精品解析：山东省聊城市莘县2025-2026学年第二学期七年级数学期末试题

2026年7月初中学校期末学业质量监测七年级数学试题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列方程中，是二元一次方程有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断，统计符合条件的方程个数即可得到答案，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个不同未知数，含未知数的项的次数为1． 【详解】解：①只含有1个未知数，∴①不是二元一次方程； ②整理后为，满足二元一次方程的定义，∴②是二元一次方程； ③中不是整式，方程是分式方程，∴③不是二元一次方程； ④整理后为，满足二元一次方程的定义，∴④是二元一次方程； ⑤满足二元一次方程的定义，∴⑤是二元一次方程； ⑥中项的次数为2，不满足次数为1的要求，∴⑥不是二元一次方程； 综上，二元一次方程共有3个． 2. 血小板是从骨髓成熟的巨核细胞胞浆裂解脱落下来的小块胞质，是哺乳动物血液中的有形成分之一，一个血小板的体积约为8立方微米．已知1立方米立方厘米，1立方厘米立方毫米，1立方毫米立方微米，则一个血小板的体积约为（ ）． A. 立方米 B. 立方米 C. 立方厘米 D. 立方毫米 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知单位换算关系，逐步将立方微米换算为立方米、立方厘米、立方毫米，再判断选项正误． 【详解】解： 8立方微米立方毫米立方厘米立方米． 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解需满足两个条件，一是结果为几个整式的乘积形式，二是变形前后等式相等，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、该变形是整式乘法，是将整式乘积化为多项式，不符合因式分解定义； B、等式右边不是整式乘积的形式，不符合因式分解定义； C、，等式不成立； D、提取公因式得，是将多项式化为整式乘积的形式，且等式成立，符合因式分解的定义． 4. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于，结合已知，，即可求得的度数． 【详解】解：由多边形的外角和等于， 可得， ∵，， ∴， ∴， 即． 5. 如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握四边形内角和是解题的关键．根据题意求出，再根据角平分线的性质求出的度数，故根据的内角和求出的度数． 【详解】解：， ， ， 的角平分线与的外角平分线相交于点P， ， ． 故选B． 6. 如图，正五边形的对角线与相交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，再通过三角形外角的性质计算出的度数． 【详解】解：正五边形每个内角的度数为， 因为正五边形各边相等，所以和均为等腰三角形． 在中，； 同理，在中． ， 故选：C． 7. 如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 8. 若关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用整体换元思想，将待求解方程组变形为与已知方程组结构一致的形式，再结合已知解计算即可． 【详解】解：对方程组变形得： ， 方程组的解为， ， 解得：， 方程组的解是． 9. 如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 10. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果．） 11. 如图，将一张两边平行的纸条折叠一下，若，则_______． 【答案】70 【解析】 【分析】画出折叠前的图形，利用折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，推出，最后根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠的性质得， ∵纸条的两边平行， ∴， ∴， ∵纸条的两边平行， ∴， ∵， ∴． 12. 已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】先提公因数法把多项式x3y+x2y2+xy3因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2， ∴x3y+x2y2+xy3＝ 代入数据，原式= 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，先提公因式，然后再套完全平方公式即可求解. 13. 已知关于x、y的方程组的解满足，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数，将两个方程相加后，整体代入法得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 14. 若（3x2﹣2x+1）（x﹣b）的积中不含x的一次项，则b的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出2b+1＝0，求出即可． 【详解】解：（3x2﹣2x+1）（x﹣b）＝3x3﹣3bx2﹣2x2+2bx+x﹣b ＝3x3﹣（3b+2）x2+（2b+1）x﹣b， ∵积中不含x的一次项， ∴2b+1＝0， 解得：b＝﹣， 故答案为﹣． 【点睛】此题考查多项式乘多项式，解题关键在于利用积中不含x的一次项. 15. 学习情境·新定义 定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据新定义进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3）化简结果为，最终值为29 【解析】 【分析】（1）先计算幂的乘方得到，再依次计算单项式乘法、单项式除法，约去同类项后得到最终结果； （2）先用平方差公式展开第一部分，用完全平方公式展开第二部分，去括号后合并同类项，消去同类项得到最终结果； （3）先分别展开完全平方项、平方差项，计算多项式除以单项式部分，合并同类项后得到最简整式，再根据负指数幂和零指数幂的规则，算出x和y的具体数值，最后将x和y的取值代入最简整式，直接计算得到最终数值结果． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解： ． ∵，， ∴原式． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （2）先对原式变形提取公因式，再用平方差公式继续分解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解； （2）将第二个方程去分母化简，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【小问1详解】 得： 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 ， 由得， 即， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19. 在一次60秒跳绳的体育测试中，体育老师统计了全班同学的跳绳次数，并绘制了如下不完整的统计图表． 分组 频数 3 4 17 m 8 6 1 请结合以上统计图表，回答下列问题． （1）这个班有多少名同学参加了测试？ （2）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角的度数； （3）请根据以上信息，写出你得到的结论．（写出一条即可） 【答案】（1）48名 （2） 补全直方图如下： （3）的人数最多（不唯一、合理即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图等知识点，根据频数分布直方图和扇形统计图得出所需信息是解题的关键． （1）由的人数除以其所占百分比即可求得总人数； （2）根据各组人数之和等于总人数可得的人数m的值，用乘的人数所占比例即可解答； （3）根据统计图和频数分布表进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：（名）． 答：这个班有48名同学参加了测试． 【小问2详解】 解：的人数（名）． 扇形统计图中圆心角α的度数为． 【小问3详解】 解：由频数分布直方图知，的人数最多（答案不唯一）． 20. 某物流公司在运货时有A、两种车型，如果用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物.现需要运输货物吨，计划同时租用A型车和型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物． （1）辆A型车和辆型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？ （2）若A型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金． 【答案】（1）辆A型车载满货物一次可运输货物吨，辆型车载满货物一次可运输货物吨 （2）租车方案见解析；当租用辆A型车，辆型车时，租金最少；最少租金为元 【解析】 【分析】（1）设辆A型车载满货物一次可运输货物吨，辆型车载满货物一次可运输货物吨，根据“用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物”即可得出关于，的二元一次方程组求解即可； （2）设需租用A型车辆，型车辆，根据“这些车一次可运输吨货物且每辆车都载满货物”列关于、的二元一次方程，再结合，均为正整数确定各租车方案，再求出各租车方案所需租金，最后比较后即可解答． 【小问1详解】 解：设辆A型车载满货物一次可运输货物吨，辆型车载满货物一次可运输货物吨， 依题意得：，解得：． 答：辆A型车载满货物一次可运输货物吨，辆型车载满货物一次可运输货物吨． 【小问2详解】 解：设需租用A型车辆，型车辆， 依题意得：， 又，均为正整数， 或， 该物流公司共有种租车方案， 方案：租用辆A型车，辆型车，所需租车费用为元； 方案：租用辆A型车，辆型车，所需租车费用为元． ， 当租用辆A型车，辆型车时，租金最少，最少租金为元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 21. 如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）判断和的位置关系，并说明理由： （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：，理由如下： ， ， ， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件，，根据平行线的判定和性质可得，求出，即可得出答案． （2）由（1）中的结论可知，，可得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又， ， ， ∵， ∴． 22. 配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； （2）若可配方成（，为常数），则 ； （3）求代数式的最小值，并求出，的值； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 【答案】（1） （2） （3）最小值是，， （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、新定义“完美数”概念的理解以及配方法；解题的关键是理解定义正确配方． （1）依据“完美数”的定义，变形即可得； （2）通过将配方得到m，n的值代入计算即可； （3）根据配方得到，即可求解； （4）将配方为，结合“完美数”的定义，令的值可以为0可求解． 【小问1详解】 解： 故答案为：； 【小问2详解】 解： 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； ∵，， 当，时，代数式的最小值为 【小问4详解】 解：， ， ， ∵x，y是整数， ∴也是整数， ∵S为“完美数”， ∴的值可以为0， ∴． 23. 探究以下问题： （1）探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； （2）探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； （3）探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： （4）如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 【答案】（1）， 理由：∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：由（1）（2）（3）的结论可得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月初中学校期末学业质量监测七年级数学试题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列方程中，是二元一次方程有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 血小板是从骨髓成熟的巨核细胞胞浆裂解脱落下来的小块胞质，是哺乳动物血液中的有形成分之一，一个血小板的体积约为8立方微米．已知1立方米立方厘米，1立方厘米立方毫米，1立方毫米立方微米，则一个血小板的体积约为（ ）． A. 立方米 B. 立方米 C. 立方厘米 D. 立方毫米 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形的对角线与相交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 若关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果．） 11. 如图，将一张两边平行的纸条折叠一下，若，则_______． 12. 已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝_____． 13. 已知关于x、y的方程组的解满足，则_____． 14. 若（3x2﹣2x+1）（x﹣b）的积中不含x的一次项，则b的值为_____． 15. 学习情境·新定义 定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则________． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中，． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 解方程组： （1） （2） 19. 在一次60秒跳绳的体育测试中，体育老师统计了全班同学的跳绳次数，并绘制了如下不完整的统计图表． 分组 频数 3 4 17 m 8 6 1 请结合以上统计图表，回答下列问题． （1）这个班有多少名同学参加了测试？ （2）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角的度数； （3）请根据以上信息，写出你得到的结论．（写出一条即可） 20. 某物流公司在运货时有A、两种车型，如果用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物.现需要运输货物吨，计划同时租用A型车和型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物． （1）辆A型车和辆型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？ （2）若A型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金． 21. 如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）判断和的位置关系，并说明理由： （2）若，求的度数． 22. 配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； （2）若可配方成（，为常数），则 ； （3）求代数式的最小值，并求出，的值； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 23. 探究以下问题： （1）探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； （2）探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； （3）探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： （4）如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $