精品解析：山东省临沂市河东区2025-2026学年八年级下学期数学期末卷

2025－2026学年度下学期期末学业水平质量检测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式指化简为最简二次根式后，被开方数与的被开方数相同，因此将各选项化为最简二次根式后判断即可． 【详解】解：选项A中是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项B中，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式，可以合并； 选项C中，化简后被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项D中，不含被开方数为的二次根式，故不能合并． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A，不是同类二次根式，不能合并，，计算错误，不合题意； B，，计算错误，不合题意； C，，计算正确，符合题意； D，，计算错误，不合题意； 故选C． 3. 下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（ ） ①圆的周长是半径的函数； ②表达式中，是的函数； ③下表中，是的函数； ④下图中，曲线表示是的函数． A. ①④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：①根据圆的周长公式可知：对应r的值都有唯一一个C与之对应，所以圆的周长是半径的函数，说法正确； ②表达式中，对应x的每一个值，都有一个y与之对应，所以是的函数，说法正确； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，所以是的函数，说法正确； ④由图象可知：对应x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，曲线表示是的函数，说法正确； 综上所述：正确的有①②③④． 4. 若三点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据判断正比例函数的增减规律，再比较三个点横坐标的大小，即可得到值的大小关系. 【详解】解：∵函数中， ∴随的增大而减小. ∵三个点的横坐标满足， ∴. 5. 一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定为（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，非负数和为零；由非负数和为零的意义得，，由平行四边形的判定方法即可求解；理解非负数和为零的意义，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， 四边形一定是平行四边形． 故选：A． 6. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 7. 在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（ ） A. 使每组数据量相等 B. 保证组间均值相等 C. 减少计算复杂度 D. 使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查离差平方和的实际意义．根据离差平方和与数据差异的关联作答即可． 【详解】解：∵离差平方和用于衡量数据间的差异程度， ∴组内离差平方和最小，代表每组组内数据的差异尽可能小， 又∵总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，即组间数据差异尽可能大， ∴该要求的目的是使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大． 故选：D． 8. 如图，矩形的对角线与交于点，，过点作的垂线分别交，于，两点．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出是等边三角形，则可得的长，进而可得的长，再在中，求出的长，然后证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，往返过程中行驶速度保持不变．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先求出快递车的行驶速度，再求出快递车的行驶总时间，由此即可． 【详解】解：由函数图象可知，快递车的行驶速度为， ∴往返过程中，快递车的行驶总时间为， ∵在每个快递点卸包裹的时间相同， ∴快递车在每个快递点卸包裹的时间为． 10. 如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①；②；③、两点间的距离的取值范围是；④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的性质、勾股定理，逐一判断各个结论的正误． 【详解】解：连接， 在菱形中，，， 则，，， ∴和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， 故结论①正确， ， 故结论②错误， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 当点无限接近时，趋近于，但不与重合， ∴， 当时，最小， ∴，， ∴， ∴， 故结论③错误， ∵是等边三角形，设的边长为，作， ，， ∴， ∴， 当的边长取最小值时，即时，最小，最小值为， 故结论④正确． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 自然数4，5，5，，从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据唯一的众数是5，那么所有满足条件的，中，的最大值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意得x与y都不超过4, 再由这组数据唯一的众数是5, 则x≠4且y≠4, 则x+y的最大值为2+3=5. 【详解】解：这组数据的中位数为4, x≤4,y≤4, 这组数据唯一的众数是5, x≠4且y≠4, 要求x+y的最大值, x=2,y=3,或x=3, y=2, 即x+y的最大值=2+3=5, 故答案为5. 【点睛】本题主要考查众数、中位数的概念，熟练掌握定义是解题的关键. 12. 如图，一个正多边形被撕掉了一块，若边、所在直线互相垂直，则原正多边形的边数为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据正多边形的每个外角都相等，结合三角形的内角和定理求出，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：延长和交于点，如图， 由题意，得，， ∴， ∴正多边形的边数为． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据网格的特点，，在中，根据勾股定理可得，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴． 14. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先验证点是否在直线上，从而确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象的上下位置关系，找出直线在直线下方或重合时对应的自变量的取值范围； 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过点， 当时，， 点也在直线上， 直线与直线的交点坐标为， 在中，令，则， 画图如下; 不等式表示直线的图象在直线的图象下方或重合， 观察图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合， 关于的不等式的解集为． 15. 与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值．根据奇函数的定义可得，将代入求出，从而求出即可． 【详解】解：∵是奇函数， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式、去括号，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法、乘方，再去括号，最后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为，测得，． （1）若，求的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，与（1）中的相比，调节后的长度变长或变短了多少．（其中，，） 【答案】（1） （2）调节后的长度变长了 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理即可求解； （2）如图：过点C作于点G，利用含30度直角三角形的性质、勾股定理求出的长，进而求得的长，然后与比较即可． 【小问1详解】 解：∵，，． ∴． ∴的长为． 【小问2详解】 解：如图：过点C作于点G， ∵，，． ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴调节后的长度变长了． 18. 如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． （1）求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）求的面积． 【答案】（1），点不在直线上，理由 设直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得 直线的表达式为， 当时，， 点不在直线上； （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，代入，即可求得表达式，将代入表达式进行判断即可； （2）设与轴交于点，则点，点，由题意得，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与轴交于点，则点，点， ， 由题意得， 解得， 点， ． 19. 如图，菱形中，分别延长至点E、F，使，，连结． （1）求证：是等腰三角形； （2）连结，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，勾股定理： （1）根据菱形的性质以及三角形中位线定理可得，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，再由菱形的性质可得，且．在中，根据勾股定理可得，然后在中，根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：连结交于点， ∵，，， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴，且． ∴在中，， ∴在中，． 20. 某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，98，60，91，92； 乙：90，65，90，80，93，65，93，90，96，80． （1）小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：，________；方差：，，可以看出，________（填甲或乙）的测试更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图）进行分析： ①写出甲数据的四分位数：________；________；________； ②根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图； ③根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲乙两人成绩的看法（至少写出三条）． 【答案】（1）84.2；乙 （2）①70；90；96； ②甲的箱线图如图所示： ③两人平均成绩相同，整体水平相当；甲的最高分更高，成绩上限更强，但是最低分更低，整体波动更大；甲的上四分位数高于乙，说明甲的高分段成绩更突出． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义即可求解，再由方差越小数据越稳定即可比较甲和乙谁稳定； （2）根据四分位数的定义，以及画箱线图的格式求解作图即可；再由箱线图中四分位数、最值、中位数的意义分析即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴ ∴乙的测试更稳定； 【小问2详解】 解：①甲数据排列为60，68，70，78，89，91，92，96，98，100， 方法一：，取整数3，即第3个数据为； ，则为第5，6个数据的平均数，则； ，取整数，即第个数据为； 方法二：中位数是第5，6个数据的平均数，即； 为前个数据的中位数，故； 为后个数据的中位数，故； ②甲组数据的最大值为100，最小值为60，结合①中四分位数作出箱线图见答案； ③略 21. 【发现问题】设定点是轴上表示的点，点为轴上的一个动点，，两点的距离随着点的位置改变而改变，由此猜想该变化规律可用函数描述． 【提出问题】设动点到点的距离为，探究与自变量之间的函数关系并研究其图象和性质． 【解决问题】 （1）填空：该函数的解析式为_________； （2）补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象； … … … 0 … （3）观察函数图象，写出该函数的两条性质： ①________________；②________________； （4）此函数图象与直线的交点坐标是________________． 【答案】（1） （2）补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象； … … … 2 1 0 1 2 … 描点、连线，绘制函数的图象如图： （3）①函数图象关于直线对称； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） （4）和 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式解答即可； （2）将依次代入计算，再填表，描点、连线，绘制函数的图象即可； （3）根据函数图象解答即可； （4）根据函数图象即可解答； 【小问1详解】 解：根据题意可得，A点坐标为， ∵在x轴上， ∴两点距离为， ∴解析式为； 【小问2详解】 解：时，； 时，； 时，； 时，； 填表，画图见答案； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：根据函数图象可得函数的图象与直线的交点坐标为和． 22. 某滑雪场面向中学生体育社团推出两套滑雪付费方案，设总花费为（元），滑雪次数为（次）． 甲方案：无会员费，单次收费元，累计消费元后，超过的部分按元/次收费．此时与的函数关系如图所示． 乙方案：先预缴元年度会员费，再按次数计费，此时与的关系如下表所示． 滑雪次数（次） 收费（元） （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙方案关于的函数图象，并判断函数类型； （2）求乙方案关于的函数表达式； （3）对于的取值情况进行分析，试说明选择哪种方案比较便宜． 【答案】（1） 乙方案关于的函数是一次函数 （2） （3）当时，甲方案合算， 当时，甲、乙两种方案费用相同， 当时，乙方案合算， 当时，甲、乙两种方案费用相同， 当时，甲方案合算 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中描点、连线画出函数图象，根据函数图象可知，乙方案关于的函数是一次函数； （2）用待定系数法求出乙方案关于的函数关系式； （3）根据函数图象说明选择哪种方案比较便宜． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设乙方案关于的函数关系式是， 把点，代入， 可得：， 解得：， 乙方案关于的函数关系式是； 【小问3详解】 解：如下图所示， 当时，甲方案合算， 当时，甲、乙两种方案费用相同， 当时，乙方案合算， 当时，甲、乙两种方案费用相同， 当时，甲方案合算． 23. 如图，在正方形中，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，与对角线相交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，点，，分别是三条边，，上的动点，若，，求的最小值（直接写出结果即可）． 【答案】（1） 证明：如图，过点作，与相交于点， ∵是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：如图，取的中点，连接， 由（）得， ∴为中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）过点作，与相交于点，由正方形性质得，，再证明，由全等三角形的性质即可求证； （）取的中点，连接，由中位线性质得，，通过勾股定理即可求证； （）连接，根据四边形是正方形得，由勾股定理求出， 又得，当，时，最小，最后根据等面积法即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接， 由（）得为中点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 则当，时，最小， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期期末学业水平质量检测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（ ） ①圆的周长是半径的函数； ②表达式中，是的函数； ③下表中，是的函数； ④下图中，曲线表示是的函数． A. ①④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 4. 若三点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定为（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（ ） A. 使每组数据量相等 B. 保证组间均值相等 C. 减少计算复杂度 D. 使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 8. 如图，矩形的对角线与交于点，，过点作的垂线分别交，于，两点．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，往返过程中行驶速度保持不变．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 10. 如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①；②；③、两点间的距离的取值范围是；④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③ D. ①④ 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 自然数4，5，5，，从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据唯一的众数是5，那么所有满足条件的，中，的最大值是_____． 12. 如图，一个正多边形被撕掉了一块，若边、所在直线互相垂直，则原正多边形的边数为_________． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 14. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为________． 15. 与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为，测得，． （1）若，求的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，与（1）中的相比，调节后的长度变长或变短了多少．（其中，，） 18. 如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． （1）求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）求的面积． 19. 如图，菱形中，分别延长至点E、F，使，，连结． （1）求证：是等腰三角形； （2）连结，若，，求的长． 20. 某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，98，60，91，92； 乙：90，65，90，80，93，65，93，90，96，80． （1）小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：，________；方差：，，可以看出，________（填甲或乙）的测试更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图）进行分析： ①写出甲数据的四分位数：________；________；________； ②根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图； ③根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲乙两人成绩的看法（至少写出三条）． 21. 【发现问题】设定点是轴上表示的点，点为轴上的一个动点，，两点的距离随着点的位置改变而改变，由此猜想该变化规律可用函数描述． 【提出问题】设动点到点的距离为，探究与自变量之间的函数关系并研究其图象和性质． 【解决问题】 （1）填空：该函数的解析式为_________； （2）补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象； … … … 0 … （3）观察函数图象，写出该函数的两条性质： ①________________；②________________； （4）此函数图象与直线的交点坐标是________________． 22. 某滑雪场面向中学生体育社团推出两套滑雪付费方案，设总花费为（元），滑雪次数为（次）． 甲方案：无会员费，单次收费元，累计消费元后，超过的部分按元/次收费．此时与的函数关系如图所示． 乙方案：先预缴元年度会员费，再按次数计费，此时与的关系如下表所示． 滑雪次数（次） 收费（元） （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙方案关于的函数图象，并判断函数类型； （2）求乙方案关于的函数表达式； （3）对于的取值情况进行分析，试说明选择哪种方案比较便宜． 23. 如图，在正方形中，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，与对角线相交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，点，，分别是三条边，，上的动点，若，，求的最小值（直接写出结果即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $