暑假专项提升--勾股定理及其应用专项练 2025-2026学年初中数学人教版八年级下册

**基本信息** 初中数学暑假勾股定理专项训练，以“概念-推理-应用”为主线，整合直接计算、逆定理判断、折叠与最短路径、实际建模等题型，提炼方程思想、转化法、数形结合等策略，突出几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-6、填空10-11|勾股定理直接计算与逆定理判断|直角三角形三边关系→方程求解边长| |综合应用|选择7-9、填空12-14|折叠问题方程思想、图形面积关系转化|折叠性质/图形面积公式→勾股定理建立等量关系| |实际建模|解答15-27|最短路径构造直角三角形、实际问题数学建模|实际情境→抽象几何模型→勾股定理求解| |定理证明|选择4、解答16|等面积法、图形割补|面积关系→推导a²+b²=c²|

暑假专项提升--勾股定理及其应用专项练 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级下学期 一、单选题 1．如图，为了测得湖两岸点和点之间的距离，小军在点设桩，使得，并测得的长为100米，的长为80米，则点和点之间的距离为（   ） A．60米 B．80米 C．100米 D．米 2．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 3．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，所对的边分别为，，，下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A．， B．，， C． D． 7．如图，在中，，，，平分，过点A作的垂线，交的延长线于E，交的延长线于F，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．已知直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 二、填空题 10．如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 11．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 12．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 13．《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向直角三角形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是______；现将向上翻折，如图②，已知，，，则的面积是______． 14．在数学实践与探究活动课上，李阳用两张正方形纸片和，通过切割分成五张小纸片1，2，3，4，5，再把它们拼接成一个大正方形（如图），若，，则纸片1的周长为__________． 三、解答题 15．在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 16．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 17．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 18．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 19．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20．如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点滑动到点，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗杆的高度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离（的长度）． 21．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 22．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 23．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 24．如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 25．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 26．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 27．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M 到喷泉A的距离； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D A C A D B D B 1．A 利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：∵在中，，的长为100米，的长为80米， ∴米， ∴点和点之间的距离为60米． 2．D 根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． “生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是， … “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 3．A 连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 4．C 利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 5．A 过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 6．D 根据三角形内角和定理可判断A、C，根据勾股定理的逆定理可判断B、D． 解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴可设， ∴，， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 7．B 先利用勾股定理求得，再利用角平分线和垂线的性质证明与全等，得到，进而求得，最后在中利用勾股定理求解即可． 解：在中，，，， ， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，． 8．D 利用直角三角形的勾股定理有，结合完全平方公式化简，即可得到结果． 解：∵直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边， ∴由勾股定理得 ， ∵，， ∴ 9．B 本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 解：如图2，，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 10． 利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 解：，，， ， 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，， ， 整理得， 解得， ． 11． 本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，解题关键是掌握并正确运用该公式．将点与原点的坐标代入公式，即可求出点到原点的距离． 解：原点坐标为，根据两点间距离公式，点到原点的距离为． 故答案为：． 12． 根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中， ， ． 13． 10 本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出，由等边三角形的面积公式得出，，，得出；设的面积为，图②中2个白色图形的面积分别为、，由，得出，得出，即可得出答案． 解：如图：过点E作 ， ， 、、是等边三角形， ∴ 则 ， 同理得，，， 即； 设的面积为，图②中2个白色图形的面积分别为、，如图②所示： ， ， ， ∵，，， ； 故答案为：；10． 14． 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 证明，则，由勾股定理得，，根据纸片1的周长为，计算求解即可． 解：由题意知，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴纸片1的周长为， 故答案为：． 15． (1) (2) (3)见解析 （1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答． （2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答． （1）解：如图1，连接． 是的中点， ． 由勾股定理，得， ， ． （2）解： 由题意，知 ， ． 设，则． 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图2，过点作，且， 连接，． ，， ． 又 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． 16．(1)见解析 (2) (3) (4) （1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． （1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 17．(1) (2) （1）如图1，过点作于点，则，，利用勾股定理可求得，再利用线段的和差求解即可； （2）先利用线段的和差求得，再利用勾股定理求解即可． （1）解：如图1，过点作于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， ． （2）解：如图2：， ， ． 18．(1)13； (2)17． （1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． （1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 19．(1)点处与地面的距离为米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． （1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 20．(1) (2) （1）设旗杆的长为，则旗绳的长为，根据勾股定理建立方程，即可求解； （2）由题意可知：，，，过点作，垂足为，进而根据勾股定理求得，即可求解． （1）解：设旗杆的长为，则旗绳的长为． ， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度为； （2）解：由题意可知：，，， 过点作，垂足为， 则，， ， ， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 21．(1)米； (2)米 （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． （1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 22．(1)5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则小时，即可作答． （1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口B在灯塔C的南偏西方向上， ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是80海里，港口B与灯塔C的距离是60海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 23． 本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 24．该车没有超速．理由见解析 过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 25．(1) (2)不会受到此次台风的影响，见解析 （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． （1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 26． 连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，最后根据四边形的面积等于与的面积之和求解即可． 解：连接， ∵，， ∴，（舍负） ∵， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 27．(1) (2) （1）在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明，则，再根据点到直线的距离即可解答． （1）解：∵的长是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $