精品解析：山东省聊城市高唐县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025−2026学年度第二学期期末学情诊断七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了了解我县名七年级学生的身高情况，从中随机抽取了名学生的身高进行调查．其中，下面说法错误的是（ ） A. 此调查属于抽样调查 B. 每个学生的身高是个体 C. 名学生是所抽取的一个样本 D. 名学生的身高是总体 3. 一个多边形的内角和与外角和之和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 4. 已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（ ） A. B. C. D. 5. 设三角形与某长方形相交于如图所示的、、、点，如果，，，那么（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于和的二元一次方程的解，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在中，平分，是边上的高，若，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 8. 多项式分解因式的结果是，则的值（ ） A. B. 3 C. D. 9. 已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果． 11. 若是关于x，y的二元一次方程，则_____． 12. 根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩__________．（用科学记数法表示） 13. 近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，，．则的度数为________________． 14. 如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点G是边的中点，则的度数为____． 15. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中且；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．若关于、的方程组为共轭方程组，则________ 三、解答题：共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 分解因式： （1） （2） 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 如图，已知三角形的顶点，分别在直线和上，且．若，． （1）当时，求的度数． （2）设，，求和的数量关系（用含，的等式表示）． 19. 某电商物流园区在“五一”期间订单量急剧增加，分拣中心的张主管需要处理吨包裹．收到待处理的包裹后，为了让包裹能够尽快完成分拣，需要借助园区的机器人进行分拣工作，园区可以租赁大型和小型两种自动分拣机器人．一台大型分拣机器人每小时处理包裹的数量是一台小型分拣机器人的倍，台大型分拣机器人和台小型分拣机器人每小时共处理吨包裹． （1）求一台大型分拣机器人和小型分拣机器人每小时分别分拣多少吨包裹． （2）由于要保证订单次日送达，张主管要求一晚上（小时）把吨包裹正好全部分拣完，两种机器人都要租用，且每台工作满小时．请你帮张主管设计租赁方案． 20. 项目学习 在学校组织的社会实践活动中，八年级“实践活动”社团负责调查同学们每天完成家庭作业的时间情况，他们随机抽取了一部分同学进行调查，并形成了如下调查报告： 调查主题 ××学校学生每天完成家庭作业时间 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校八年级部分学生 调查内容 同学，你每天完成家庭作业的时间为_______． A．小时；B．小时；C．小时；D．小时及以上，E．3小时及以上．（每组含最小值，不含最大值），请根据实际情况选择你最符合的一项，感谢参与！ 数据收集、整理 频数分布表和频数分布直方图 时间x（小时） 频数 百分比 5 a 20 7 3 b 调查结论 …… 请结合调查信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的_____，_____； （2）将频数分布直方图补充完整（直接画图，不写计算过程）； （3）若将抽取的学生每天完成家庭作业时间情况绘制成扇形统计图，求完成时间为（小时）范围所在扇形圆心角的度数； （4）规定：初中生每天书面家庭作业时间不超过2小时，根据表中数据，请你提出一条合理化建议． 21. 学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最小值： 22. 实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，三者之间的等量关系式：__________________． 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，求的值： 【类比迁移】（3）如图3，若，求阴影部分的面积． 23. 【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学期期末学情诊断七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算与整式乘法法则逐一计算选项，即可判断正确结果． 【详解】解：A、，A错误； B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，B错误； C、积的乘方等于各因式分别乘方，，C错误； D、，D正确． 2. 为了了解我县名七年级学生的身高情况，从中随机抽取了名学生的身高进行调查．其中，下面说法错误的是（ ） A. 此调查属于抽样调查 B. 每个学生的身高是个体 C. 名学生是所抽取的一个样本 D. 名学生的身高是总体 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵本次调查是从全体名七年级学生中抽取名学生的身高进行调查，只调查部分个体，∴此调查属于抽样调查，A选项说法正确，不符合题意； ∵总体是指研究对象的全体，本次研究对象是名七年级学生的身高，∴名学生的身高是总体，D选项说法正确，不符合题意； ∵个体是总体中的每个研究对象，∴每个学生的身高是个体，B选项说法正确，不符合题意； ∵样本是从总体中抽取的部分研究对象，本次抽取的研究对象是身高，∴所抽取的一个样本是名学生的身高，不是名学生，∴C选项说法错误，符合题意． 3. 一个多边形的内角和与外角和之和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用．设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和之和为列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意可得， ， 解得， 即这个多边形的边数为五， 故选：A 4. 已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用．根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为，根据多项式除法法则进行计算． 【详解】解：∵长方形的面积为，且一边长为， ∴另一边长是：， 故选：D． 5. 设三角形与某长方形相交于如图所示的、、、点，如果，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质等知识点，根据三角形外角性质求出，根据长方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再得出答案即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：C． 6. 已知是关于和的二元一次方程的解，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解）是解题关键．将代入方程可得一个关于、b的二元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， ∴， 解得：， 故选：B． 7. 如图，在中，平分，是边上的高，若，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再由高的定义求出，最后通过计算角度． 【详解】解：在中，三角形内角和为， ， 由平分，得， 又是边上的高，故， 在中：， ． 8. 多项式分解因式的结果是，则的值（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查因式分解的应用，代数式求值，解题关键在于掌握的将展开，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把展开，可得，则有；利用“两个多项式相等，则对应项的系数相等”得到关于m、n的方程组，解出m，n的值，再把m，n值代入中计算即可． 【详解】解：， ； ， 解得：， ， 故选：C． 9. 已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【详解】解：∵5×10=50，，，， ∴2a×2b=2c，即：2a+b=2c， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握上述法则是解题的关键． 10. 有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，，， 即，， ， 即正方形的面积为． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果． 11. 若是关于x，y的二元一次方程，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据题意列出二元一次方程组，并解出这个二元一次方程组是解题的关键． 根据二元一次方程的定义可得，解这个方程组即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得：， 解得： ∴． 故答案为：3． 12. 根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩__________．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【详解】解：总伸缩量， 故答案为：． 13. 近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，，．则的度数为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，平行线的性质（两直线平行内错角相等），三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行公理的推论可证得，然后利用平行线的性质可求得和，再根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点G是边的中点，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，连接，求得即可解答，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 五边形是正五边形， ，， ， ，， 点G是边的中点， ， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 15. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中且；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．若关于、的方程组为共轭方程组，则________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据共轭二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：根据共轭二元一次方程的定义， 得， 解得， ． 三、解答题：共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 把①代入②得，，解得， 把代入①得到，， 所以是原方程组的解； 【小问2详解】 解：， 由①得，③， 把③代入②得，，解得， 把代入③得到，； 所以是原方程组的解． 18. 如图，已知三角形的顶点，分别在直线和上，且．若，． （1）当时，求的度数． （2）设，，求和的数量关系（用含，的等式表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补即可求解； （2）过点过点作，可得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，由此得到，在中，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线与三角形的综合运用，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 19. 某电商物流园区在“五一”期间订单量急剧增加，分拣中心的张主管需要处理吨包裹．收到待处理的包裹后，为了让包裹能够尽快完成分拣，需要借助园区的机器人进行分拣工作，园区可以租赁大型和小型两种自动分拣机器人．一台大型分拣机器人每小时处理包裹的数量是一台小型分拣机器人的倍，台大型分拣机器人和台小型分拣机器人每小时共处理吨包裹． （1）求一台大型分拣机器人和小型分拣机器人每小时分别分拣多少吨包裹． （2）由于要保证订单次日送达，张主管要求一晚上（小时）把吨包裹正好全部分拣完，两种机器人都要租用，且每台工作满小时．请你帮张主管设计租赁方案． 【答案】（1）一台大型分拣机器人每小时分拣吨包裹，一台小型分拣机器人每小时分拣吨包裹 （2）共有种租赁方案， 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台； 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台； 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台 【解析】 【分析】（1）设一台大型分拣机器人每小时可以分拣吨包裹，一台小型分拣机器人每小时可以分拣吨包裹，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）现计划租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台，根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解即可． 【小问1详解】 解：设一台大型分拣机器人每小时可以分拣吨包裹，一台小型分拣机器人每小时可以分拣吨包裹， 根据题意得， 解得． 答：一台大型分拣机器人每小时分拣吨包裹，一台小型分拣机器人每小时分拣吨包裹； 【小问2详解】 解：设现计划租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台，根据题意得， 所以， 又因为，均为正整数， 所以或或， 所以共有种租赁方案， 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台； 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台； 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台． 20. 项目学习 在学校组织的社会实践活动中，八年级“实践活动”社团负责调查同学们每天完成家庭作业的时间情况，他们随机抽取了一部分同学进行调查，并形成了如下调查报告： 调查主题 ××学校学生每天完成家庭作业时间 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校八年级部分学生 调查内容 同学，你每天完成家庭作业的时间为_______． A．小时；B．小时；C．小时；D．小时及以上，E．3小时及以上．（每组含最小值，不含最大值），请根据实际情况选择你最符合的一项，感谢参与！ 数据收集、整理 频数分布表和频数分布直方图 时间x（小时） 频数 百分比 5 a 20 7 3 b 调查结论 …… 请结合调查信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的_____，_____； （2）将频数分布直方图补充完整（直接画图，不写计算过程）； （3）若将抽取的学生每天完成家庭作业时间情况绘制成扇形统计图，求完成时间为（小时）范围所在扇形圆心角的度数； （4）规定：初中生每天书面家庭作业时间不超过2小时，根据表中数据，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）15，6% （2）图见解析 （3） （4）作业争取在校内完成或减少书面作业布置量或合理布置作业或精选作业布置等 【解析】 【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键： （1）用A的频数除以所占的比例，求出调查总人数，根据频数，总数和百分数之间的关系求出的值即可； （2）由（1）补全直方图即可； （3）用360度乘以对应的百分比，进行计算即可； （4）根据分布表，给出建议即可． 【小问1详解】 解：； ； ； 【小问2详解】 解：补全直方图如图： 【小问3详解】 解：； 答：完成时间为（小时）范围所在扇形圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：由题意，建议如下： 作业争取在校内完成或减少书面作业布置量或合理布置作业或精选作业布置等． 21. 学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最小值： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用公式法因式分解、平方的非负性， （1）利用公式法先把多项式变形成完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可求解； （2）先利用题目中的方法进行因式分解可得，再根据平方的非负性求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴多项式的最小值． 22. 实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，三者之间的等量关系式：__________________． 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，求的值： 【类比迁移】（3）如图3，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）30 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形面积的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）图2中大正方形面积为；四个小长方形面积为，中间空白的小正方形面积为，根据图形面积之间的关系可得答案； （2）结合第一问的，即可得代入即可； （3）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中大正方形的边长为，则其面积可以表示为； 图2中四个小长方形的面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则其面积可以表示为， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）∵，， ∴ ， ． 23. 【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 【答案】【推理证明】； 【初步应用】（1）； （2）； ∵、分别为外角、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【拓展提升】． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由进行变形为即可求解； （）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解； 【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解． 【详解】证明：【推理证明】略 解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示，延长、交于点， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $