精品解析：山东枣庄市峄城区2025—2026学年度第二学期期末质量监测八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试题 本试卷共6页，满分120分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 以数学家名字命名的现象广泛存在于数学定理、公式、常数、猜想、学科分支及奖项中．以下是四个用数学家名字命名的数学图形，其中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 欧拉螺线 C. 科赫雪花 D. 笛卡儿叶形线 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故不符合题意． 2. 已知一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合条件的不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据数轴可得不等式组为． 3. 景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 4. 下列各式：①，②，③，从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：①③为因式分解；②项不属于因式分解； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了因式分解的定义，正确把握因式分解的定义是解题关键． 5. 下列算式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键． 【详解】解：A、，选项正确，不符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、，选项错误，符合题意． 故选：D． 6. 下列从左到右的分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，分式的分子分母同时加上同一个整式，不满足分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此A错误； 对于B，该变形是分子分母同乘，但未说明，当时，右侧分母为0，无意义，因此B错误； 对于C，原式分母为，，分子分母同时约去公因式，可得，变形正确，因此C正确； 对于D，该变形不符合分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此D错误． 7. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先变形方程统一分母形式，确定最简公分母后，给方程两边同乘最简公分母消去分母，整理后对比选项得到结果． 【详解】解：， ∴原方程可变形为， 给方程两边同时乘以最简公分母，得： ， 整理右边得：． 8. 《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度、时间的关系表示出甲、乙两人的用时，注意统一单位，再根据时间差列出方程即可． 【详解】甲的速度为里/时，乙骑马速度是甲步行速度的倍， 乙的速度为里/时， 根据时间路程速度， 可得：甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， 乙比甲早到分钟，统一单位得分钟小时，甲用时比乙多小时， 可列方程． 9. 五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，再结合图形分析即可得出结果． 【详解】解：根据题意，应先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，如图： ． 10. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（ ） A. Ⅰ，Ⅱ都是 B. Ⅰ，Ⅱ都不是 C. 只有Ⅰ是 D. 只有Ⅱ是 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：方案Ⅰ： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形一定是平行四边形； 方案Ⅱ： 如图，在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足， 根据，，不能判定四边形是平行四边形，即方案Ⅱ得到的四边形不一定是平行四边形． 综上，只有方案Ⅰ得到的四边形一定是平行四边形． 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只要求在答题纸上填写最后结果． 11. 若分式，则x的值为______． 【答案】－1 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，需同时满足分子等于零，分母不等于零，先求解分子得到的可能取值，再排除使分母为零的取值，即可得到最终结果． 【详解】解：由题意可得 解，得，即， 由，得， ． 12. 如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是______． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】根据四边形内角和，等腰梯形的两个底角相等，得到，求解即可； 【详解】解：根据题意，得四边形内角和， 由等腰梯形的两个底角相等，得到， 解得； 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：，， ． 14. 若关于方程无解，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】将方程化为整式方程，求出增根，代入整式方程，求解即可． 【详解】解：方程去分母，得， 整理得：， ∵于方程无解， ∴整式方程的解就是增根， 令，则， 把代入，得，解得． 15. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知，根据平行四边形的性质结合已知条件推出，进而求出的长，勾股定理求出即可． 【详解】解：在中， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，. 16. 如图所示，风车图案是由若干等腰直角三角形组成的中心对称图形，．以风车的对称中心为原点建立直角坐标系，将点绕点逆时针旋转得到点；将点绕点逆时针旋转得到点；如此循环进行下去，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得点的坐标每次旋转为一个循环，然后通过，得的坐标和相同，求出坐标即可． 【详解】解：如图， 根据题意得每次旋转，则旋转一周所需要的次数为（次），即点的坐标每次旋转为一个循环， ∵， ∴的坐标和相同， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 分解因式及解不等式组： （1）分解因式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将所求式子进行变形，再提取公因式即可得出结果； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，已知点坐标为，点坐标为． （1）将点绕着点逆时针旋转得到点，请在方格纸中画出； （2）将平移得三角形，使得点与对应，点与对应，点与对应，其中点的坐标为，画出； （3）平移的距离为________； （4）连接、，四边形面积为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质即可作出旋转后的图形； （2）利用平移定义即可作出平移后的图形； （3）根据勾股定理求得的长，即可求解； （4）利用补全法，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：，即平移的距离为 【小问4详解】 解：四边形面积为 19. 观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ③ （1）解题过程中开始出现错误的是步骤_________（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的值是3，求图中被遮住的的值． 【答案】（1）③，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）理解题意，认真分析解题过程，得出出现错误的是步骤③，再按要求写出正确的化简过程，即可作答． （2）理解题意，建立方程，解得，最后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，观察解题过程，得出开始出现错误的是步骤③， 原式 ， 【小问2详解】 解：由（1）得原式 代入后的值为3， ， 解得：， 经检验，，，故为原方程的根． 20. 以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________， 得① 去括号，得② 解得③ 检验：当时，…④ 所以，原分式方程的解为⋯⑤ （1）该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） （2）第①步的横线上，应填写的最简公分母是________； （3）写出原分式方程正确的解答过程； 【答案】（1）① （2） （3）正确解答过程： 整理： 两边同乘： 去括号 移项合并， 解得 检验：时， 所以，原分式方程的解为： 【解析】 【小问1详解】 解：该同学的解法从第①步开始出现错误； 【小问2详解】 解：第①步的横线上，应填写的最简公分母是； 【小问3详解】 略 21. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，平行四边形的性质以及三角形内角和定理求解； （2）根据平行四边形的性质以及等角对等边得出相关线段的长度，利用勾股定理逆定理得出直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴平行四边形的面积为． 22. 综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】 (1) (2) 等腰三角形，理由如下： ∵ ∴ ∵三角形的三边长分别是，， ∴ ∴即 ∴这个三角形是等腰三角形. 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键． (1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解； (2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状. 【详解】（1）解： 原式 （2）略 23. 端午节，是中国四大传统节日之一，在这一天，人们会赛龙舟、吃粽子、挂艾草等．小明妈妈为了过端午节，在端午节前夕去超市购买了鲜肉粽和红枣粽两种粽子共6千克，鲜肉粽花了84元，红枣粽花了28元，其中每千克鲜肉粽的价格是每千克红枣粽的1.5倍． （1）请你利用所学知识算一算，小明妈妈购买的鲜肉粽和红枣粽分别是每千克多少元？ （2）若买10千克这两种粽子的钱不超过154元，则鲜肉粽最多能买多少千克？ 【答案】（1）红枣粽每千克14元，鲜肉粽每千克21元 （2）鲜肉粽最多能买2千克 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，注意分式方程要检验． （1）设红枣粽每千克元，则鲜肉粽每千克1.5x元，然后根据购买了鲜肉棕和红枣粽两种棕子共6千克，可以列出相应的分式方程，然后求解，注意分式方程要检验； （2）鲜肉粽买了千克，则红枣粽买了千克，根据买10千克这两种粽子的钱不超过154元，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 设红枣粽每千克元，则鲜肉粽每千克1.5x元． 依题意，得，解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意， （元）． 答：红枣粽每千克14元，鲜肉粽每千克21元． 【小问2详解】 设鲜肉粽买了千克，则红枣粽买了千克． 依题意，得， 解得． 答：鲜肉粽最多能买2千克． 24. 综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 （1）证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 （3）如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）24 （3）与互相平分，证明见解析 【解析】 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【小问1详解】 解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； 【小问2详解】 解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； 【小问3详解】 解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试题 本试卷共6页，满分120分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 以数学家名字命名的现象广泛存在于数学定理、公式、常数、猜想、学科分支及奖项中．以下是四个用数学家名字命名的数学图形，其中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 欧拉螺线 C. 科赫雪花 D. 笛卡儿叶形线 2. 已知一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合条件的不等式组为（ ） A. B. C. D. 3. 景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 4. 下列各式：①，②，③，从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 5. 下列算式不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列从左到右的分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 9. 五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（ ） A. Ⅰ，Ⅱ都是 B. Ⅰ，Ⅱ都不是 C. 只有Ⅰ是 D. 只有Ⅱ是 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只要求在答题纸上填写最后结果． 11. 若分式，则x的值为______． 12. 如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是______． 13. 已知，，则______． 14. 若关于方程无解，则的值是______． 15. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是____． 16. 如图所示，风车图案是由若干等腰直角三角形组成的中心对称图形，．以风车的对称中心为原点建立直角坐标系，将点绕点逆时针旋转得到点；将点绕点逆时针旋转得到点；如此循环进行下去，点的坐标是______． 三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 分解因式及解不等式组： （1）分解因式：； （2）解不等式组：． 18. 如图，已知点坐标为，点坐标为． （1）将点绕着点逆时针旋转得到点，请在方格纸中画出； （2）将平移得三角形，使得点与对应，点与对应，点与对应，其中点的坐标为，画出； （3）平移的距离为________； （4）连接、，四边形面积为________． 19. 观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ③ （1）解题过程中开始出现错误的是步骤_________（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的值是3，求图中被遮住的的值． 20. 以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________， 得① 去括号，得② 解得③ 检验：当时，…④ 所以，原分式方程的解为⋯⑤ （1）该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） （2）第①步的横线上，应填写的最简公分母是________； （3）写出原分式方程正确的解答过程； 21. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，，求平行四边形的面积． 22. 综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 23. 端午节，是中国四大传统节日之一，在这一天，人们会赛龙舟、吃粽子、挂艾草等．小明妈妈为了过端午节，在端午节前夕去超市购买了鲜肉粽和红枣粽两种粽子共6千克，鲜肉粽花了84元，红枣粽花了28元，其中每千克鲜肉粽的价格是每千克红枣粽的1.5倍． （1）请你利用所学知识算一算，小明妈妈购买的鲜肉粽和红枣粽分别是每千克多少元？ （2）若买10千克这两种粽子的钱不超过154元，则鲜肉粽最多能买多少千克？ 24. 综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 （1）证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 （3）如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $