1.1 认识特殊平行四边形（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 1.1认识特殊平行四边形 知识归纳与题型总结 考点01 菱形 1．定义：如果一个平行四边形存在一组相邻边长相等，那么该图形即为菱形。 2．轴对称性：属于轴对称图形，一共具备两条对称轴；两条对称轴对应图形两条对角线所在的直线。 3．中心对称性：属于中心对称图形，两条对角线相交的交点是它的对称中心点；将图形围绕对称中心旋转 180 度后，能够和初始图形完全重合。 考点02 矩形 1．定义：平行四边形中只要存在一个内角为直角，这类图形就称作矩形。 2. 轴对称性：该图形属于轴对称图形，总计拥有两条对称轴；两条对称轴为经过对边中点的直线。 3. 中心对称性：该图形属于中心对称图形，两条对角线相交形成的交点为对称中心；将图形围绕对称中心旋转 180°，图形能够和自身完全重合。 考点03 正方形 1．定义：若某个平行四边形存在任一内角为 90°，则该几何图形称为矩形。 2. 轴对称性：矩形属于轴对称图形，总共存在两条对称直线，两条对称轴为各组对边中点相连形成的直线。 3. 中心对称性：矩形具备中心对称的特性，两条对角线相交产生的交点是它的对称中心点；以对称中心为定点旋转 180° 后，图形可以和自身完全重合。 考向01 认识特殊平行四边形 【例1】如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【对点1】如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， 由勾股定理可得， ∵以为圆心，为半径画弧交射线于点， ∴， ∴， ∴． 一、选择题 1．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．正方形的对称轴有四条 C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D．菱形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【详解】解：∵平行四边形的对角相等，∴A选项说法正确，不符合题意； ∵正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有条对称轴，∴B选项说法正确，不符合题意； ∵矩形绕对角线交点旋转能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴C选项说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，∴D选项说法错误，符合题意． 2．在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（     ） A．6 B．12 C．15 D．20 【答案】B 【分析】利用菱形四边相等的性质，结合已知角度判定等边三角形，求出边长后即可计算菱形周长． 【详解】解∶如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为． 3．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点F，利用平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， 延长交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在矩形中，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方形的条件可知，，，再根据A，B，C三点的坐标特征，找到点D的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 7．如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可知间的距离即为线段的长，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴间的距离即为线段的长， ∵， ∴间的距离为． 8．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 9．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 10．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断题目给出的五个图形，统计符合条件的图形个数即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 综上，符合要求的图形共个． 二、填空题 11．如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 【答案】 【分析】先由正方形的性质结合勾股定理求解，再由求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵ ∴． 12．如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 【答案】13 【分析】根据矩形的性质和中点的定义得到，，，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵E为中点， ∴， ∴． 13．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 14．如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______． 【答案】3 【分析】本题可利用正方形对角线相等的性质，根据正方形面积等于对角线乘积的一半直接求解． 【详解】解：∵ 正方形的对角线相等，已知一条对角线长为， ∴ 另一条对角线长也为， 正方形面积 ． 15．矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【答案】 /两 中点 【分析】根据对称轴定义结合矩形的特征，确定对称轴的数量与位置. 【详解】解：∵若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该直线为图形的对称轴， ∴对于矩形，沿经过对边中点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， ∴矩形共有条对称轴，过对边中点的直线即为矩形的对称轴. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 1.1认识特殊平行四边形 知识归纳与题型总结 考点01 菱形 1．定义：如果一个平行四边形存在一组相邻边长相等，那么该图形即为菱形。 2．轴对称性：属于轴对称图形，一共具备两条对称轴；两条对称轴对应图形两条对角线所在的直线。 3．中心对称性：属于中心对称图形，两条对角线相交的交点是它的对称中心点；将图形围绕对称中心旋转 180 度后，能够和初始图形完全重合。 考点02 矩形 1．定义：平行四边形中只要存在一个内角为直角，这类图形就称作矩形。 2. 轴对称性：该图形属于轴对称图形，总计拥有两条对称轴；两条对称轴为经过对边中点的直线。 3. 中心对称性：该图形属于中心对称图形，两条对角线相交形成的交点为对称中心；将图形围绕对称中心旋转 180°，图形能够和自身完全重合。 考点03 正方形 1．定义：若某个平行四边形存在任一内角为 90°，则该几何图形称为矩形。 2. 轴对称性：矩形属于轴对称图形，总共存在两条对称直线，两条对称轴为各组对边中点相连形成的直线。 3. 中心对称性：矩形具备中心对称的特性，两条对角线相交产生的交点是它的对称中心点；以对称中心为定点旋转 180° 后，图形可以和自身完全重合。 考向01 认识特殊平行四边形 【例1】如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【对点1】如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 一、选择题 1．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．正方形的对称轴有四条 C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D．菱形的对角线相等且互相平分 2．在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（     ） A．6 B．12 C．15 D．20 3．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 9．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 10．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 12．如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 13．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 14．如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______． 15．矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $