精品解析：山东省聊城市莘县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024—2025学年度第二学期期末学业水平检测 七年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列长度三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列调查中，适合普查的是（ ） A. 检测某批次灯泡使用寿命 B. 调查市场上某种食品的色素含量 C. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 D. 检测某品牌电脑的抗摔性能 3. 如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中不含关于x的一次项，则实数b的值为（ ） A. 3 B. C. 8 D. 15 6. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 7. 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1； ②x3+x=x(x2+1)； ③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 计算的结果是（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 9. 如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 10. 如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若是完全平方式，则m的值是________． 12. 已知，则代数式值为______． 13. 对于有理数，规定新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若，则___________． 14. 已知，，则______． 15. 阅读材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式：______． 16. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲中阴影部分的面积为3，图乙中新构造的大正方形面积为27，则图乙中阴影部分面积为______． 三、解答题（本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1） （2）． 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 19. 山东省教育厅通知2025年春季学期开始，全省义务教育阶段学校要每天开设一节体育课，确保学生每天两小时综合体育活动时间．某校为鼓励学生积极参与体育活动，举办了一场跳绳比赛，在七年级参加比赛的学生中随机抽取了部分学生的跳绳成绩（用x表示，单位：个），将数据整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），得到如下不完整的统计图表（跳绳的成绩均不低于60个，不超过220个）． 部分学生成绩频数分布表 组别 频数 A组： 3 B组： a C组： 7 D组： 6 部分学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题 （1）所抽取的学生总数是 人， ， ； （2）在扇形统计图中，C组对应的圆心角度数为多少？ （3）根据以上数据，试估计该校七年级参加跳绳比赛720名学生中成绩不低于140个的人数． 20. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 21. 某县有着丰富非物质文化遗产，其中草编技艺和糖画制作极具特色，在该县文化旅游节期间，某文创店铺专门售卖草编摆件和糖画，已知购买2个草编摆件和3幅糖画，共需花费110元；购买3个草编摆件和2幅糖画，共需花费140元．求每个草编摆件和每幅糖画的价格分别是多少？ 22. 如图，已知，．求证：． 23. 仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值. 解法一：设另一个因式为，得 则， ∴解得，. ∴另一个因式为，的值为－21. 解法二：设另一个因式为，得 ∴当时， 即，解得 ∴ ∴另一个因式为，的值为－21. 问题：仿照以上一种方法解答下面问题. （1）若多项式分解因式的结果中有因式，则实数______. （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值. 24. 在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． （1）【问题初探】如图1，，，求证：． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末学业水平检测 七年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知 A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意； C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2. 下列调查中，适合普查的是（ ） A. 检测某批次灯泡的使用寿命 B. 调查市场上某种食品的色素含量 C. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 D. 检测某品牌电脑的抗摔性能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查（即普查）的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； B、调查市场上某种食品的色素含量，范围广，数量多，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； C、调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围小，人数不多，易调查，应采用普查，符合题意； D、检测某品牌电脑的抗摔性能，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角平分线的定义，由对顶角相等得到的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式．根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 若的展开式中不含关于x的一次项，则实数b的值为（ ） A. 3 B. C. 8 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含关于x的一次项，即含x的一次项的系数为0计算求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含关于x的一次项， ∴， ∴， 故选；D． 6. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴， 故选A 【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键． 7. 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1； ②x3+x=x(x2+1)； ③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解； 故选B 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积形式是解题关键． 8. 计算的结果是（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平方差公式计算2015×2017，再按照有理数的加减法计算即可. 【详解】. 故选A. 【点睛】本题主要考查平方差公式，(a+b)(a-b)=a2-b2，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式.熟记公式结构是解题的关键. 9. 如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若是完全平方式，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 12. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，掌握整体代入的方法是解题的关键 先把所给条件变形为，再将代数式计算乘法，合并同类项得，变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 13. 对于有理数，规定新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可得，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①-②得：； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 14. 已知，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 15. 阅读材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解——十字相乘法．对于形如的多项式，进行因式分解时，关键是要找到两个数，使这两个数的乘积等于常数项，同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数．分解时要注意观察、尝试，并体会它的实质是二项式乘法的逆过程． 按照“十字相乘法”的步骤逐一分解即可． 【详解】解：先分解二次项系数：， 再分解常数项：， 交叉相乘，求代数和：，2等于一次项系数，如图所示： ∴， 故答案为 ：． 16. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲中阴影部分的面积为3，图乙中新构造的大正方形面积为27，则图乙中阴影部分面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系． 根据设正方形和边长为和可得和，两式相减可得 ，据此求解． 【详解】设正方形和的边长分别为和， 所以图甲阴影部分面积为：，即①， 图乙中新构造的大正方形面积为：，即②， ②-①，得，即， ∴图乙阴影部分面积为：． 故答案为：12． 三、解答题（本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先变号，再提公因式即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂，解决本题的关键是根据运算法则进行计算． 根据指数幂的定义可得：，根据负整指数幂的定义可得：，从而可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可； 根据积的乘方法则进行计算，可得：原式，再根据单项式乘单项式和单项式除以单项式的法则进行计算即可； 根据平方差公式和完全平方公式把各项展开，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项即可； 首先把多项式整理可得：原式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 山东省教育厅通知2025年春季学期开始，全省义务教育阶段学校要每天开设一节体育课，确保学生每天两小时综合体育活动时间．某校为鼓励学生积极参与体育活动，举办了一场跳绳比赛，在七年级参加比赛的学生中随机抽取了部分学生的跳绳成绩（用x表示，单位：个），将数据整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），得到如下不完整的统计图表（跳绳的成绩均不低于60个，不超过220个）． 部分学生成绩频数分布表 组别 频数 A组： 3 B组： a C组： 7 D组： 6 部分学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题 （1）所抽取的学生总数是 人， ， ； （2）在扇形统计图中，C组对应的圆心角度数为多少？ （3）根据以上数据，试估计该校七年级参加跳绳比赛的720名学生中成绩不低于140个的人数． 【答案】（1）20，4，15 （2） （3）468 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，熟知相关知识是解题的关键． （1）用D组的人数除以其人数占比可抽取的总人数，进而可求出a、m的值； （2）用乘以C组的占比即可； （3）用乘以样本中成绩不低于140个的占比即可． 【小问1详解】 所抽取的学生总数是：（人）， ， ∵，∴， 故答案为：20，4，15； 【小问2详解】 ， 即C组对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 ， 答：估计该校七年级参加跳绳比赛的720名学生中成绩不低于140个的人数为468人． 20. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． （1）求的度数； （2）若平分，求度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线和角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键． （1）由三角形高线可得，再利用三角形内角和定理，先求出，再求出即可； （2）由角平分线的定义，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：是的高线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分，， ， ， ． 21. 某县有着丰富的非物质文化遗产，其中草编技艺和糖画制作极具特色，在该县文化旅游节期间，某文创店铺专门售卖草编摆件和糖画，已知购买2个草编摆件和3幅糖画，共需花费110元；购买3个草编摆件和2幅糖画，共需花费140元．求每个草编摆件和每幅糖画的价格分别是多少？ 【答案】每个草编摆件40元，每幅糖画的价格是10元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 基本关系：金额=价格数量，总金额=草编摆件的金额+糖画的金额，据此列方程组求解． 【详解】设每个草编摆件元，每幅糖画元，根据题意，得 ， 解得：， 答：每个草编摆件40元，每幅糖画的价格是10元． 22. 如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角，掌握平行线的判定和性质是解题关键．根据已知条件和邻补角，得到，则，再利用平行线的性质，推出，即可证明平行． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 23. 仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值. 解法一：设另一个因式为，得 则， ∴解得，. ∴另一个因式为，的值为－21. 解法二：设另一个因式为，得 ∴当时， 即，解得 ∴ ∴另一个因式为，的值为－21. 问题：仿照以上一种方法解答下面问题. （1）若多项式分解因式的结果中有因式，则实数______. （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值. 【答案】（1）1；（2）另一个因式为，的值为5 【解析】 【分析】（1）根据题中的方法，设另一个因式为（x+m），则，把等式右边展开合并得，则-3m=-6，从而可求出m的值，再根据m-3=-p，求出； （2）根据题中的方法，设另一个因式为（x+n），则2x2+3x-k=（2x+5）（x+n），把等式右边展开合并得，则，然后解方程即可得到n和k的值，即得到另一个因式． 【详解】（1）设另一个因式为（x+m），则 ∴ ∴-3m=-6， 解得，m=2， ∵m-3=-p， ∴p=1； （2）设另一个因式为，得 则 ∴ 解方程组，得 ∴另一个因式为，的值为5. 【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题． 24. 在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． （1）【问题初探】如图1，，，求证：． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）①；②与所成锐角的度数为 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：过点F作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ② 过点E作， 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：与所成锐角的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$