第03讲 矩形的性质与判定（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学新教材北师大版

第03讲 矩形的性质与判定（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+3个知识归纳+14个题型+课后作业】 模块二 矩形的性质与判定 你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎么发现的？能证明这些性质吗？ 【知识点1 矩形的性质】 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 【知识点2 直角三角形的性质定理】 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点，则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 【知识点3 矩形的判定】 1．根据定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．根据对角线：对角线相等的四边形是矩形． 3．根据角：有三个角是直角的四边形是矩形． 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【例1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于_____． 【变式1-2】如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 【题型2 利用矩形的性质求线段长】 【例2】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，，且，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 【变式2-1】如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式2-2】如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上的一点，连接，F为的中点，若，则的长为_______． 【变式2-3】如图，在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上，如果四边形是矩形，那么的长等于______． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【例3】如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【变式3-1】如图，矩形的对角线相交于点O，，，求矩形的面积． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，为直线上一点，平移至，连接，，则四边形的面积是____________． 【变式3-3】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【题型4 利用矩形的性质证明】 【例4】如图，在矩形中，于点，于点，连接和，求证：． 【变式4-1】如图，点为矩形内的一点，，求证：． 【变式4-2】如图，已知四边形中，，连接，，是延长线上一点，，．求证：． 【变式4-3】如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，连接、，且． （1）求证：． （2）求证：． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【题型6 矩形与折叠问题】 【例6】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【变式6-1】如图，在矩形中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长是________． 【变式6-2】如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【变式6-3】如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将沿着折叠后，点的对应点刚好落在的中点处，是的中点，是的中点，连接，求________． 【题型7 直角三角形斜边上的中线问题】 【例7】如图，在中，，，为中点，在上，连接，，且，，则________． 【变式7-1】如图，在中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为____． 【变式7-2】如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【变式7-3】如图，，在中，，，，顶点B、C分别在边、上滑动，滑动过程中，点A到点O的最大距离为________． 【题型8 证明四边形是矩形】 【例8】在四边形中，、相交于点，，，那么下列条件中不能判定四边形是矩形的是（   ）． A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（     ）． A． B． C． D． 【变式8-2】如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【变式8-3】如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【题型9 根据矩形的性质与判定求角度】 【例9】如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 【变式9-1】如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 【变式9-2】如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． （1）求证：； （2）当四边形是矩形时，若，求的度数． 【变式9-3】如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，． （1）求证：； （2）若点，分别为，的中点，，求的度数． 【题型10 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例10】如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【变式10-1】如图，在四边形中，，则的长是______． 【变式10-2】如图，点O是的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，，则的周长为_______． 【变式10-3】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【题型11 根据矩形的性质与判定求面积】 【例11】如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【变式11-1】如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 【变式11-2】如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求S的值． 【变式11-3】如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【题型12 矩形与最值问题】 【例12】如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 【变式12-1】如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为______． 【变式12-2】如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当_____时，四边形的周长最小． 【变式12-3】如图，在矩形中，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且满足，连接，则的最小长度为______． 【题型13 矩形与动点问题】 【例13】如图，在矩形中，，动点，分别从点，同时发出，点以的速度向点运动，到点停止运动，点以速度向点运动，到点停止运动，设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． （2）连接，当为何值时，？ 【变式13-1】如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式13-2】如图，在四边形中，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则从运动开始，需经过________秒，能使． 【变式13-3】如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． （1）若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； （2）若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 【题型14 矩形与旋转问题】 【例14】在综合与实践课上．老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、． （1）初步感知 如图①，当点落在边上时，线段的长度为______； （2）迁移探究 如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度． （3）拓展应用 如图③，设点在边上，且，连接、、，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为______． 【变式14-1】数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题：如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． （1）连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． （2）求证：． 【变式14-2】如图，在矩形中，，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，连接、． （1）如图2，点E落在对角线上，与相交于点H， ①连接，求证：四边形是平行四边形； ②求线段的长度； （2）在矩形绕点A旋转一周的过程中，面积的最大值为 ． 【变式14-3】如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 模块三 课后作业 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 3．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为__________． 5．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 6．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 7．如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ． 8．如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 9．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，BD平分．求证：四边形EBFD为菱形． 10．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点B作于点E，若，求的度数． 11．如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 12．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． （1）求的面积． （2）若点、分别是的中点，连接，求的长． 13．如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． （1）直接写出的长； （2）有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； （3）有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 14．在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． （1）如图①，当时，______；如图②，当时，______； （2）如图③，当边经过点B时，______； （3）如图④，当点F落在的延长线上时，______． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 矩形的性质与判定（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+3个知识归纳+14个题型+课后作业】 模块二 矩形的性质与判定 你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎么发现的？能证明这些性质吗？ 【知识点1 矩形的性质】 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 【知识点2 直角三角形的性质定理】 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点，则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 【知识点3 矩形的判定】 1．根据定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．根据对角线：对角线相等的四边形是矩形． 3．根据角：有三个角是直角的四边形是矩形． 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【例1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于_____． 【答案】28 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，利用等边对等角可得，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ． 故答案为：28． 【变式1-2】如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O，由得，则可得；由矩形性质即可求得结果． 【详解】解：如图，连接交于O， 在矩形中，，； ∵， ， ， ， ∵， ． 故选：B． 【变式1-3】如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可得，是等边三角形，进而得到，，即得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：30． 【题型2 利用矩形的性质求线段长】 【例2】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，，且，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 【答案】B 【分析】设，根据矩形对角线相等且互相平分的性质和已知的条件可得与x的关系，再在中根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进一步即可求出与的长，然后在中再次运用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ，即，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-1】如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，即可判定为等边三角形，则，求出对角线，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 故选：C． 【变式2-2】如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上的一点，连接，F为的中点，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】三角形的中位线定理，求出的长，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可. 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O，， ∴，， ∵F为的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：． 【变式2-3】如图，在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上，如果四边形是矩形，那么的长等于______． 【答案】 【分析】连接，，，设交于点，根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，，，设交于点，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【例3】如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 故答案为：． 【变式3-1】如图，矩形的对角线相交于点O，，，求矩形的面积． 【答案】 【分析】首先利用矩形的性质证明是等边三角形，然后再利用勾股定理计算出长，进而可得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴、相等且互相平分，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是：． 故答案为：． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，为直线上一点，平移至，连接，，则四边形的面积是____________． 【答案】40 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是利用“同底等高的两个三角形面积相等”求出的面积． 先根据矩形的性质得到，再根据平移至可得，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形为矩形， ， ， ∵平移至， ∴四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 故选：C． 【题型4 利用矩形的性质证明】 【例4】如图，在矩形中，于点，于点，连接和，求证：． 【分析】利用矩形性质得 ．结合 、，用证明 ，得 且 ．由一组对边平行且相等，得四边形是平行四边形，因此 ，根据两直线平行，内错角相等，推出结论． 【详解】证明：连接，交于点． ∵ 四边形是矩形， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 在和中， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ 四边形是平行四边形． ∴ ． ∴ ． 【变式4-1】如图，点为矩形内的一点，，求证：． 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据矩形的性质求出 ，求出 ，根据推出即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ，即 ， 在和中， ∴ ， ∴． 【变式4-2】如图，已知四边形中，，连接，，是延长线上一点，，．求证：． 【分析】本题考查矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等腰三角形三线合一性质．首先证明出四边形是矩形从而证明出，，又因为，所以能证明出，所以四边形是平行四边形，所以． 【详解】， 是等腰三角形， ， ， 即， 又， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， 【变式4-3】如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，连接、，且． （1）求证：． （2）求证：． 【分析】（1）根据矩形的性质得，，证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据矩形的性质得，，结合（1）的结论可证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 故选：D． 【变式5-1】如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交y轴于点E，则轴．即有，则A点的横坐标为3；根据轴，可得A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，进一步问题得解． 【详解】解：延长交y轴于点E，则轴．    ∵，， ∴， ∴A点的横坐标为3； ∵轴，， ∴A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3， ∴B点的坐标为． 故选：A． 【变式5-2】如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 故答案为：． 【题型6 矩形与折叠问题】 【例6】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，，由折叠的性质可得，，推出，，设，用勾股定理解求出，，作于点H，得矩形，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， 如图，作于点H，则四边形是矩形， ，， ， ． 故选：C． 【变式6-1】如图，在矩形中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，根据折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出，进而求出，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，． 由折叠的性质可知，，． 在中，由勾股定理得，． ． 设，则，． 在中，由勾股定理得，， 即． 解得． 的长是． 故答案为：． 【变式6-2】如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，利用折叠的性质得出，，，从而求出的长，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 故选：C． 【变式6-3】如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将沿着折叠后，点的对应点刚好落在的中点处，是的中点，是的中点，连接，求________． 【答案】 【分析】在上作点F关于的对称点H，连接，则，，根据折叠的性质可得点H为的中点，从而得到，进而得到，再结合矩形的性质以及勾股定理可得，，从而得到，连接，过点H作于点M，则，可得为等边三角形，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，在上作点F关于的对称点H，连接，则，， 由折叠的性质得：， ∵是的中点，是的中点， ∴，即点H为的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点刚好落在的中点， ∴， 在中， ， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接，过点H作于点M，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7 直角三角形斜边上的中线问题】 【例7】如图，在中，，，为中点，在上，连接，，且，，则________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，从而得出，再求出的长，利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， ， 在中，， ，为中点， ． 故答案为：． 【变式7-1】如图，在中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为____． 【答案】14 【分析】根据三角形中位线定理得出，根据直角三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，分别是，的中点， ，， 的周长为． 故答案为：14． 【变式7-2】如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形， 点是的中点， ， ． 故答案为：． 【变式7-3】如图，，在中，，，，顶点B、C分别在边、上滑动，滑动过程中，点A到点O的最大距离为________． 【答案】25 【分析】取的中点M，连接，，由直角三角形斜边中线的性质得，在中，由勾股定理得，然后根据即可求出点A到点O的最大距离． 【详解】解：取的中点M，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴当O、M、A三点共线时，取得最大值，最大值为． 故答案为：25． 【题型8 证明四边形是矩形】 【例8】在四边形中，、相交于点，，，那么下列条件中不能判定四边形是矩形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【详解】解：如图 A、，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 即对角线平分且相等， 四边形为矩形，正确，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形，该选项不符合题意； C、，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形，正确，不符合题意； D、，，， 无法得出， 故无法得出四边形是平行四边形， 进而无法得出四边形是矩形，错误，符合题意； 故选：D． 【变式8-1】如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）进行选择即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 若要使平行四边形成为矩形， 根据矩形的判定定理，需添加对角线相等或有一个角是直角， A. 添加，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定，A符合题意； B. 添加，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定，B不符合题意； C. 添加，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定，C不符合题意； D. 添加，无法判定四边形是矩形，D不符合题意． 故选：A． 【变式8-2】如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用三角形中位线定理，先证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形；再通过添加条件使对角线互相垂直，让平行四边形的一个内角为直角，进而证明它是矩形． 【详解】解：，（答案不唯一）， 如图，连接， ∵ 在中，分别是的中点， ∴，， 同理，在中，分别是的中点， ∴，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 当，平行四边形有一个直角，即成为矩形． 【变式8-3】如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 【题型9 根据矩形的性质与判定求角度】 【例9】如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 【变式9-1】如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． 【变式9-2】如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． （1）求证：； （2）当四边形是矩形时，若，求的度数． 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 【变式9-3】如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，． （1）求证：； （2）若点，分别为，的中点，，求的度数． 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，即可利用证全等； （2）利用平行四边形的性质证出和，得到和，推出四边形是平行四边形，再证出即可推出四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 【题型10 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例10】如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】如图，在四边形中，，则的长是______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据平行线的性质和矩形的判定定理证明四边形是矩形，从而得到，，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 四边形是矩形 在中，由勾股定理得 故答案为：． 【变式10-2】如图，点O是的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】先根据平行四边形对角线互相平分得出，再根据三角形中位线定理求出的长，由判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等求出，进而求出，最后利用勾股定理求出及，即可求得周长； 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，点是的中点， 点也是的中点，三点共线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 在中，， 点是的中点， ， 的周长． 故答案为：． 【变式10-3】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【题型11 根据矩形的性质与判定求面积】 【例11】如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点． （1）通过证明，得到，得证四边形是平行四边形，根据，得证结论． （2）根据矩形的性质得到，继而根据勾股定理得到， 根据平行四边形的性质得到，根据割补法计算四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 又为中点， ， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积为． 【变式11-1】如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理求出长，即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，， 由（1）可知，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式11-2】如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求S的值． 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形是矩形； （2）由得，利用勾股定理解得，利用完全平方公式计算出，进而得出的值即可． 【详解】（1）证明： ，， ∴四边形是平行四边形，                     ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：， ， ， ，                     ， ， ∵四边形是矩形， ， ∴在中，根据勾股定理得，， ，                         ， ， ． 【变式11-3】如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【分析】（1）先根据的性质以及线段中点的意义证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一得到，即可证明四边形是矩形； （2）先证明为等边三角形，结合三线合一得到，再由勾股定理求解，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E、F分别是的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E为中点， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴在中， ∴矩形的面积． 【题型12 矩形与最值问题】 【例12】如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，掌握矩形的性质，找到点关于的对称点，结合三角形三边数量关系，垂线段最短知识的运用是解题的关键． 根据题意，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点，根据三角形三边数量关系可得，，根据点到直线垂线段最短可得，，则有当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小，根据折叠的性质，勾股定理，等面积法可得的值，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点， ∵对称， ∴， ∴， 根据三角形三边数量关系可得，， 根据点到直线垂线段最短可得，， ∴当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：C ． 【变式12-1】如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质．连接，，根据三角形中位线性质得出，从而得出当最大时，最大，根据点P在点B处时，最大，即的长度，根据勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴当最大时，最大， 当点P在点B处时，最大，即的长度， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的最大长度为． 故答案为：． 【变式12-2】如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当_____时，四边形的周长最小． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：4． 【变式12-3】如图，在矩形中，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且满足，连接，则的最小长度为______． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质，涉及平行四边形判定与性质，最短路径等问题，解题的关键是作辅助线，把的长转化为的长． 过E作交于G，连接，可知四边形是平行四边形，故，，根据勾股定理求出，而，知最小时，最小，此时E在线段上，最小值为的长，即可得的最小值为5． 【详解】解：过E作交于G，连接，如图： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴最小时，最小，此时E在线段上，最小值为的长，如图： ∴的最小值为5； 故答案为：5． 【题型13 矩形与动点问题】 【例13】如图，在矩形中，，动点，分别从点，同时发出，点以的速度向点运动，到点停止运动，点以速度向点运动，到点停止运动，设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． （2）连接，当为何值时，？ 【分析】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）由题意知，，则，则当时，四边形是矩形，从而求得t的值； （2）过Q作于E，则；再证明四边形是矩形，则；由可得到关于t的方程，解方程即可求得t的值． 【详解】（1）解：当为时，四边形是矩形， 理由：由题意，可知，， 在矩形中，，， ∴， 当时，四边形是矩形， 即， 解得， ∴当为时，四边形是矩形； （2）解：由题意，可知，， 则， 如图，过点作于点，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴为时，． 【变式13-1】如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据速度时间路程，得到线段长，结合等腰三角形三线合一构造辅助线，计算出、的长，根据矩形的判定和性质得到线段，根据等量关系列方程求解． 【详解】解：过点Q作，交于点M， 点Q的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点P的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点H的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 四边形是矩形，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得． 故选：D ． 【变式13-2】如图，在四边形中，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则从运动开始，需经过________秒，能使． 【答案】或 【分析】本题已知，需要分两种情况讨论：当四边形为平行四边形时，对边相等可得；当四边形为等腰梯形时，两腰相等也可得，分别根据线段关系列方程求解，验证时间的合理性即可得到结果． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， 且，解得． ， ， 又，，分两种情况讨论： ①当时，四边形是平行四边形，此时， 列方程得：， 解得，符合动点运动范围要求． ②当四边形是等腰梯形时，，此时， 如图，过作于，过作于，则． ，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 同理，四边形是矩形， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，符合动点运动范围要求． 综上，经过秒或秒时，． 故答案为：或． 【变式13-3】如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． （1）若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； （2）若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 【分析】（1）①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出，则可得出答案； （2）当时，，不可能为直角；分两种情况，当为直角时，当为直角时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， 由题意得，，， 故答案为：，； ②当时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， 由题意知不可能为直角， 当为直角时，四边形是矩形， ∴，如图1， 则， ∴； 当为直角时，如图，过点P作于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上，或时，为直角三角形， 故答案为：或． 【题型14 矩形与旋转问题】 【例14】在综合与实践课上．老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、． （1）初步感知 如图①，当点落在边上时，线段的长度为______； （2）迁移探究 如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度． （3）拓展应用 如图③，设点在边上，且，连接、、，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为______． 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案； （2）首先证明出，得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案； （3）根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，   过A作于E， ∵点B到的距离小于， ∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式14-1】数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题：如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． （1）连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． （2）求证：． 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由旋转的性质可得，，，进而可得， 由等边对等角可得，进而可得，利用可证得，于是可得，即，进而可得，然后由即可得出结论； （2）由（1）得，，由等角对等边可得，进而可得，于是结论得证． 【详解】（1）解：和是在同一条直线上，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， 矩形是由矩形旋转得到的， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即：， ， ， 和是在同一条直线上； （2）证明：由（1）得：，， ， ， ． 【变式14-2】如图，在矩形中，，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，连接、． （1）如图2，点E落在对角线上，与相交于点H， ①连接，求证：四边形是平行四边形； ②求线段的长度； （2）在矩形绕点A旋转一周的过程中，面积的最大值为 ． 【分析】（1）①证明， 得出由平行四边形的判定可得出结论； ②证明，得出，由勾股定理可得出答案； （2）由旋转的性质画出图形，由三角形面积可求出答案. 【详解】（1）①证明： 如图， ∵四边形形是矩形， ， ∵旋转， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ②设， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 又 ， ， ， ． （2）∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴旋转过程中，是定值， 当三点共时， 三角形的面积最大，如图， 此时 ． 故答案为： ． 【变式14-3】如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解； （3）连接，根据矩形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图① 四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为； （2）解：如图②，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为； （3）解：的值为， 如图③， 连接， 由矩形旋转可知：，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 则可证：， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， 则的值为． 模块三 课后作业 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 故选：B． 2．如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 故选：A． 3．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 4．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】3 【分析】根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是3． 故答案为：3． 5．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一） 6．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 7．如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ． 【答案】5 【分析】设，则，利用勾股定理可得，，则，而，即可建立方程求解． 【详解】解：如图所示，过B作于F点，设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：5． 8．如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当时，根据翻折变换的性质求出，判断出是等腰直角三角形，从而求出；②当时，判断出、、在同一直线上，利用勾股定理求出，再设，在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，，，， 分两种情况讨论： ①当时，如图1， ， ， 由翻折变换的性质得， 在中，， 是等腰直角三角形， ； ②当时，如图2， ，， ， 、、三点在同一直线上， 在中，由勾股定理得， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 9．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，BD平分．求证：四边形EBFD为菱形． 【分析】此题考查矩形的性质、菱形的判定．根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而可得利用，即可得出四边形是平行四边形，再利用角平分线+平行模型可证明，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴，，，， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又∵BD平分，即， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 10．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点B作于点E，若，求的度数． 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 11．如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 【分析】本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定； （1）根据菱形的性质得到，根据对角线相等且平分的四边形是矩形证明即可； （2）根据菱形的性质得到，即可得到，根据角平分线可得，进而可得，然后根据勾股定理求出长，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是矩形， ∴，     ∴， ∴． 12．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． （1）求的面积． （2）若点、分别是的中点，连接，求的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 13．如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． （1）直接写出的长； （2）有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； （3）有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）本题考查勾股定理和矩形的性质，利用，求出,根据，即可得出． （2）①本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，根据点P的运动时间为t秒，将四边形的边用t表示出来，，，，，再根据四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． ②本题考查矩形的性质和判定，解题方法与①类似，根据四边形为矩形，应满足，建立等式求解即可． （3）本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，解法仍与①类似，用将、、表示出来，注意对点N在边上或在延长线上两种情况进行分类讨论，根据以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是矩形，，， ，， 在中， ， ， ． （2）解：由运动知，，， ，， ①如图1， 四边形为平行四边形， ， ，解得， 故答案为：． ②如图2、四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． （3）解：由运动知，，， 以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． ， 当点N在边上时，， ， ， 当点N在延长线上时，， ， ， 即：x为2秒或6秒时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 14．在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． （1）如图①，当时，______；如图②，当时，______； （2）如图③，当边经过点B时，______； （3）如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【分析】（1）由旋转的性质可得，当时，可证得是等边三角形，可得，即可得；当时，由旋转的性质可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在 中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，垂直平分，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ， 当时，， 是等边三角形， ∴； 如图2，当时， 由旋转的性质可得：， 在 中，根据勾股定理可得：， 故答案为：； （2）解：如图3，由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的长为； 故答案为：； （3）解：如图4，连接， 由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ∵点落在的延长线上， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $