判定（基础） 一组邻边相等的平行四边形是菱形。（先证平行四边形，再证邻边相等） 2.边判定（四边形直接判定） 四条边都相等的四边形是菱形。（无需先证平行四边形，直接判定） 3.对角线判定（大题高频） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 重点易错前提：必须是平行四边形+对角线垂直，普通四边形对角线垂直不能判定为菱形。 【知识点5 基础计算与基础题型】 1.周长计算：菱形周长 =4×边长（四边相等，计算极简）； 2.角度计算：利用对角线平分对角、邻角互补求角度； 3.线段计算：结合对角线垂直平分，构造直角三角形，用勾股定理求边长、对角线长； 4.面积计算：灵活选用底高公式、对角线乘积公式求解面积。 【知识点6 基础题型高频易错点（必规避）】 判定定理误用：直接用“对角线垂直的四边形是菱形”判定，缺少平行四边形前提，判定无效； 特殊图形性质混淆：混淆矩形、菱形性质，矩形对角线相等，菱形对角线垂直，切勿记混； 面积公式乱用：对角线乘积一半的公式，错误用于普通平行四边形、矩形； 对角线性质遗漏：只记得菱形对角线垂直，遗忘“对角线平分一组对角”的核心性质； 证明逻辑缺失：证明菱形时，跳步证明，未满足判定定理完整条件导致扣分。 【知识点7 菱形四大经典培优模型】 1.菱形四大经典培优模型 菱形对角线直角三角形模型（核心基础模型） 菱形对角线互相垂直平分，将菱形分割为四个全等的直角三角形。已知对角线长度可求边长，已知边长和一条对角线，可求另一条对角线，全程结合勾股定理运算，是所有菱形培优题的基础。 2.菱形折叠模型（期末压轴高频） 题型特征：菱形沿边、对角线折叠，求线段长、折痕长度、重叠面积、角度大小。 核心性质：折叠前后全等，结合菱形四边相等、对角线垂直的特性，构造直角三角形。 解题方法：设未知数+勾股定理列方程，破解折叠类复杂计算。 3.菱形最值模型（将军饮马） 题型特征：菱形边上动点，求线段和最小值、周长最小值。 核心原理：利用菱形对称性（对角线为对称轴），结合将军饮马模型，转化线段路径，用勾股定理求最短距离，是选择填空压轴高频考点。 4.菱形动点存在性模型 题型特征：平面、坐标系内动点运动，判定四边形何时为菱形。 核心思路：依托“平行四边形+邻边相等/对角线垂直”判定菱形，分类讨论所有存在情况，规避漏解。 【知识点8 综合拔高核心题型】 1.菱形与勾股定理综合计算 利用对角线分割的直角三角形、折叠构造直角三角形，结合勾股定理求解边长、对角线、折痕、阴影面积等复杂计算问题。 2.菱形与全等、等腰三角形综合证明 结合菱形四边相等、对角线平分对角、对角线垂直的性质，搭配全等三角形、等腰三角形判定，完成复杂几何证明与边角转化。 3.多结论正误判断（选择压轴） 综合菱形角度、线段、面积、折叠、动点性质，判断多项结论对错，综合考查几何推理与模型识别能力。 4.坐标系中的菱形求解 平面直角坐标系中，结合动点坐标、平移运动，求菱形顶点坐标、边长、周长、面积及运动参数。 【知识点9 培优核心解题思想与方法】 方程思想：折叠问题、线段求值、对角线计算，设未知线段为x，结合勾股定理列方程求解； 转化思想：将菱形问题全部转化为直角三角形、等腰三角形、全等三角形基础模型求解； 对称最值思想：利用菱形轴对称性，解决线段和最短、周长最小的最值问题； 分类讨论思想：动点构造菱形、坐标菱形存在性问题，完整分情况讨论，杜绝漏解； 模型思想：固化对角线直角模型、折叠模型、将军饮马最值模型，快速秒杀同类题型。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，以的顶点为圆心，以适当长度为半径作圆弧交的两边于，两点，再分别以点和点为圆心，以长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，连接，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图过程可知四边形是菱形，即；再利用两直线平行、同旁内角互补即可解答． 【详解】解：由作图过程可知：， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得、，可得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 4．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，则这个菱形的边长是______． 【答案】 【分析】据菱形的性质得出、的长及，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点，，， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴这个菱形的边长是． 5．如图，菱形在平面直角坐标系中，，若，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】根据菱形性质可得，分别求出，最后利用对角线求菱形的面积. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 6．某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了约______．（结果精确到，） 【答案】4.4 【分析】连接，相交于O，首先根据勾股定理及度角的性质求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，根据菱形的性质及等边三角形的判定和性质求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，相交于O， ， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴校门关闭时，伸缩门的宽度为． 如图所示，连接， ∵校门部分打开时，菱形内角的度数从缩小到， ∴是等边三角形， ∴， ∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为， ∴伸缩门的总长度缩小了． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 7．如图，在菱形中，，． （1）菱形的面积为______． （2）线段（点在点的左侧）在直线上移动，且，当时，的长为______． 【答案】 【分析】（1）结合菱形的性质和，，计算出两条对角线的长，由即可得出结果； （2）是直角三角形，设，当点在点的两侧或同侧时，由勾股定理分别列出方程，即可求解的值，． 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点， ∵是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵菱形的对角线相互垂直平分， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，与交于点， 由（1）可知，， ∵，， ∴是直角三角形， 设， 当点在点的左侧，点在点的右侧，则， ∵是直角三角形， ∴， 即， ， 解得， ∴， 当点、点同在点的左侧，则， 可得方程 解得（舍去）， ∴， 当点、点同在点的右侧，则， 可得方程 解得， （舍去）． 综上所述，． 8．在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，得到，则可证明，进而证明四边形是菱形； （2）求出的长，则可由勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 9．如图所示，的两条对角线，相交于点，是边上的高，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据是边上的高，得出，则．结合，得出．即可得，即．结合四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形． （2）根据四边形是菱形，得出，结合，得出是等边三角形，则，由勾股定理得​，再根据四边形的面积求解即可​． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，即． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：​， ∴四边形的面积​． 【题型4 利用菱形的性质证明】 10．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，，进而求出，结合，利用即可证明结论； （2）由（1）知，可得，推出，过点作于点，根据是等边三角形，求出，即可解答； （3）先证明是等边三角形，过点作于点，求出，求出，当时，有最小值，此时的面积最小，同理（2）求出此时即可解答． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， 过点作于点， 由（1）知是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：存在， 由（1）知是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值，此时的面积最小， 同理（2）得此时， ∴． 11．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． (2)4 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，即可证明四边形是矩形； （2）由矩形的性质可得，，，结合菱形的性质可得，，使用菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 12．如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】由菱形的性质可得，，结合可得，从而证明，则，因此． 【详解】略 【题型5 证明四边形是菱形】 13．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，则以下结论不正确的是（   ） A．， B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D． 【答案】D 【分析】利用矩形和菱形的判定、平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．平行四边形中，，，故该选项正确，不符合题意； B. 若，则平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； C. 当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D. 平行四边形中，但不一定成立，故该选项不正确，符合题意； 14．如图，在平行四边形中，，为对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于，两点，垂足为，连接，（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据（1）所作图形，证明四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）证明：平行四边形， ， ． 垂直平分， ，，． 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形． 15．如图，平行四边形满足，延长至点E使得，延长至点F使得，连接．点G为射线上异于点C的一点，连接交于点H． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为40，，则_____． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴ ， ∴四边形是菱形； (2)12 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证出即可求证； （2）过作于点，根据平行四边形和菱形的性质得到为等腰三角形，由三线合一的性质得到 ，再根据面积求出菱形的高，最后根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）过作于点， ∵，，四边形是菱形； ∴ ， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 为等腰三角形， ∵， ∴ ， ∵四边形的面积为40， ∴由题可知四边形的面积为80， ∴菱形的高为 ， 在中 ， ∴ ． 【题型6 根据菱形的性质与判定求角度】 16．小馨同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 18．利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图．例如，作一个给定角的平分线．作法： （1）以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）分别以点，为圆心，（或）为半径作弧，两弧相交于点（非点），连接，，则四边形为菱形； （3）作射线，则射线就是的平分线． 根据以上作法步骤完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）和证明： 证明：由尺规作图可得 ． 四边形为菱形． 由 可得， 射线是的平分线． 【答案】作图见解析， ，菱形的每一条对角线平分一组对角 【详解】解：如图即为所求； 证明：由尺规作图可得． 四边形为菱形． 由菱形的每一条对角线平分一组对角可得，射线是的平分线 【题型7 根据菱形的性质与判定求线段长】 19．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】C 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长为． 20．如图，在矩形中，，，是边上的一点，延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当为何值时，四边形是菱形？请说明理由． 【答案】(1)证明：矩形中，是边上的一点，延长至点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． (2)解：当时，四边形是菱形， 理由如下：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 解得， 当时，四边形是菱形． 【分析】（1）根据矩形性质推出，进而代换出，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据菱形性质推出，再结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，在中，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． (1) ， （用t表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，当秒时，四边形为菱形，理由见详解 (3)当秒时，是直角三角形（）；当秒时，是直角三角形（）；理由见详解 【分析】（1）根据题意，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，易得，，，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可获得答案； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得t的值 （3）分，，三种情况，建立方程并求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且根据题意，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动， ∴，，， ∵，， ∴在中，； （2）解：∵，，即， ∴， 由（1）可知，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 此时，解得：秒， 即当时，四边形是菱形； （3）解：当秒时，是直角三角形（）； 当秒时，是直角三角形（）． 理由如下： 当时，如下图， 则， ∴， ∴，即， 解得秒， ∴当秒时，是直角三角形； 当时，如下图， 由（2）可知四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得秒； 当时，点和点都和点重合，不能构成三角形， ∴此种情况不存在． 综上所述，当秒时，是直角三角形（）；当秒时，是直角三角形（）． 【题型8 根据菱形的性质与判定求面积】 22．如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． (2)四边形的面积为 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，所以，结合，可证明结论； （2）连接交于点，先证明四边形是菱形，得到，根据直角三角形的性质可逐步求得，，，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 23．矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据菱形的判定方法可得结论； （2）先求出菱形的两条对角线的长，即可求出面积． 【详解】（1）证明：小颖同学的作法： ∵四边形是矩形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是菱形； 小亮同学的作法： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 24．【综合与实践：折纸中的数学】我国传统建筑中，设计精巧、样式繁多的几何图案随处可见，它们由笔直的短木条沿横、竖、斜方向交错构成，给人以明朗、均匀、简洁的美感．漫步于我们的校园，盈乐园中的小亭便体现了这一艺术特点．小亭的布局以“因地制宜”为原则，每换一个角度，眼前都是一幅不同的画面．如图②，是从底部仰视亭子内部顶部设计时看到的图案——木条纵横交错，形成一个个规整的四边形，简洁而富有韵律．      有趣的是，这样的图案不仅存在于传统建筑中，我们还可以通过折纸的方式将其“复现”．下面，让我们动手操作，在折纸中探寻数学的奥秘，感受传统文化与数学的交融之美．          【素材】如图③，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图④所示得到四边形． 【实践探索1】 四边形的形状为 ；面积为 ； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图⑤所示，得到四边形． 【实践探索2】 ①判断四边形的形状，并加以证明． ②直接写出四边形的面积 ． 【答案】(1)菱形， (2)①四边形是菱形，证明见解析；② 【分析】（1）根据对角线互相垂直平分可得四边形为菱形，由折叠可得，然后运用菱形的面积公式就可解决问题． （2）由折叠可得；由矩形可得，从而有，进而可证得，则有，就可证到四边形是菱形；②设，则，由①知四边形是菱形，得到，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形； 由折叠可得：， ∴， ∴菱形的面积为． （2）解：①四边形是菱形， 证明：如图， 由折叠可得：． ∵四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． ②设， ， ∴， 由①知四边形是菱形， ∴， 矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 1．菱形的一条对角线是，周长是，则菱形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形四条边相等、对角线互相垂直平分的性质，先求出菱形边长，再结合勾股定理求出另一条对角线的长度，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：∵ 菱形周长为，菱形四条边相等， ∴ 菱形的边长为 ∵ 菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为， ∴ 该对角线的一半长为 由勾股定理，得另一条对角线的一半长为 ， ∴ 另一条对角线长为 ∵ 菱形面积等于两条对角线乘积的一半， ∴ ． 2．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为中点，连接，若，，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意易得，，然后根据勾股定理及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴． 3．如图，在中，为的中点，，，则下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据两组对边分别平行判断出四边形是平行四边形，再添加一个条件：一个角是为矩形，一组邻边相等为菱形． 【详解】，， 四边形是平行四边形． 选项A：当时，无法判断四边形是矩形； 选项B： ，为的中点， ， 平行四边形是菱形； 选项C：当时，为的中点， ， ， 平行四边形是矩形； 选项D：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 4．如图，四边形中，E，F，G，H分别是边的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和菱形的关系即可解答． 【详解】解：∵四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴且； 同理∶ 且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 5．如图，在矩形中，点是对角线的中点，直线经过点，并且与交于点，与交于点，连接，，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件证明四边形是平行四边形，再结合所给条件逐一分析即可． 【详解】解：∵矩形，O是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， A、添加，由上面的推导可知，是平行四边形本身就具备的性质，仅这个条件无法证明平行四边形是菱形； B、添加，根据平行四边形中，一组邻边相等，则这个平行四边形是菱形，所以可以判定； C、添加 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定； D、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定． 综上，不能判定四边形为菱形的是A． 6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则（     ） A．7 B．14 C．10 D．12 【答案】A 【分析】过点作于， 由作图知，射线平分， 根据菱形的性质得到，根据角平分线的性质得到， 根据三角形面积的公式求解即可． 【详解】如图，过点作于， 由作图可知，射线平分， 四边形是菱形， ， ， ． 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   　 ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，，由勾股定理求出，连接，证明四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 8．如图，在矩形中，，连接，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交、于点、．结论中：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中错误的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④正确． 综上，错误的结论只有1个． 9．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 【答案】A 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理，求出的长，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短和等积法进行求解即可. 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴， ∴， 连接， ∵于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为边上一动点， ∴当时，的值最小，即的值最小， 此时：， ∴， 解得， ∴的最小值为. 10．如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论： ①当时，． ②当点落在上时，四边形是菱形． ③在点运动的过程中，线段的最小值为． ④连接，则的面积等于 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，由菱形的性质可得，则，由折叠的性质可得， 进而得到，因此，故①正确；对于②，容易判断当点落在上时，四边形与菱形重合，故②正确；对于③，由可知，，仅当点、、三点重合时取等号，因此的最小值为2，故③正确；对于④，设与的交点为，由可得，故④错误． 【详解】解：对于①：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，故①正确； 对于②：由折叠的性质可得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴当点落在上时，点与点重合， 又∵菱形关于直线对称， ∴此时点与点重合， ∴四边形即菱形，故②正确； 对于③：由①可知，， ∴为钝角， ∴，仅当点、、三点重合时取等号， ∴的最小值为2，故③正确； 对于④：如图，设与的交点为， 由折叠的性质可得，， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有3个． 11．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质．首先根据菱形和等边三角形的性质求出，然后由等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，，． 是等边三角形， ，， ， ，，，， ， ． 12．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分及四边相等，从而求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 13．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质得到，，，，进而得到，从而是等边三角形，因此，，再由勾股定理求出，得到，再由菱形面积的计算方法求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，对角线在轴上，将菱形翻折，使点落在对角线上的点处（点与点不重合），折痕分别与，交于点，，连接，若恰为等腰三角形，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【分析】连接交于点，由题意易得，，，则有，然后可得，，进而可分当时，当时求解即可． 【详解】解：连接交于点，如图所示： ∵四边形是菱形，且边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意可分：当时，则有， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，此时； 综上所述：当恰为等腰三角形时，则点的坐标为或． 15．如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 【答案】5（或填6或7） 【分析】由图可知，当时，取得最小值，当与重合时，取得最大值，先利用菱形的性质：对角线互相平分且垂直，通过勾股定理求出菱形的边长，再利用面积关系求出对应的高，即可求出的长的取值范围，在范围中选择一个整数即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， 在菱形中，，，， ∴， ∵， ∴， 当时，即时，取得最小值， ∴， 当与重合时，取得最大值，， ∴，故长的整数值为5或6或7． 16．如图，在菱形中，，．点P为对角线上的任一点，作，．则之和的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，交于点，证明均为等边三角形，等积法得到，进而得到当即点与点重合时，之和最小为的长，即可. 【详解】解：连接，，交于点， 在菱形中，，， ∴，，， ∴均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，之和最小， ∵点P为对角线上的任一点， ∴当，即点与点重合时，之和最小，为的长， ∴之和的最小值为． 17．如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 【答案】 【分析】由作图过程可知，，为的平分线，则，，，结合平行四边形的性质以及菱形的判定可证明四边形为菱形，则，，根据，可得，再由，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，，为的平分线， ∴，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ． 18．如图，在菱形中，，，点、分别在线段、上，将四边形沿着翻折到菱形所在平面得到四边形，刚好过点，交于点，连接．若，则______，点到的距离为______． 【答案】 【分析】过点N作的垂线，利用菱形性质、含直角三角形性质求出长；根据翻折性质得对应边、对应角相等，作辅助线构造直角三角形求出线段长，借助勾股定理列方程求出线段长度，最后利用等面积法求出点到的距离． 【详解】解：过点作于点H． 四边形是菱形，，， ，． ， ，． ， ． ． 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得，． 由翻折性质可知，四边形四边形， ，， ，． 点在上， ． 过点作，交的延长线于点K， ． ． 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得，， ，． 设，则，． 过点作交于点P， ，， ． 在中，由勾股定理得，， ． 在中，由勾股定理得，， 即． 解得． ． 过点作于点， ，， ， ． 由勾股定理得，． ， 点到的距离等于菱形的高． 设点M到的距离为， ， ， 解得． 19．如图，在中，是的平分线，，交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再结合是的平分线，可得，从而得到，即可求证； （2）过点C作交的延长线于点G，证明，根据直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，过点C作交的延长线于点G，    ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 20．综合与实践 手工课上，同学们用平行四边形纸片进行创意剪纸创作，结合设计需求完成以下操作、证明与计算： (1)【动手操作】作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F，交于点．要求：请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)【推理证明】连接，，证明：四边形是菱形； (3)【实践应用】将剪出的菱形制作成书签，如果菱形的边长为，，求这个书签的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，，根据，得到，再证得到，于是可判断四边形是菱形； （3）先根据已知及菱形的性质得，，，再根据含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，即可得、的长，再根据菱形的面积等于求解． 【详解】（1）解：如图，对角线的垂直平分线，即为所求； （2）证明：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：∵菱形的边长为，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴这个书签的面积为：． 21．如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形的性质可得，，，进而可证明，则，，结合，命题得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程，求出的值后，计算面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 22．如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；作射线交于；过点作交于点，交于点；连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； (2)． 【分析】根据作图由作图知，由四边形是平行四边形，则，所以，则有，然后证明，得，所以，可得四边形是平行四边形，又，从而有四边形是菱形； 作于，则，由四边形是菱形，得，，所以，是等边三角形，则有，，然后通过直角三角形的性质可得，由勾股定理得出，最后通过的面积为计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作于，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 23．如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，过点作，分别交、于点、，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)设，，，设与之间的距离为，求的值． 【答案】(1)证明：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】（1）先根据对角线平行且相等，证明四边形为平行四边形，再证，得出，证明四边形为平行四边形，结合，可证四边形是菱形； （2）先证，用勾股定理解求出和，再利用等面积法求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 在中，， ，， ， 解得， ， 与之间的距离为， ， ． 24．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 【答案】(1)； (2)或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】（1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可表示出；过点作，证明四边形是矩形，求出，分时，点在上，时，点在上，即可表示出； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P点从A点以向B点运动，运动时间为秒， ， ， ； 过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 则点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， ∵点在上运动的时间为，且， ∴时，两点停止运动， 当时，点在上，此时； 当时，点在上，此时； 综上，； （2）解：∵直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：，，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 25．【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 26．在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点、、，矩形的顶点、、． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为．如图②，当边与相交于点、边与相交于点，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； 【答案】(1)， (2)，的取值范围是． 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）由题意易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∴； 连接，交于一点M，如图所示： ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵点，点，点， ∴矩形中，轴，轴，． ∴矩形中，轴，轴，． 由点，点，得． 在中，，故，． 在中，，故，，． ∴．同理，得． ∵，得． 又， ∴， 当时，则矩形和菱形重叠部分为， ∴的取值范围是． 1．如图，在边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（　　） A．9 B． C．27 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质．连接，根据菱形的性质，得到，，再根据，求出的长度，同理依次类推，按规律总结即可解答． 【详解】解：如图，连接，交于点， 四边形是菱形，且边长为1， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 同理可得， ， 根据规律第n个菱形的边长为． 第六个菱形的边长为． 故选：B． 2．如图，两个等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形为，求证：四边形是菱形．    下列说法正确的是（　　） A．证明1用特殊到一般法证明了该问题 B．证明2的证明过程是完整的，能够得出结论 C．证明2还需要证明三角形全等，该证明才完整 D．证明1只要测量够一百个四边形的边长进行验证，就能证明该问题 【答案】B 【分析】根据菱形的判定方法先证平行四边形，再证邻边相等，测量是验证方法，是实践与理论相结合，对故选项进行分析即可． 【详解】解：A．证法1，利用直尺测量的结果，只能验证该四边形是菱形，用特殊到一般法证明缺少理论证明过程，故选项A不合题意； B．证法2的证明过程是严谨完整的，故选项B符合题意； C．证法2的证明过程是完整正确，不需证明三角形全等，故选项C不合题意； D．证法1只要测量够一百个四边形的边长进行验证，验证的正确性更高，就能证明该问题，还需要理论证明，故选项D不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的判定方法，掌握菱形的证明方法是解题关键． 3．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到点，延长到点，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，___________①___________． ∵，∴___________②___________． ∴四边形是平行四边形． ∵，∴四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，先得到对角线互相垂直平分，再结合已知条件，推导出对角线互相平分，从而证明四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形完成证明，据此补全证明过程中的①②两处． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，．① ∵ ， ∴ ，即．② ∴ 四边形是平行四边形． ∵ ， ∴ 四边形是菱形． 故选：B． 4．已知，求作，作法： （1）以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点； （3）作射线，则为的平分线，可得．    根据以上作法，某同学有以下3种证明思路： ①可证明，得，可得； ②可证明四边形为菱形，，互相垂直平分，得，可得； ③可证明为等边三角形，，互相垂直平分，从而得，可得． 你认为该3种证明思路中，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：①由作图得：， ， ， ，故①正确，符合题意； ②由作图得：， 四边形为菱形， 平分， ，故②正确，符合题意； ③，但不一定与相等， 不一定是等边三角形，故③错误，不符合题意； 3种证明思路中，正确的有①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点O，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（  ） ①始终为等边三角形；②线段长的最小值为；③点G所走过的路径长为；④面积的最大值． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，可证，得到，，再证明，可判断①；根据，那么当时，最小，此时有最小值，通过勾股定理，可算得的长度；由菱形的对称性可得，整个运动过程中点的运动是一个往返过程，点先从点运动到最远（离点）为止，再从最远位置运动回点，且点运动到最远位置时，此时点刚好是的中点，点为的中点，接着证明此时，利用勾股定理求得；根据可得，根据为定值，可知当面积取得最小值时，最大，根据，可得最小时有最小值，从而算得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， 由题意可知，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形，故①正确； ∴， 当时，最小，此时有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，故②正确； 由菱形的对称性可得，整个运动过程中点的运动是一个往返过程，点先从点运动到最远（离点）为止，再从最远位置运动回点，且点运动到最远位置时，此时点刚好是的中点，点为的中点， 如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G所走过的路径长为，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴当面积取得最小值时，最大， 过点作交于点， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的最小值为， ∴最小值为， ∴的最大值为，故④正确； 综上，①②④正确． 6．如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接，等积法判断①和②，四边形的内角和为360度，结合菱形的对角相等，判断③，连接，过点作，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可． 【详解】解：菱形， ∴， 连接， 当P为中点时，则：， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ，， ∴， ∴；故②正确； ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴；故③正确； 连接，过点作，则垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵，且， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④错误； 连接，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的最大值为；故⑤错误； 故选B． 7．某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（    ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据平移的性质得，，因此在平移的过程中，四边形一直是平行四边形，由此可对结论①进行判断； ②先计算出，，则当平移后，则，进而得，，然后根据得为直角三角形，则四边形是矩形，由此可对结论②进行判断； ③当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，则，，且，此时四边形是菱形，由此可对结论③进行判断； ④由①②③可知平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形，而四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形，由此得在平移的过程中，不可能出现正方形，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，且，，， ，， 根据平移的性质得：，， 在平移的过程中，四边形一直是平行四边形， 故结论①正确； ②在中，，，， ， 由勾股定理得：， 当平移后，则，如图1所示： ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 为直角三角形，即， 四边形一直是平行四边形， 此时四边形是矩形， 故结论②正确； ③， 当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，如图所示： ，，且， 四边形是菱形， 故结论③正确； ④由①②③可知：平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形， 又四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形， 在平移的过程中，不可能出现正方形， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，图形的平移变换及性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，理解全等三角形的性质，图形的平移变换及性质熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定是解决问题的关键． 8．如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 【答案】B 【分析】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，再证明四边形ABCD是菱形，再进行判断即可． 【详解】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC， ∵， ∴∠ADB=∠CBD， ∵∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∵AB=BC， ∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． ∴①错误，②正确 故选：B. 【点睛】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质． 9．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】C 【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可． 【详解】解：由题意可得：平移过程中， ，，， ∴四边形是平行四边形， 刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：， 即平移个单位长度后是矩形，    继续平移，当与共线时， 此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为， 即再平移个单位长度后是菱形；      综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形， 故选C． 【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，综合利用了特殊四边形的判定和性质，掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键． 10．如图，菱形的边长为2，，则菱形的面积是；以对角线为边作第二个菱形，使，则菱形的面积是；以对角线为边作第三个菱形，使，则菱形的面积是；…．按此规律所作的第个菱形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质以及归纳推理的应用，根据规律得出第n个菱形的边长是解决本题的关键．连接，交与点O，由题意可知为边长为1的等边三角形，可求出的面积，即可得出菱形的面积；根据已知菱形的性质可分别求得的长，从而可发现规律，根据规律即可得出第n个菱形的边长，进而可得出第n个菱形的面积． 【详解】解：如图，连接，交与点O， ∵四边形为菱形，且， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，菱形的面积是； ∵四边形为菱形，， ∴可得，菱形的面积是； 同理可得，菱形的面积是； 以此类推，可得出所作的第n个菱形的边长为， 第n个菱形的面积为． 故答案为：． 11．如图所示，第一个菱形的边长为，，且点落在轴上，延长交轴于点，以为边作第二个菱形；延长交轴于点，以为边作第三个菱形按这样的规律进行下去，若点…都在一条直线上，则第个菱形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形的规律，根据菱形的性质，直角三角形的性质可得第n个菱形的边长为，再根据含30度角的直角三角形可得高为，根据菱形的面积计算即可求解，理解图示规律，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：菱形的边长为，， ∴，， 在中，， ∴， ∵以为边作第二个菱形，则， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 如图所示，过点作于点，过点作于点，以此类推， ∵， ∴，即第一个菱形的高为 同理，，则，即第二个菱形的高为， ∵第个菱形的边长为， ∴第个菱形的高为， ∴第个菱形的面积为：， 故答案为： ． 12．将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中，菱形周长的最小值是___________，菱形周长的最大值是___________． 【答案】 12 20 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，由，得到菱形的周长，据此可得最小值；当矩形的一条对角线与菱形的对角线重合时，菱形的周长最大，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中， ∵大于等于矩形纸条的宽， ∴， ∴菱形的周长， ∴菱形的周长的最小值为12； 如图所示，当矩形的一条对角线与菱形的对角线重合时，菱形的周长最大， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长的最大值为1； 故答案为：12；20． 13．如图，在菱形中，两点分别从两点同时出发，以相同的速度分别向终点移动，连接，在移动的过程中，的最大值为______，最小值为______． 【答案】 2 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．连接，作于，利用菱形的性质得，则可判断和都是等边三角形，再证明得到，，接着判定为等边三角形，所以，然后根据点E的位置判断的最（大）小值即可． 【详解】解：连接，作于，如图所示： 四边形为菱形，， ，， ， 和都是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， ，两点分别从，两点同时出发，以相同的速度分别向终点，移动， ， 在和中， ， ，， ， 为等边三角形， ， 当点运动到点时，的值最大， 的最大值为2． 当点运动到点时，的值最小， 的最小值为． 故答案为：，． 14．四边形纸片中，点E，F分别在边，上，将纸片沿直线折叠，点C恰好落在点A处，再将、分别沿折叠，点，D落在上的同一个点G处，请完成下列探究：的大小为______°；当四边形是菱形，点G为中点且时，四边形纸片的面积为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了翻折的性质、四边形内角和、菱形的性质，由翻折的性质得：，再结合四边形内角和为，即可求出；首先利用折叠的性质分别求得，然后由代入数据解答即可． 【详解】解：如图，由翻折的性质得：    ∵， ∴， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∵点G为中点， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 15．如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示． (1)指出图中点P坐标的实际意义； (2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (3)直接写出B，D之间距离的变化范围． 【答案】(1)当的长度为时，千斤顶的高度为； (2) (3)大于等于，小于等于． 【分析】（1）根据题意可得点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为； （2）连接交于O，当时，，由菱形的性质得到，则由勾股定理得到，当时，则，由勾股定理得，则； （3）根据（2）所求分别求出当和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为； （2）解：如图所示，连接交于O， 当时，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得； 由于菱形的边长不发生变化， ∴是定值， 当时，则， 在中，由勾股定理得， ∴，即； （3）解：在中，当时，；当时，； ∴B，D之间距离的变化范围为大于等于，小于等于． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，菱形的性质和勾股定理，正确读懂函数图象是解题的关键． 16．如图所示，第一个菱形的边长为2，，且点D落在y轴上，延长交x轴于A，以为边作第二个菱形；延长交x轴于点，以为边作第三个菱形…，按这样的规律进行下去，若点D、C、、…都在一条直线上． 【探究】 (1)______； (2)____________； (3)则第个菱形的面积为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由第一个菱形的边长为2，，得出为含30度直角三角形，由此得出，即可得到答案； （2）同理（1）可得，，由此发现规律：即可解题； （3）根据（2）的规律求出第个菱形的边的高即可求解． 【详解】（1）解：， ， 菱形的边长为2， ∴，， ∴，， ∴ 同理可得 ∴ 故答案为 （2）由（1）可知 ，即： 由此规律可知：， ∴ 故答案为：，． （3）由（2）可知，第个菱形的菱长为， 的高， 第个菱形的面积为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，含度直角三角形性质、勾股定理，图形的规律，解本题的关键是求出前几个菱形的边长，找出规律． 17．[问题解决] （1）如图1．在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点处，折线AE交BC于点E，连接B'E．求证：四边形是菱形． [规律探索] （2）如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由． [拓展应用] （3）如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点处，点A落在纸片ABCD外部点处，与AD交于点M，且M＝M．已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）． 【分析】（1）由平行线的性质和翻折可推出，即．故四边形是平行四边形，再由翻折可知，即证明平行四边形是菱形． （2）由翻折和平行线的性质可知，，即得出，即是等腰三角形． （3）延长交AD于点G，根据题意易证，得出结论，．根据（2）同理可知为等腰三角形，即FG=PG．再在中，，即可求出，最后即可求出． 【详解】（1）由平行四边形的性质可知， ∴， 由翻折可知， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． 再由翻折可知， ∴四边形是菱形． （2）由翻折可知， ∵， ∴， ∴， ∴QF=QP， ∴是等腰三角形． （3）如图，延长交AD于点G， 根据题意可知， 在和中，， ∴， ∴，． 根据（2）同理可知为等腰三角形． ∴FG=PG． ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题为矩形的折叠问题．考查矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强．掌握折叠的性质和正确的连接辅助线是解答本题的关键． 18．《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点P为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】如图1，点E，F分别为，的中点，若Q点与点A重合，点D的对应点为点M，当点M落在上时，展开纸片，连接交折线于点O，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】如图2，若点Q在上，点D的对应点为点M，点A的对应点为点N，若点M始终落在上，展开纸片，连接交折线于点O，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】如图3，若点Q在上，点D的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）菱形，理由见解析；（3） 【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， 故答案为：；； （2）四边形是菱形．理由如下： ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）长的取值范围是． 如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， ∴长的最大值为； 如图2，当点与点重合时，的长最小， 设，则， ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解得：， ∴长的最小值为， ∴长的取值范围是． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 19．探究1： （1）如下图，在菱形中，点为射线上一动点，于，连接．当时， _________；   探究2： （2）如下图，在矩形中，为射线上一点，于，连接．当时， _________；   拓展探究： （3）如下图，在中，，点为射线上一点，于，连接．(数据：)    ①若，则____；(填“＞”或“＝”或“＜”) ②若，求的长． 【答案】（1）或；（2）或（3）①，②的长为或． 【分析】（1）分两种情况：当点与点重合时；当点在的延长线上时；分别根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，进行计算即可得出答案； （2）分两种情况：当点在上时；当点在的延长线上时，分别利用矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分别计算即可； （3）①延长交于点，连接，证明四边形为平行四边形得到，从而得到，，再由，，得到，即可得解；②分两种情况：当P点在线段BC上时，延长交于点，过点作交，的延长于点，过点作于点；当点射线上时，延长交至点，使，过点作交于点，过点作于点，连接，分别进行求解即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ， ，点为射线上一动点， 如图，当点与点重合时，，连接，交于点， 则， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 如图，当点在的延长线上时， ，四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）如图，当点在上时， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； 如图，当点在延长线上时， ， 同理可得：， ， ， ， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （3）①延长交于点，连接， 四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； ②分两种情况分析： 当P点在线段BC上时，延长交于点，过点作交，的延长于点，过点作于点， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， 在中，，， 在中，， ， ， ， 在中，，， 在中，， ； 当点射线上时，延长至点，使，过点作交于点，过点作于点，连接，   ，， ， ， ， ，， ， 在中，， 在中，， 在中，，， 在中，， ； 综上可知：的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 20．综合与实践： 【提出问题】在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，， ， ， 又、， ______＋______， 化简整理得_______； 【类比探究】 （2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得，，，证明， 得，，根据勾股定理得， ，继而得出的值即可； （3）由（2）可得得出，延长，过点A作于点G，过点作于点H，连接，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ． 化简整理得 故答案为：；；． （），理由如下， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴； （）∵四边形是平行四边形，，，， ∴由（）可得 ∴ 解得：（负值舍去）， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， 如图所示，延长，过点A作于点G，过点作于点H，连接， ∵分别为的中点， ∴，， 设，则， 在中根据勾股定理得：， 在中根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $