10.3 实际问题与二元一次方程组暑期专项练习2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组实际应用，以“问题情境—模型构建—求解验证”为主线，通过多样化场景培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用|20题（含购物、行程、幻方等）|“设元→找等量关系→列方程组→求解”四步流程，结合情境技巧（如行程上下坡转换、幻方和相等）|从概念生成（未知数设定）到原理推导（等量关系建立），再到多领域应用（经济、几何、传统文化），形成完整逻辑链|

10.3 实际问题与二元一次方程组 暑期专项练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册 一、单选题 1．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 2．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学所用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 3．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 4．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 5．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 7．大约公元前2200年，在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．如图1，将九个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图2，数学综合实践课上，数学老师要求同学们将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入这个三阶幻方中且对角的数字为x，y．若点的坐标为，则满足条件的点有（     ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 8．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 9．小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 10．一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入大铁球和小铁球的个数可能是（     ） A．1个大铁球和7个小铁球 B．2个大铁球和5个小铁球 C．3个大铁球和4个小铁球 D．4个大铁球和1个小铁球 二、填空题 11．某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住人，则有人住不下；若每间住人，则有一间只住人，且空两间宿舍，那么该校七年级学生有________人，学校安排给七年级学生的宿舍有________间． 12．“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱一百，乙得甲太半（即）而钱亦一百．问甲、乙持钱各几何？”意思是：甲、乙两人各有一些钱，如果甲得到乙所有钱的，那么甲共有100钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有100钱．设甲持有x钱，乙持有y钱，根据题意可列二元一次方程组为______． 13．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 14．甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 15．小明利用8个完全一样的直角三角形，拼成了如图所示的两个正方形，则每个直角三角形的面积为___________． 三、解答题 16．推进乡村全面振兴，需要大力发展农产品加工业，做好独特品种的特色农产品开发．大樱桃是怀仁市的特色农产品，某村集体组织农户将大樱桃按果实大小包装成精品大果、优级中果两种五斤装礼盒出售．已知每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元，且15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价为2500元．问：精品大果礼盒与优级中果礼盒每件售价分别为多少元？ 17．《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何?”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文? 18．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 19．手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：）及成品率（成品率）如下表所示： 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F 第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍，陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件．第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ 20．一家小型超市的账目记录显示，第一天卖出4支牙刷和5盒牙膏，收入72元；第二天，以同样的价格卖出同样的牙刷3支和牙膏4盒，收入54元，店长在查账时发现这个记录有误． (1)请说明这个记录有误的理由； (2)通过进一步核查发现，两次的收入没有错误，在四项卖出数量的数据中也只有一项数据的记录有误，其他数据的记录都是正确的，若牙刷和牙膏的售价都是整数，请直接指出哪一项数据的记录可能有误，并写出正确的数据． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B A D B C B 1．B 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 【详解】解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【详解】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 5．B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 6．A 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 7．D 【分析】求出中心数，再找出之间的关系，从而确定的值，再将的值代入点的坐标求值即可． 【详解】解：∵每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等， ∴最中间的数为这个数字的平均数， ∴九宫格最中间的数为， ∴每个横行、每个竖列和每条对角线上的剩下的两数之和为， 则， ∴数对有， 将组数对分别代入点， 点的坐标有， ∴满足点的共有8个． 8．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据去年节余为收入减成本，今年节余为今年收入减今年成本，今年收入比去年高，成本比去年低，列出方程组． 【详解】解：去年收入为元，成本为元，节余元， ， 今年收入比去年高， 今年收入为， 今年成本比去年低， 今年成本为， 今年节余元， ， 可列方程组． 故选：C． 10．B 【分析】通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案． 【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y， 依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21， 则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，，， 则只有B选项符合题意． 11． 94 18 【分析】设该校七年级学生有x人，学校安排给七年级学生的宿舍有y间，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该校七年级学生有x人，学校安排给七年级学生的宿舍有y间， 根据题意，得， 解得， 所以该校七年级学生有94人，学校安排给七年级学生的宿舍有18间． 12． 【分析】根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱100．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱100”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲持有x钱，乙持有y钱， 根据题意，得． 13． 【详解】解∶根据题意，得， 解得． 14． 【分析】本题根据行程问题中追及和相遇的路程关系列方程组，同向追及时，相同时间内甲车行驶路程比乙车多A、B两地的距离；相向相遇时，两车行驶路程和等于A、B两地的距离，据此即可列出方程组． 【详解】解： 已知甲车速度为，乙车速度为，A、B两地相距， 当两车匀速同向而行，甲车后追上乙车，可得甲车行驶路程减去乙车行驶路程等于两地距离，列方程得， 当两车匀速相向而行，后相遇，可得两车行驶路程和等于两地距离，列方程得， 因此可列方程组为． 15．12 【分析】设直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，根据图形列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边为，较短直角边为， 由图可得，， 解得， ∴每个直角三角形的面积为． 16．精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元 【分析】设精品大果礼盒每件售价为x元，优级中果礼盒每件售价为y元．根据等量关系“每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元”，“15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价共2500元”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设精品大果礼盒每件售价为x元，优级中果礼盒每件售价为y元．   根据题意，得 解得 答：精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元． 17．罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文 【分析】设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文 ， 根据题意可得方程组 ， 解得， 答：罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文． 18．应选用A种食品3包，B种食品2包 【详解】解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 19．第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为 【分析】设第一次两种陶土的用量分别为未知数，根据两次成品总数量的条件列出方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为． 根据题意可得， 整理方程组得， 将，得， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 即方程组的解为， 答：第一次制作时，陶土E的用量是 ，陶土F的用量是 ． 20．(1)解：设一支牙刷售价为元，一盒牙膏售价为元． 根据题意可得方程组， ，得， 即， 将代入，得 ， 整理得． 价格不能为0，不符合实际情况， 该记录有误． (2)解：有两种可能：①第一天卖出的牙刷数量“4”记录有误，正确数据为6；②第二天卖出的牙刷数量“3”记录有误，正确数据为2． 【分析】（1）设牙刷和牙膏的单价，根据题干记录列二元一次方程组，解得价格不符合实际，即可说明记录有误． （2）分四种情况分别假设一项数量记录错误，结合售价为正整数验证，得到符合条件的结果即可． 【详解】（1）解：略 （2）解∶分四种情况讨论： ①假设第一天牙刷数量记录错误，设正确数量为（为正整数，），其余正确，可得方程组 解得， 为正整数， ∴且， 解得， a取整数为5，6，7，8， 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，，符合条件； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； ∴，，， ②假设第一天牙膏数量记录错误，设正确数量为（为正整数，），其余正确，可得方程组， 解得， ∵， ∴， 解得，不是整数，不符合实际，舍去． ③假设第二天牙刷数量记录错误，设正确数量为（为正整数，），其余正确，可得方程组， 解得， 为正整数， ∴，且， 解得， 由，且c为整数， ∴c的值为1，2， 当时，，不是整数，不符合实际，舍去； 当时，，，符合条件． ④假设第二天牙膏数量记录错误，设正确数量为（为正整数，），其余正确，可得方程组， 解方程组得， ∵， ∴， 解得，不是整数，不符合实际，舍去． 综上，第一天卖出的牙刷数量记录有误，正确为6，或第二天卖出的牙刷数量记录有误，正确为2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $