暑假专项提升--二元一次方程（组）专项练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 2025-2026学年人教版七年级下学期暑假专项练，聚焦二元一次方程（组），涵盖选择、填空、解答题，基础巩固与创新应用结合，突出运算能力与推理意识培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|二元一次方程(组)定义、解的判定、参数求解|基础概念辨析，注重定义理解| |填空题|8|方程解的应用、含参方程组、新定义运算|结合核心素养，强化知识迁移| |解答题|9|消元法、整体换元、对称方程、实际应用|梯度设计，综合考查运算与推理，创新题型贴近真题趋势|

暑假专项提升--二元一次方程（组）专项练 2025-2026学年初中数学人教版（2024）七年级下学期 一、单选题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 4．实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的方程组的解为，则的值是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 6．已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 8．已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法： （1）若，则整式的值是3； （2）若，则； （3）若，则满足条件的整式共有5个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 9．已知方程是关于，的二元一次方程，则________． 10．已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 11．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则_________． 12．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 13．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 14．关于，的二元一次方程组的解中与的和为4，则的算术平方根为________． 15．若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 16．已知方程组，则 ___________． 三、解答题 17．解方程组： (1) (2) 18．下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． (2)判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 19．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 20．阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 21．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c为互不相等的常数），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出的“对称方程”_______，以及它们组成的方程组的解为_______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 22．阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　　； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 23．解下列方程组： (1) (2) 24．我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值； (2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B C B A B 1．C 根据二元一次方程的定义判断即可． 解：A、含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； B、原式变形为，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、是二元一次方程，故选项符合题意； D、含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 2．B 二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 3．D 可通过化简方程组，根据两个方程系数的关系判断解的个数，两个一次方程对应未知数系数不成比例时，方程组只有一个解． 选项A：对于，将第二个方程两边同除以3，得，与第一个方程完全相同，因此方程组有无数个解，故A不符合要求； 选项B：对于，将第二个方程两边同除以2，得，与矛盾，因此方程组无解，故B不符合要求； 选项C：对于，将第一个方程两边同乘2，得，与矛盾，因此方程组无解，故C不符合要求； 选项D：对于，化简第二个方程得，两个方程未知数对应系数不成比例，联立可求得唯一解，因此方程组只有一个解，故D符合要求． 4．B 采用代入验证法解题，将给定解代入方程组，若能同时使两个方程左右两边相等，则该组解就是方程组的解． 代入A选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入B选项，第一个方程左边右边，第二个方程左边右边，两个方程都成立，符合题意． 代入C选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入D选项，第一个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 5．C 根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 6．B 利用整体思想，将待求方程组整理为与原方程组结构一致的形式，对应得到新方程组即可求解． 解：整理待求方程组的第二个方程：， 移项得， 提取公因式得， 待求方程组可变形为， 方程组的解为， ，解得． 7．A 根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 8．B （1）可求出，用整体代入法求代数式的值判断正误，（2）当时，，把代入可判断正误；（3）根据条件分类讨论计数，判断说法正误． 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，原说法错误； （2）∵， ∴当时， ∵， ∴当时， ∴，原说法正确； （3）∵，且为自然数，为正整数， ∴当时，或或， 当时，或 当时，， ∴符合条件的整式A共有 个，原说法错误； ∴正确的只有（2）． 9．/ 解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且 由解得或， 即或 又∵， ∴，故， 由解得， ∴． 10． 本题考查二元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是利用整体思想代入求解，将已知的方程的解代入原方程，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 解：把代入二元一次方程中， ∴， ∴； ∴． 11． 把y看成常量，把x看成未知数，求解关于x的一元一次方程即可． 解：∵， ∴． 12． 本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 13． 1 本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 14． 本题可通过将二元一次方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再结合已知条件，列方程求出的值，最后计算的算术平方根． 解： 得 ， ∴ ， ∵ 与的和为4， ∴ ， 解得 ， 的算术平方根为． 15． 将方程组中不含、的两个方程联立，求得、的值，再联立含有、的两个方程，把、的值代入，两方程相加即可求得的值． 解：把方程组中不含、的两个方程联立得， ， ，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含、的两个方程联立得， ， 把代入，得， ，得， ∴． 16． 利用加减消元法表示出，，即可解答； 解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 17．(1) (2) （1）解： 得： 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为； （2） 得 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为． 18．(1)代入消元法，加减消元法 (2)美美，正确解答如下： ， 由①，得③， 由②+③，得，解得， 把代入①，得， 原方程组的解为． （1）善善是利用代入进行的消元，美美是将②+③进行的消元． （2）根据美美在解答的过程中未在等式两边同时乘，导致计算错误，得到美美的解答过程有误，并根据加减消元法修改解题过程即可． （1）解：∵善善的做法由方程①转化为③，将方程③代入方程②消去，得，体现了代入消元的思想， ∴善善的做法是代入消元法， ∵美美的做法由①得到③，由②+③两式相加消去，体现了加减消元的思想， ∴美美的做法是加减消元法． （2）略 19．(1) (2)1 （1）根据方程组有相同的解得到和，先根据得到，再代入求解即可； （2）将a、b的值代入计算即可． （1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； 将代入得， 解得：； （2）解：． 20．(1)方程组的解具有“单位差”；理由见解析 (2)或 (3)或或或 （1）先解方程组得到，，再根据，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出，再由可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到， ，再根据解距是整数得到或，解方程即可． （1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 21．(1)， (2) (3) （1）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求出x，再根据方程组解的定义求出m，再求出y，即可求出n，再求出，即可得解； （3）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求出x，再根据a，b，c的关系即可求出y，再把方程组的解代入方程，即可得解． （1）解：的“对称方程”， 它们组成的方程组为， 解得； （2）解：关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 由得，， 解得， ； 将代入①得，， 解得， ． ， 的平方根为． （3）解：是关于x，y的二元一次方程， ， ， ， 关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ， ， ， ∴方程组的解为， 将代入，得，即，， ． 22．(1) (2) (3) （1）根据方程的解的含义可得，进一步可得结论； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可. （1）解：∵关于m，n的方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解满足， 解得：. （2）解：设，， ∴原方程组可化为，解得：， ∴，解得：； （3）解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ∴，解得：． 23．(1) (2) （1）利用加减消元法解得即可； （2）利用加减消元法解得即可． （1）解： 由得：， 即④， 由得：⑤， 由得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）解： 由得：④， 由得：⑤， 由得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 24．(1) (2)存在， （1）根据“和谐点”的定义建立关于k的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）解方程组，结合“和谐点”的定义建立关于m的一元一次方程并求解，即可获得答案． （1）解：为“和谐点”， ∴根据题意，得， 解得； （2）解：存在，理由如下： 解方程组， 得， 点是“和谐点”， ， 即， 解得， 综上所述，当时，点是“和谐点”． 25．(1) (2) (3)， 本题三个小题均使用换元法将原复杂方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出换元后的未知数后，再还原得到原问题的结果． （1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）设，， 则方程组可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 解得； （3）设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $