2025-2026学年高二暑假闯关复习作业02 机械振动

**基本信息** 系统整合机械振动核心知识，通过典型例题提炼周期性与对称性等解题方法，构建完整知识体系，培养科学思维与物理观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |简谐运动的规律|2题|周期性与对称性分析|从定义→条件→特征→物理量，构建概念体系| |简谐运动的表达式和图像|2题|图像信息提取与表达式应用|振动方程与图像互化，强化运动学特征理解| |单摆|2题|等效摆长与周期公式应用|从模型建构到周期公式推导，突出理想化方法| |受迫振动和共振|2题|共振条件与图像分析|比较三种振动特征差异，建立联系与区别| |限时训练|10题|综合应用与实验探究|涵盖选择、实验、解答题型，强化知识迁移与科学探究能力|

暑假闯关复习作业02 机械振动 目录： 学习目标 考点解析和例题 限时训练 学习目标　1.认识简谐运动,理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道单摆,理解并熟记单摆的周期公式。 3.认识受迫振动,了解产生共振的条件及其应用。 学习目标　1.认识简谐运动,理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道单摆,理解并熟记单摆的周期公式。 3.认识受迫振动,了解产生共振的条件及其应用。 考点一　简谐运动的规律 1.简谐运动 (1)定义:如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动就叫作简谐运动。 (2)条件:物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置。 (3)平衡位置:平衡位置是物体在振动过程中回复力为零的位置,并不一定是合力为零的位置。 (4)回复力 ①定义:使物体返回到平衡位置的力。 ②方向:总是指向平衡位置。 ③来源:属于效果力,可以是某一个力,也可以是几个力的合力或某个力的分力。 (5)简谐运动的特征 ①动力学特征:F=-kx。 ②运动学特征:x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。 ③能量特征:系统的机械能守恒,振幅A不变。 2.描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移 由平衡位置指向质点所在位置的有向线段 描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移 振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的幅度大小和能量 周期 振动物体完成一次全振动所需的时间 描述振动的快慢,两者互为倒数:T= 频率 振动物体单位时间内完成全振动的次数 总结提升　简谐运动的周期性与对称性 周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为 对称性 (1)如图所示, 做简谐运动的物体经过关于平衡位置O点对称的两点P、P'(OP=OP')时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P'所用的时间,即tPO=tOP' (3)物体往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻,物体位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反 1．（25-26高二下·北京海淀·期末）如图所示，轻质弹簧上端固定在铁架台上，下端挂一可视为质点的重物。重物静止时处于B位置，此时弹簧伸长量为x0。用手缓慢托举重物至弹簧原长的A位置，之后放手，重物从静止开始沿竖直方向在A位置和C位置（图中未标出）之间做简谐运动。已知重力加速度g，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。下列说法错误的是（    ） A．重物做简谐运动的振幅为x0 B．重物运动到C时，其加速度大小为g、方向竖直向上 C．重物从A到C的过程中，重力的冲量大小等于弹簧弹力的冲量大小 D．手缓慢托举重物从B到A的过程中，手对重物做的功小于重物在简谐运动中的最大动能 2．（25-26高二下·河北沧州·期末）如图所示，倾角为的固定光滑斜面底端有一固定挡板，一轻弹簧与挡板连接，质量均为的小物块、叠放在弹簧上端处于静止状态，弹簧原长时上端位于点。现对物块施加一沿斜面向上的恒力，运动过程中、始终不分离，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．的值为 B．、可能运动至点上方 C．、向上运动时弹簧的弹性势能一直减小 D．、的最大加速度为 考点二　简谐运动的表达式和图像 1.简谐运动的表达式 x=Asin(ωt+φ0),其中A代表振幅,ω=2πf代表简谐运动的快慢,(ωt+φ0)代表简谐运动的相位,φ0叫作初相位或初相。 2.简谐运动的振动图像 (1)从平衡位置开始计时,函数表达式为x=Asin ωt,图像如图甲所示。 (2)从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos ωt,图像如图乙所示。 从振动图像可获取的信息 1.振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。 2.某时刻振动质点离开平衡位置的位移。 3.某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。 4.某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同。 5.某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）玻璃管竖直漂浮在水中，水面范围足够大，如图甲所示。将玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（     ） A．回复力等于重力和浮力的合力 B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒 C．若按压的深度增加到5cm，则玻璃管上下振动的周期将变大 D．在时间内，位移减小，加速度增大 4．（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）如图所示，由劲度系数的轻质弹簧与质量的小球组成的弹簧振子处于静止状态，现把小球缓慢向下拉释放并计时，小球第一次运动到最高点，重力加速度取，下列说法正确的是（     ） A．小球振动的振幅为 B．小球振动的周期为 C．小球在最高点的加速度大小为 D．取向上为正方向，小球的振动方程为 考点三　单 摆 1. 单摆:用不可伸长的细线悬挂的小球装置,细线的质量与小球相比可以忽略,球的直径与线的长度相比也可以忽略(如图所示)。 2.单摆做简谐运动的条件θ<5°。 3.单摆回复力:F=mgsin θ。  4.单摆周期公式:T=2π。 (1)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离。 (2)g为当地重力加速度。 5.单摆的等时性:单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g,与振幅和摆球质量无关。 5．（25-26高二下·广东江门·期末）如图甲所示是用沙摆演示简谐运动图像的装置，当沙漏做单摆运动时，沙漏中的细沙均匀流出，漏出的细沙在下方匀速运动的木板上形成一条曲线。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线（图中的虚线），已知P、Q分别是木板1上的两点，忽略沙漏重心的变化，沙摆的摆长保持不变，则下列说法中正确的是（　　 ） A．第一次实验时沙漏的频率较大 B．木板1移动的速度比木板2的速度大 C．从P到Q经过了该沙摆的一半周期 D．位置P处的沙层比Q处的沙层厚一些 6．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）如图甲，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。取重力加速度，，不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（     ） A．单摆振动的频率是 B．单摆的摆长约为 C．若仅将摆球质量变大，单摆周期一定变大 D．摆球经过平衡位置时的加速度为零 考点四　受迫振动和共振 1.受迫振动 (1)概念:系统在驱动力作用下的振动。 (2)特点:物体做受迫振动达到稳定后,物体振动的频率等于驱动力的频率,与物体的固有频率无关。 2.共振 (1)概念:当驱动力的频率等于固有频率时,物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。 (2)共振的条件:驱动力的频率等于固有频率。 (3)共振的特征:共振时振幅最大。 (4)共振曲线(如图所示)。 f=f0时,A=Am,f与f0差别越大,物体做受迫振动的振幅越小。 总结提升　简谐运动、受迫振动和共振的比较 　振动 项目　 简谐运动 受迫振动 共振 受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期、 频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0和固有频率f0 由驱动力的周期和频率决定,即T=T驱,f=f驱 T驱=T0,f驱=f0 振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(θ<5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 7．（25-26高二下·北京海淀·期末）（多选）如图甲所示，竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在竖直方向往复振动，进而通过下面的弹簧驱动小球振动。当圆盘静止时，给小球一个竖直方向的初速度让小球上下振动，其振动频率为。改变圆盘匀速转动的周期，得到小球的振幅与驱动力频率的图像如图乙所示。现使圆盘以的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定。下列说法正确的是（　　） A． B．稳定后，小球振动的周期为 C．若圆盘匀速转动的周期从开始逐渐增大，小球振动的振幅会变大 D．若圆盘匀速转动的周期从开始逐渐减小，图乙中曲线的峰将向左移动 8．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）（多选）如图甲为共振的演示装置，实验时让不同摆长（、、等）的摆依次振动起来，得出单摆M的振幅与其振动频率的关系图像如图乙所示。，取10，则下列说法正确的是（     ） A．M的固有频率为 B．M的摆长约为 C．用摆长为的单摆实验时，M的振幅最大 D．M的周期始终为 限时训练 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江湖州·期末）如图甲所示，一个双线摆由两根上端固定在天花板上的等长细绳与悬挂在两细绳下端的小球组成，绳长均为40 cm，细绳与天花板夹角。如图乙所示，张紧的水平绳上有三个双线摆，分别悬挂三个小球A、B、C，其中A、C处于同一水平面。现让A球在垂直于两根细绳确定的平面摆动起来，带动B球和C球振动。下列说法正确的是（    ） A．图甲中双线摆的周期为 B．图甲中的角增大，周期变短 C．图乙中B球的振幅比C球大 D．图乙中适当减小A球细绳与水平方向夹角，可以增大B球的振幅 2．（24-25高二下·河南洛阳·期末）如图所示，水平放置的汽缸内封闭着一定质量的理想气体，外界压强。保持不变。质量m、横截面积为S的活塞离汽缸底部距离为l时处于平衡状态。现将活塞从平衡位置稍稍向外移动Δx（Δxl）后释放，如果活塞所受合外力满足F=-kΔx形式，则活塞运动的周期为。假设汽缸内气体温度不变，忽略一切摩擦。则活塞从释放到第一次回到平衡位置的时间t为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京昌平·期末）如图1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。已知重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．t=0时，小球处于平衡位置 B．小球在最低点时的加速度大小为20m/s² C．0-2s内，弹力对小球做的功为0 D．0-2s内，小球受弹力的冲量大小为4 4．（24-25高二下·河南信阳·阶段检测）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧中心轴线与细杆平行，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的振幅等于A、B间的距离 B．小球在A、B位置时，动能和加速度都为零 C．小球从B到O的过程中，弹簧振子振动的机械能保持不变 D．小球从O到B的过程中，回复力做负功，弹簧弹性势能减小 5．（25-26高二下·福建龙岩·期末）如图甲所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水面，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，取竖直向上为正方向，试管振动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（     ） A．该试管的振幅为1 m，周期为4 s B．t＝0.5 s与t＝1.5 s时试管的速度方向相同 C．t＝1.5 s与t＝2.5 s时试管的位移方向不同 D．t＝0.5 s时试管向下运动，加速度方向竖直向上 6．（25-26高二下·河南郑州·期末）如图，水平地面上固定一竖直轻质弹簧，弹簧上端拴接一质量为m0的托盘，轻按托盘后松手，用计时器记录托盘n次全振动的时间为t0。将一物块放在托盘上，物块与托盘一起上下振动且没有脱离，记录此时托盘n次全振动的时间为t1。已知弹簧振子做简谐运动的周期公式为（m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数），则可知物块质量为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二下·广东江门·期末）如图所示，质量为的小球乙静止在半径为的光滑球面的最低点，且。将质量为的小球甲由左侧端点静止释放，在点与乙球发生正碰，碰撞时间为且碰撞时间很短，碰后甲球速度大小为碰撞前的倍且方向相反。、两点与球心的连线与竖直方向的夹角均为，两小球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．碰撞前甲球的速度为 B．碰撞结束时乙球的速度为 C．碰撞时甲球对乙球的平均作用力为 D．两球在点的左侧发生再次碰撞 三、实验题 8．（25-26高二下·江西赣州·期末）在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于）摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间关系的图像。 (1)关于此单摆下列说法正确的是__________。 A．摆球摆到最高点时速度、加速度均为零 B．摆球摆动过程中合力方向始终沿绳指向悬挂点 C．最低点为平衡位置，此时合力为零 D．摆球的回复力由重力在垂直摆线方向上的分力充当 (2)某同学在实验操作过程中，你认为正确的是__________。 A．选用密度大、体积小的金属球作摆球 B．先测出细线长作摆长，再将细线缠绕在悬点固定好 C．实验中由于操作失误摆球形成圆锥摆运动，仍用原测量摆长计算重力加速度 (3)根据图乙的信息，该单摆的周期为__________（用、表示）；测得正确摆长为，可得当地重力加速度为__________（用、、、表示）。 四、解答题 9．（25-26高二下·北京海淀·期末）单摆做小角度摆动过程中，用拉力传感器测量摆线的拉力，得到拉力随时间变化的图像，如图甲所示，拉力的最小值为，最大值为。已知当地重力加速度，不计空气阻力。 (1)由图甲确定单摆做简谐运动的周期。 (2)取，，求单摆的摆长。 (3)不断改变单摆的最大摆角（不大于）重复实验，拉力的最大值和最小值将随摆角变化。已知摆球质量，用已知的物理量推导出和的关系式，并在图乙中作出的关系图线。 10．（25-26高二下·河南南阳·期末）如图，质量为的物体放在质量为的平台上，随平台在竖直方向上一起做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，重力加速度为。求： (1)当运动到最低点时，平台给物体的支持力大小。 (2)求弹簧的劲度系数和最大弹性势能。（弹性势能表达式为） 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假闯关复习作业02 机械振动 目录： 学习目标 考点解析和例题 限时训练 学习目标　1.认识简谐运动,理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道单摆,理解并熟记单摆的周期公式。 3.认识受迫振动,了解产生共振的条件及其应用。 学习目标　1.认识简谐运动,理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道单摆,理解并熟记单摆的周期公式。 3.认识受迫振动,了解产生共振的条件及其应用。 考点一　简谐运动的规律 1.简谐运动 (1)定义:如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动就叫作简谐运动。 (2)条件:物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置。 (3)平衡位置:平衡位置是物体在振动过程中回复力为零的位置,并不一定是合力为零的位置。 (4)回复力 ①定义:使物体返回到平衡位置的力。 ②方向:总是指向平衡位置。 ③来源:属于效果力,可以是某一个力,也可以是几个力的合力或某个力的分力。 (5)简谐运动的特征 ①动力学特征:F=-kx。 ②运动学特征:x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。 ③能量特征:系统的机械能守恒,振幅A不变。 2.描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移 由平衡位置指向质点所在位置的有向线段 描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移 振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的幅度大小和能量 周期 振动物体完成一次全振动所需的时间 描述振动的快慢,两者互为倒数:T= 频率 振动物体单位时间内完成全振动的次数 总结提升　简谐运动的周期性与对称性 周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为 对称性 (1)如图所示, 做简谐运动的物体经过关于平衡位置O点对称的两点P、P'(OP=OP')时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P'所用的时间,即tPO=tOP' (3)物体往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻,物体位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反 1．（25-26高二下·北京海淀·期末）如图所示，轻质弹簧上端固定在铁架台上，下端挂一可视为质点的重物。重物静止时处于B位置，此时弹簧伸长量为x0。用手缓慢托举重物至弹簧原长的A位置，之后放手，重物从静止开始沿竖直方向在A位置和C位置（图中未标出）之间做简谐运动。已知重力加速度g，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。下列说法错误的是（    ） A．重物做简谐运动的振幅为x0 B．重物运动到C时，其加速度大小为g、方向竖直向上 C．重物从A到C的过程中，重力的冲量大小等于弹簧弹力的冲量大小 D．手缓慢托举重物从B到A的过程中，手对重物做的功小于重物在简谐运动中的最大动能 【答案】D 【详解】A．简谐运动的振幅是平衡位置到最大位移的距离，释放点A是速度为0的最大位移处，A（弹簧原长）到平衡位置B的距离为，因此振幅为，故A正确； B．根据简谐运动的对称性，最高点A处弹簧弹力为0，合力为mg，加速度大小为g、方向向下；最低点C的加速度大小也为g，方向竖直向上，故B正确； C．重物从A到C过程，初动量为0，末动量也为0，根据动量定理：合冲量等于动量变化，即 因此重力冲量大小等于弹簧弹力冲量大小，故C正确； D．手缓慢托举重物从B到A，动能变化为0，由动能定理有 其中重力做功 弹簧弹力做功等于弹性势能减少量 代入得 重物简谐运动的最大动能出现在平衡位置B，从A到B由机械能守恒得最大动能 因此手对重物做的功等于重物简谐运动的最大动能，故D错误。 故选D。 2．（25-26高二下·河北沧州·期末）如图所示，倾角为的固定光滑斜面底端有一固定挡板，一轻弹簧与挡板连接，质量均为的小物块、叠放在弹簧上端处于静止状态，弹簧原长时上端位于点。现对物块施加一沿斜面向上的恒力，运动过程中、始终不分离，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．的值为 B．、可能运动至点上方 C．、向上运动时弹簧的弹性势能一直减小 D．、的最大加速度为 【答案】C 【详解】AD．恰好不分离时、一起做简谐运动，在最低点和最高点的加速度最大，设大小为a，则在最低点对整体有，在最高点时对b有 解得，，AD错误； BC．对在最高点有，可得 故弹簧处于压缩状态，最高点在O点的下方，、向上运动时弹簧的弹性势能一直减小，C正确，B错误。 故选Ｃ。 考点二　简谐运动的表达式和图像 1.简谐运动的表达式 x=Asin(ωt+φ0),其中A代表振幅,ω=2πf代表简谐运动的快慢,(ωt+φ0)代表简谐运动的相位,φ0叫作初相位或初相。 2.简谐运动的振动图像 (1)从平衡位置开始计时,函数表达式为x=Asin ωt,图像如图甲所示。 (2)从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos ωt,图像如图乙所示。 从振动图像可获取的信息 1.振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。 2.某时刻振动质点离开平衡位置的位移。 3.某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。 4.某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同。 5.某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）玻璃管竖直漂浮在水中，水面范围足够大，如图甲所示。将玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（     ） A．回复力等于重力和浮力的合力 B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒 C．若按压的深度增加到5cm，则玻璃管上下振动的周期将变大 D．在时间内，位移减小，加速度增大 【答案】A 【详解】A．玻璃管在水中竖直漂浮并上下振动，对其进行受力分析可知，它在竖直方向上仅受向下的重力和向上的浮力。当玻璃管偏离平衡位置时，正是重力和浮力的合力始终指向平衡位置，充当了玻璃管做简谐运动的回复力。故A正确； B．在玻璃管振动的过程中，不仅重力在做功，水的浮力也在对玻璃管做功。浮力做功导致玻璃管的机械能与水的机械能之间发生转移，因此玻璃管自身的机械能是不守恒的。故B错误； C．根据简谐运动的“等时性”规律，弹簧振子或浮子模型的振动周期仅由系统本身的性质决定，而与振幅大小完全无关。将按压深度由增加到，只是增大了振幅，玻璃管上下振动的周期将保持不变。故C错误； D．由图乙可知，时刻玻璃管处于负向最大位移处（最低点），时刻玻璃管回到平衡位置（）。所以在时间内，玻璃管向着平衡位置运动，其位移大小不断减小。根据简谐运动加速度的特征公式可知，加速度的大小与位移的大小成正比，因此加速度的大小也在不断减小，而不是增大。故D错误。 故选A。 4．（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）如图所示，由劲度系数的轻质弹簧与质量的小球组成的弹簧振子处于静止状态，现把小球缓慢向下拉释放并计时，小球第一次运动到最高点，重力加速度取，下列说法正确的是（     ） A．小球振动的振幅为 B．小球振动的周期为 C．小球在最高点的加速度大小为 D．取向上为正方向，小球的振动方程为 【答案】D 【详解】A．小球从平衡位置被拉至最低点，该距离即为振幅，故振幅，故A错误； B．由题意可知 解得，故B错误； C．小球做简谐运动，在最高点和最低点的加速度大小相等，根据 根据牛顿第二定律可得 解得，故C错误； D．圆频率为 振动方程为 当时， 可得 故振动方程为，故D正确。 故选D。 考点三　单 摆 1. 单摆:用不可伸长的细线悬挂的小球装置,细线的质量与小球相比可以忽略,球的直径与线的长度相比也可以忽略(如图所示)。 2.单摆做简谐运动的条件θ<5°。 3.单摆回复力:F=mgsin θ。  4.单摆周期公式:T=2π。 (1)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离。 (2)g为当地重力加速度。 5.单摆的等时性:单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g,与振幅和摆球质量无关。 5．（25-26高二下·广东江门·期末）如图甲所示是用沙摆演示简谐运动图像的装置，当沙漏做单摆运动时，沙漏中的细沙均匀流出，漏出的细沙在下方匀速运动的木板上形成一条曲线。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线（图中的虚线），已知P、Q分别是木板1上的两点，忽略沙漏重心的变化，沙摆的摆长保持不变，则下列说法中正确的是（　　 ） A．第一次实验时沙漏的频率较大 B．木板1移动的速度比木板2的速度大 C．从P到Q经过了该沙摆的一半周期 D．位置P处的沙层比Q处的沙层厚一些 【答案】D 【详解】A．因为是同一个沙摆，摆长L和重力加速度不变，根据单摆周期公式可知，两次实验沙漏振动周期不变，则频率不变，故A错误； B．木板做匀速运动，由图乙可知，运动相同的路程，木板1用了2T，木板2用了1.5T，因此木板1移动的速度比木板2的速度小，故B错误； C．从P到Q经过了该沙摆的四分之一个周期，故C错误； D．沙摆摆动时在最大位移处速度为零，在平衡位置处速度最大，所以P处附近相同位移内的时间较大，流出的细沙更多，即位置P处的沙层比Q处的沙层厚一些，故D正确。 故选D。 6．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）如图甲，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。取重力加速度，，不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（     ） A．单摆振动的频率是 B．单摆的摆长约为 C．若仅将摆球质量变大，单摆周期一定变大 D．摆球经过平衡位置时的加速度为零 【答案】B 【详解】A．根据单摆的振动图像可知，单摆的振动周期为，故，故A错误； B．根据 解得，故B正确； C．根据 可知单摆周期与摆球质量无关，故C错误； D．摆球做圆周运动经过平衡位置O时，速度最大，向心加速度不为零，故D错误。 故选B。 考点四　受迫振动和共振 1.受迫振动 (1)概念:系统在驱动力作用下的振动。 (2)特点:物体做受迫振动达到稳定后,物体振动的频率等于驱动力的频率,与物体的固有频率无关。 2.共振 (1)概念:当驱动力的频率等于固有频率时,物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。 (2)共振的条件:驱动力的频率等于固有频率。 (3)共振的特征:共振时振幅最大。 (4)共振曲线(如图所示)。 f=f0时,A=Am,f与f0差别越大,物体做受迫振动的振幅越小。 总结提升　简谐运动、受迫振动和共振的比较 　振动 项目　 简谐运动 受迫振动 共振 受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期、 频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0和固有频率f0 由驱动力的周期和频率决定,即T=T驱,f=f驱 T驱=T0,f驱=f0 振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(θ<5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 7．（25-26高二下·北京海淀·期末）（多选）如图甲所示，竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在竖直方向往复振动，进而通过下面的弹簧驱动小球振动。当圆盘静止时，给小球一个竖直方向的初速度让小球上下振动，其振动频率为。改变圆盘匀速转动的周期，得到小球的振幅与驱动力频率的图像如图乙所示。现使圆盘以的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定。下列说法正确的是（　　） A． B．稳定后，小球振动的周期为 C．若圆盘匀速转动的周期从开始逐渐增大，小球振动的振幅会变大 D．若圆盘匀速转动的周期从开始逐渐减小，图乙中曲线的峰将向左移动 【答案】AB 【详解】A．共振曲线峰值对应的频率即为系统的固有频率，图乙中峰值在处，因此，故A正确； B．受迫振动达到稳定后，振动频率等于驱动力频率，与固有频率无关。 驱动周期，驱动频率，故稳定后小球振动周期也为，故B正确； C．圆盘周期增大，则驱动频率减小。 初始，远离固有频率，若进一步减小，驱动频率离固有频率越来越远，振幅应减小，故C错误； D．圆盘周期减小，驱动频率增大，从向靠近，振幅会增大。 但“图乙中曲线的峰”是由系统固有频率决定的，固有频率不变，峰的位置不会移动，故D错误。 故选AB。 8．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）（多选）如图甲为共振的演示装置，实验时让不同摆长（、、等）的摆依次振动起来，得出单摆M的振幅与其振动频率的关系图像如图乙所示。，取10，则下列说法正确的是（     ） A．M的固有频率为 B．M的摆长约为 C．用摆长为的单摆实验时，M的振幅最大 D．M的周期始终为 【答案】AB 【详解】A．由图乙可知，当驱动力的频率为时，单摆M的振幅达到最大值。根据共振的条件可知，单摆M的固有频率等于驱动力的频率，即，故A正确； B．由A项知单摆M的固有周期为 根据单摆周期公式 代入数据解得摆长，故B正确； C．摆长为的单摆，其固有周期，对应的固有频率 当驱动力的频率等于M的固有频率时，M的振幅最大，用摆长的单摆实验时，M的振幅不是最大，故C错误； D．单摆M做受迫振动，其周期等于驱动力的周期。只有当驱动力周期为时，M的周期才为，并非始终为，故D错误。 故选AB。 限时训练 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江湖州·期末）如图甲所示，一个双线摆由两根上端固定在天花板上的等长细绳与悬挂在两细绳下端的小球组成，绳长均为40 cm，细绳与天花板夹角。如图乙所示，张紧的水平绳上有三个双线摆，分别悬挂三个小球A、B、C，其中A、C处于同一水平面。现让A球在垂直于两根细绳确定的平面摆动起来，带动B球和C球振动。下列说法正确的是（    ） A．图甲中双线摆的周期为 B．图甲中的角增大，周期变短 C．图乙中B球的振幅比C球大 D．图乙中适当减小A球细绳与水平方向夹角，可以增大B球的振幅 【答案】D 【详解】A．双线摆的等效摆长是小球到摆动轴（天花板两个悬点连线）的垂直距离，即，单摆周期公式，已知绳长，，取 解得，故A错误； B．增大时，增大；由可知，摆长增大，周期变大，故B错误； C．摆动后，、做受迫振动，驱动力频率等于的固有频率。由题干知、同一水平面，因此和的等效摆长相等，固有频率相等，所以发生共振，振幅大于，故C错误； D．位置高于，因此的等效摆长更小，固有频率更大，大于原有的固有频率。适当减小球细绳与水平方向的夹角，的等效摆长减小，的固有频率增大，逐渐接近的固有频率，的振幅会增大，故D正确。 故选D。 2．（24-25高二下·河南洛阳·期末）如图所示，水平放置的汽缸内封闭着一定质量的理想气体，外界压强。保持不变。质量m、横截面积为S的活塞离汽缸底部距离为l时处于平衡状态。现将活塞从平衡位置稍稍向外移动Δx（Δxl）后释放，如果活塞所受合外力满足F=-kΔx形式，则活塞运动的周期为。假设汽缸内气体温度不变，忽略一切摩擦。则活塞从释放到第一次回到平衡位置的时间t为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由平衡条件可知，原来汽缸内气体的压强 设活塞移动后汽缸内气体的压强为，整个过程为等温变化，由玻意耳定律可得 解得 因为Δxl 所以活塞移动后，作用在活塞上使它回到平衡位置的力为 结合简谐振动的回复力 可知 活塞运动的周期 则活塞从释放到第一次回到平衡位置的时间 故选B。 3．（24-25高二下·北京昌平·期末）如图1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。已知重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．t=0时，小球处于平衡位置 B．小球在最低点时的加速度大小为20m/s² C．0-2s内，弹力对小球做的功为0 D．0-2s内，小球受弹力的冲量大小为4 【答案】D 【详解】A． t=0时，弹簧弹力最大；小球处于平衡位置时弹簧弹力的大小与小球的重力相等，故A错误； B．弹簧与小球组成的系统，静止时弹簧处于伸长状态，伸长量为x，此时弹簧弹力等于小球重力，根据题中信息可知，小球运动到最上端时，弹簧的弹力为0，弹簧处于原长，根据弹簧运动的对称性可知，弹簧位于最下端时，弹簧的伸长量为2x，此时弹簧的弹力为4N，因此当弹簧伸长量为x时，弹力大小为2N，此时弹力等于小球的重力，因此小球的质量为 小球在最低点时 解得，故B错误； C．0-2s内，小球从最低点到最高点，弹力对小球做的功不为0，故C错误； D．根据动量定理可知，外力的冲量之和等于动量的变化量，即 零时刻小球位于最低点，速度为零，第2s末时刻小球位于最高点，速度也是零，因此可知 所以弹簧弹力的冲量大小是，故D正确。 故选D。 4．（24-25高二下·河南信阳·阶段检测）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧中心轴线与细杆平行，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的振幅等于A、B间的距离 B．小球在A、B位置时，动能和加速度都为零 C．小球从B到O的过程中，弹簧振子振动的机械能保持不变 D．小球从O到B的过程中，回复力做负功，弹簧弹性势能减小 【答案】C 【详解】A．小球振动的振幅等于A、O间的距离，故A错误； B．在A、B位置时，速度为零，动能最小，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误； C．振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即弹簧振子振动的机械能保持不变，故C正确； D．小球从O到B的过程中，回复力做负功，弹簧弹性势能增加，故D错误。 故选C。 5．（25-26高二下·福建龙岩·期末）如图甲所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水面，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，取竖直向上为正方向，试管振动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（     ） A．该试管的振幅为1 m，周期为4 s B．t＝0.5 s与t＝1.5 s时试管的速度方向相同 C．t＝1.5 s与t＝2.5 s时试管的位移方向不同 D．t＝0.5 s时试管向下运动，加速度方向竖直向上 【答案】B 【详解】A．由图可知该试管的振幅为A=1 cm，周期为T=4 s，故A错误； B．由图可知t＝0.5 s与t＝1.5 s时试管的速度方向均沿y轴负方向，故B正确； C．由图可知t＝1.5 s与t＝2.5 s时试管的位移方向均为负，故C错误； D．由图可知t＝0.5 s时试管向下运动，加速度方向竖直向下，故D错误。 故选B。 6．（25-26高二下·河南郑州·期末）如图，水平地面上固定一竖直轻质弹簧，弹簧上端拴接一质量为m0的托盘，轻按托盘后松手，用计时器记录托盘n次全振动的时间为t0。将一物块放在托盘上，物块与托盘一起上下振动且没有脱离，记录此时托盘n次全振动的时间为t1。已知弹簧振子做简谐运动的周期公式为（m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数），则可知物块质量为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，振子只有托盘时的周期，振子由托盘和物块组成时的周期，设物块的质量为 由，有， 得 故选A。 【点睛】 二、多选题 7．（25-26高二下·广东江门·期末）如图所示，质量为的小球乙静止在半径为的光滑球面的最低点，且。将质量为的小球甲由左侧端点静止释放，在点与乙球发生正碰，碰撞时间为且碰撞时间很短，碰后甲球速度大小为碰撞前的倍且方向相反。、两点与球心的连线与竖直方向的夹角均为，两小球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．碰撞前甲球的速度为 B．碰撞结束时乙球的速度为 C．碰撞时甲球对乙球的平均作用力为 D．两球在点的左侧发生再次碰撞 【答案】BC 【详解】A．甲球从A点静止释放，下滑到最低点C的过程中，机械能守恒。A点相对C点的高度为，则有 解得，故A错误； B．碰撞时间极短，动量守恒。设碰前甲球速度方向为正方向，碰后甲球速度大小为碰前的0.2倍，方向相反，即 设乙球碰后速度为，有 解得，故B正确； C．忽略碰撞过程中的重力影响，碰撞时间很短，对乙球应用动量定理，有 代入 解得，故C正确； D．球面圆弧，两球的运动均可视为简谐运动，等效摆长均为，周期与振幅无关。 碰撞点在最低点C（平衡位置），碰后甲球向左侧运动，乙球向右侧运动。两球周期相同，经过半个周期后，它们会同时从各自最高点返回到平衡位置C，在C点再次相遇碰撞，故D错误。 故选BC。 三、实验题 8．（25-26高二下·江西赣州·期末）在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于）摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间关系的图像。 (1)关于此单摆下列说法正确的是__________。 A．摆球摆到最高点时速度、加速度均为零 B．摆球摆动过程中合力方向始终沿绳指向悬挂点 C．最低点为平衡位置，此时合力为零 D．摆球的回复力由重力在垂直摆线方向上的分力充当 (2)某同学在实验操作过程中，你认为正确的是__________。 A．选用密度大、体积小的金属球作摆球 B．先测出细线长作摆长，再将细线缠绕在悬点固定好 C．实验中由于操作失误摆球形成圆锥摆运动，仍用原测量摆长计算重力加速度 (3)根据图乙的信息，该单摆的周期为__________（用、表示）；测得正确摆长为，可得当地重力加速度为__________（用、、、表示）。 【答案】(1)D (2)A (3) 【详解】（1）[1] A．摆球摆到最高点时速度为零，但重力沿切线方向的分力提供回复力，加速度不为零，故A错误； B．摆球摆动过程中合力一般有沿切线方向和沿绳方向的分量，方向不始终沿绳指向悬挂点，故B错误； C．最低点为平衡位置，此时回复力为零，但摆球做曲线运动需要向心力，合力不为零，故C错误； D．单摆小角度摆动时，摆球的回复力由重力在垂直摆线方向上的分力充当，故D正确。 故选D。 （2）[2] A．选用密度大、体积小的金属球作摆球，可减小空气阻力和浮力的影响，使摆球更接近质点，故A正确； B．摆长应为悬点到摆球球心的距离，不能只把细线长 当作摆长，且缠绕后有效摆长会改变，故B错误； C．圆锥摆不是同一竖直平面内的小角度单摆，不能仍用原测量摆长计算重力加速度，故C错误。 故选A。 （3）[3] 由图乙可知，绳子拉力最大时摆球经过最低点，相邻两次拉力最大对应摆球两次经过最低点，时间间隔为半个周期，故单摆周期为 [4] 由单摆周期公式 代入，解得 四、解答题 9．（25-26高二下·北京海淀·期末）单摆做小角度摆动过程中，用拉力传感器测量摆线的拉力，得到拉力随时间变化的图像，如图甲所示，拉力的最小值为，最大值为。已知当地重力加速度，不计空气阻力。 (1)由图甲确定单摆做简谐运动的周期。 (2)取，，求单摆的摆长。 (3)不断改变单摆的最大摆角（不大于）重复实验，拉力的最大值和最小值将随摆角变化。已知摆球质量，用已知的物理量推导出和的关系式，并在图乙中作出的关系图线。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）设单摆从最高点释放向右运动，此时为拉力最小值，之后到达最低点，此时为拉力最大值，继续向右运动到达右侧最高点，此时拉力为最小值，之后向左运动到最低点，拉力到达最大值，最后回到左侧最高点，完成一个周期。 因此由图甲，单摆周期 （2）根据单摆周期公式 解得 （3）设摆球在最高点时摆线与竖直方向夹角为，此时有 摆球在最低点时，根据牛顿第二定律有 摆球从最高点运动到最低点的过程中，其机械能守恒，即 联立解得 由此画出的的图线如答图1所示。 10．（25-26高二下·河南南阳·期末）如图，质量为的物体放在质量为的平台上，随平台在竖直方向上一起做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，重力加速度为。求： (1)当运动到最低点时，平台给物体的支持力大小。 (2)求弹簧的劲度系数和最大弹性势能。（弹性势能表达式为） 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）当平台运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，则平台对的支持力也为零；以为研究对象，由牛顿第二定律知 得 方向竖直向下；根据简谐运动的对称性可知，运动到最低点时的加速度大小为，方向竖直向上。则当运动到最低点时，对有 而 解得平台给物体的支持力大小 （2）当运动到最高点时，此时弹簧处于原长状态，根据对称性，当运动到最低点时，弹簧被压缩的长度为，在平衡位置处，有 解得弹簧的劲度系数 所以弹簧最大弹性势能为 解得 学科网（北京）股份有限公司 $