专题1.2 菱形的性质与判定（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦菱形的性质与判定核心知识点，系统梳理菱形四条边相等、对角线垂直平分且平分一组对角的性质，以及定义法、四边相等、对角线垂直的平行四边形三种判定方法，结合面积的底乘高与对角线乘积一半算法，从平行四边形特殊化切入，对比矩形构建特殊平行四边形知识网络，形成几何推理的学习支架。 该资料以“观察-猜想-论证”为主线，通过典例与变式训练（如折叠、旋转问题）培养逻辑推理能力和几何直观（数学思维、数学眼光），结合勾股定理综合计算提升运算能力，配套思维导图梳理知识联系，即学即练与分层题型设计适合课中教学与课后巩固，助力学生查漏补缺。

专题1.2 菱形的性质与判定 教学目标 1.掌握菱形核心性质：四条边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角。 2.掌握菱形三种判定：①定义法；②四条边相等的四边形；③对角线互相垂直的平行四边形。 3.掌握菱形面积两种算法：底乘高、对角线乘积的一半。 4.能在计算题、证明题中灵活选用菱形性质与面积公式。 5.经历从平行四边形到菱形的特殊化探究过程，通过观察、猜想、推理论证，提升几何证明的逻辑推理能力与规范书写能力。 教学 重难点 1.重点 （1）菱形四边相等、对角线垂直平分的核心性质。 （2）菱形三种判定定理的准确使用。 （3）菱形对角线求面积的公式应用。 2.难点 （1）混淆矩形、菱形对角线性质（矩形相等、菱形垂直）。 （2）“对角线垂直的四边形≠菱形”，易错点：必须是平行四边形 + 对角线垂直。 （3）结合勾股定理进行菱形边长、对角线长度综合计算。 知识点01 菱形的性质定理 1.性质定理1:菱形的四条边相等。 2.性质定理2:菱形的对角线互相垂直。 注意:（1）菱形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）； （2）根据性质定理1和性质定理2，还可以推断出：菱形的每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的面积：等于两条对角线长的乘积的一半； 即： 拓展：所有对角线互相垂直的四边形，他们的面积都等于两条对角线长的乘积的一半。 【即学即练】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C B．菱形的对角线互相平分，，但与长度无必然“”的关系，故B错误； C．菱形的对角线互相垂直，即，故C正确； D．菱形中，，仅当菱形为正方形时两角相等，故D错误．故选：C． 2．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为菱形，∴，，， ∴， 在和中，，∴，∴， ∵垂直平分，∴，∴，∴，∴． 3．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵菱形的周长为52，∴∴ ∵∴，∴ ∴∴故选：A． 4．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 【答案】C 【详解】解：如图，连接，与交于点O， 四边形是菱形，、， 在中，由勾股定理得，，， 菱形的面积为，故选：C． 知识点02 菱形的判定定理 1.判定定理1:四条边相等的四边形是菱形。 2.判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 注意: 菱形的判定方法除了教材中的判定1和判定2，我们还可以根据其他条件推导出判定1或判定2，如： 判定3：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法）； 判定4：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 判定5：对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意．故选：D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，    根据题意得：，∵四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∴，∴四边形是菱形，在中，， ∴为等腰直角三角形，∴，∴， ∴．即重叠部分图形的面积是．故选：C． 3．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①  ②平分  ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）．(2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)①(2)见解析 【详解】（1）解：（答案不唯一）①． （2）证明：为边上的中线，． 在中，，，，，∴四边形是平行四边形． ，∴四边形是菱形． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到.(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：是矩形，， 沿直线翻折得到，， ，四边形是菱形． （2）解：是矩形，， ，，， ，．故答案为：． 题型01 运用菱形的性质求解（角度、长度、坐标等） 【典例1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形， ，是等边三角形． 【变式1】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，， ∴，∴在菱形中，，∴，∵，∴，∴， ∴．故选：A． 【变式2】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，∴为等边三角形，∴，∴， ∵M、N分别是的中点，∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵菱形对角线，相交于点O，，，∴，，， ∵F为的中点，E为的中点．∴为的中位线，，， ∴，，，∴，∴. 【变式4】（25-26八年级下·上海普陀·期末）数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系”的新坐标系，如图1，在平面上取一定点O（称为极点），以O为端点向右引射线（称为极轴）构成了极坐标系．在极坐标系内，对于直线上方的任意点P，连接，设线段的长度为L，，那么点P的极坐标记为．如图2，在极坐标系内，，，则点B的极坐标为．已知点，如果点C在这个极坐标系内，且四边形是菱形，那么点C的极坐标是_____________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，与相交于M． ∵，，∴，，∴是等边三角形，∴， ∵四边形是菱形，∴平分，，， ∴，， ∴，∴点C的极坐标为． 题型02 利用菱形的性质求面积 【典例1】如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　） A．16 B．6 C．12 D．30 【答案】B 【详解】解：连接AC交BD于O，如图， ∵四边形ABCD为菱形，∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO， ∵E为AD边的中点，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2， ∵，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4， ∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，，∴AC＝2OC＝， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝．故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 【答案】A 【详解】解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半，∴该菱形的面积=，故选：A． 【变式2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是______． 【答案】24 【详解】解：如图，在菱形中，． ∴，，∴ ．∴面积 故答案为：24． 【变式3】9．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，∴，， ∴，∵，，， ∴，∴，∴． 【变式4】（25-26九年级上·成都·校考期中）如图，在菱形中，，．为边上的一点，且不与点、重合，连接，过点作，且，连接、，则四边形的面积为_____________． 【答案】 【详解】解：连接，，如图： 由题意可得：∴，，， ∴是等边三角形，过点作于点，过点作于点，则， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴．故答案为： ． 题型03 添加条件使四边形为菱形 【典例1】（25-26九年级上·成都·期中）在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形，添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形；综上，能够判定是菱形的有1个，故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知平行四边形，添加一个条件，不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定平行四边形是菱形，不符合题意； B、由有一组邻边相等的平行四边形为菱形，能判定平行四边形是菱形，不符合题意； C、∵平行四边形，∴，∵，， ∴，∴，∴平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，符合题意；故选D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”，所以在平行四边形中，是必然成立的性质，不能据此判断它是菱形．选项A错误． 对于B，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知当时，平行四边形是矩形，而不是菱形．选项B错误． 对于C，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，当，可得，根据“等边对等角”，可得，根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形是菱形．选项C正确． 对于D，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，所以是平行四边形本身具有的性质，不能据此判断它是菱形．选项D错误． 【变式3】（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加条件即可，，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形故可添加为（答案不唯一）． 【变式4】（25-26八年级下·广东·期中）如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【答案】或或或或或或（只需写出一个条件即可） 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形； 同理，添加或，则，即四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，，在和中， ，，， ，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下：，， 在和中，，，， ，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，，，． 在和中，．．． ，∴四边形是平行四边形．，∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，，，， 在和中，，，， ，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形． 题型04证明四边形为菱形 【典例1】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接．(1)求证：四边形为菱形；(2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图：连接，∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵在中，，，∴， ∵是的中点，∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为菱形． （2）解：如图：设相交于点O，∵是的中点，∴， ∵在中，，，∴， ∵平分，∴， ∵四边形为菱形，∴，， ∴，∴， ∴菱形的面积为． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，在中，，点D为中点，连接，过点C作，过点B作，交CE于点E． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，则四边形的周长为20，则的面积为_______． 【答案】(1)见详解 (2)24 【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，点D为中点，∴﹒∴平行四边形为菱形； （2）解：∵菱形的周长为20，∴，∴， 在中，，∴﹒故答案为：24． 【变式2】（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，，求点D到的距离h． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴是菱形，∴，，， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形， 又，∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，∴，，， 又∵，∴是等边三角形，∴，∴， 设，则，，∴， 在中，，即，解得，负值舍去， 则，，∴，∴， 即，则． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作于点，交于点，连接，若，求和的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)， 【详解】（1）解：，，四边形是平行四边形， ，，即是直角三角形， 点是的中点，，平行四边形是菱形； （2）解：连接，交于点， 四边形是菱形，，，，， 又，四边形是平行四边形，， 设，，，则， ，，在中，由勾股定理得： ，， 由此可得，即，在中，由勾股定理得：， 即，解得，由，得，，，， 四边形是菱形，，垂直平分，， 设，则，，在中，由勾股定理得：， 即，解得，；综上，的长为，的长为． 【变式4】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，四边形是一个矩形，延长 至点，使得，延长至点，使得，连接 ， ， ，， ． (1)求证：四边形是一个菱形；(2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵，，矩形中， 即四边形的对角线互相垂直平分，∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是菱形，四边形是矩形，∴，，， ∵，∴设，， 由勾股定理得，∴，解得， 菱形的面积为． 题型05菱形的性质与判定综合运用（选填题） 【典例1】（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【详解】解：①∵四边形是平行四边形，∴，，∴， 由折叠可知，，∴， 在和中，，∴，∴，故①正确； ②由折叠得，，∴， ∴，故②正确； ③由①可知，， 同理可得 ∵，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形， 又，∴四边形为菱形，故③正确； ④连接、、，、分别与交于点，如图， 由折叠得，，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴， 又，∴，由折叠得，， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， 又，∴四边形是矩形， ∴，即，但无法判断的相等关系，故④错误， 综上，正确的结论是①②③，故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②③ 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，又， ∴是等边三角形，∴，，又， ∴，故①正确；∴， ∴，即的大小为定值，故②正确； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，，∴， ∴，即平分，故③正确； ∴，则，∴，， ∵，∴，∴， ∴，故④错误，故答案为：①②③． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形中，，．点E、F分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面四个结论：①；②；③；④当时，的面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【详解】解：对于①，四边形是菱形，， ，是等边三角形，， 又，，，即，所以①正确； 对于②，举反例：当点E、F分别是线段、的中点时，点H与点D重合， 四边形是菱形，，所以②错误； 对于③，由①知，， ，，，所以③正确； 对于④，过点E作于点M，，，， 是等边三角形，，，， ，， ，所以④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，∴，故①正确； ∵，∴，故②正确；如图所示，在上截取，连接， ∵，∴，∴，∴， ∴当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴，∴，∴的最小值为，故③正确； ∵，，∴，∴，， ∴，故④正确，∴正确的有①②③④，故答案为：①②③④． 【变式4】（2026·北京海淀·二模）如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论：①当，时，菱形有无数个；②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等；③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①当，时，，令，，解得，∴， 以为对角线作菱形，且点在第一象限，∴在线段的垂直平分线上， ∴这样的菱形有无数个，说法正确； ②当时，，∴，，∴，，∴， ∴的周长：，即， 菱形的周长：， ∴对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③∵，∴，∴菱形的面积， ∵，∴菱形的面积有最大值；综上，①②③都是正确的． 题型06菱形的性质与判定综合运用（解答题） 【典例1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)(2)成立，证明见解析(3)的长度为或 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形，且，∴，， ∵为菱形的角平分线，∴，故与为等边三角形，即， ∵点为中点，故平分，∴， ∵，，，∴，∴． （2）解：连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴． （3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示：由（1）（2）得，为中点，∴， 由勾股定理得，∵，∴， 故，∴； 当点在点右侧时，如下图所示：同理可得，故，∴； 综上，的长度为或． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）猜想：如图①，在中，点是对角线的中点，过点的直线分别交、于点、，若的面积是，则四边形的面积是 ． 探究：如图②，在菱形中，对角线、交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，求四边形的面积． 应用：如图③，在中，，延长到点，使，连结，若，，则的面积是 ． 【答案】猜想：；探究：；应用： 【详解】解：猜想：∵四边形是平行四边形，点是对角线的中点，的面积是， ∴，，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴， 即四边形的面积是，故答案为：； 探究：∵四边形是菱形，对角线、交于点，，， ∴，，，， ∴，，， 在和中，，∴，∴， ∴，即四边形的面积是； 应用：如图，延长到使，∴， 在中，，，，， 在与中，，∴， ∴，，∴， ∴， 即的面积是．故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江西上饶·期中）中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． (1)求证：．(2)当，求的度数．(3)当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵绕点按顺时针旋转得到，， ∴，，，∴， ，即， 在和中，，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，即的度数为； （3）∵四边形是菱形，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏常州·期中）综合与探究 (1)如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． ①如图1，过点B画的垂线；②如图2，是菱形的边上的高，请作出菱形的边上的高；(2)如图3，在平面直角坐标系中，点，，在x轴正半轴上作一点，在x轴外取一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，且点B到x轴的距离为4，则点C坐标为__________．（直接写出所有答案） 【答案】(1)①如下图，即为所求； ②如下图，即为所求； （2）解：，，点B到x轴的距离为4， ∴，可设，∴，解得或， 点B坐标为或或或， 点与点、点与点均关于轴对称，故计算的点坐标相同， 仅以和求解即可， 分情况讨论：当点B坐标为时，如下图， ①若以为该菱形的对角线，如图，过点B作轴于点E，则， ，设，则， 在中，可得，即，解得， ，，即； ②若以为该菱形的对角线，如图，则， ，，，即； ③若以为该菱形的对角线，如图，则，，； 当点B坐标为时，只有一种情况，如下图所示， 点C落在x轴的正半轴上，点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 题型07利用菱形的性质求最值 【典例1】（2026·河北石家庄·二模）如图，在菱形中，，，点P，Q分别在，上，且．以，为邻边作，延长交射线于点N．当的长最小时，线段的长是________． 【答案】2 【详解】如图，连接． 四边形是菱形，，，， 四边形是平行四边形，，，． ，，，， ，， ，，即， ，即是的平分线， ∴当时，最短，即最短．此时，， 在和中，，， ，． 【变式1】（25-26八年级下·江苏·期中）如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小，四边形是菱形，，，， ，，，，， ，，解得：， ，的最小值为．故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，与交于点， 由题意得：，，，， 四边形是平行四边形，，当，即时，最小， 此时，的最小值为． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，点M，N是菱形的对角线上的两点，若，，，连接，，则的最小值为（     ） A． B．10 C． D．12 【答案】A 【详解】解：如图，连接交于点，作，作，与交于点，连接，则四边形是平行四边形，∴，． ∵四边形是菱形，与交于点，，， ∴，，． ∵，∴．∴． 当点，，共线时，有最小值，最小值为的长， 即最小值为．的最小值为，故选A． 【变式4】（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，、交于点，点为边上的一个动点，点为对角线上的一个动点，过点分别作于点，作于点，连接，．已知，， （1）则菱形的面积为________； （2）在点的运动过程中，的最小值为________． 【答案】 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线，，∴． 在中，，，由勾股定理得， ∴．∴菱形的面积； （2）解：如图，连接．由，得， ∵，得到．∵菱形关于对角线对称， ∴点关于的对称点为，故，∴． 当、、三点共线且时，最小，此时为菱形的高， ∴，即的最小值为，∴的最小值为． 题型08菱形中的动点问题 【典例1】（25-26九年级上·山东菏泽·月考）如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合． (1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有； (2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由． 【答案】(1)见详解(2)点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化，理由见详解 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）解：四边形的面积不会发生变化，理由如下，已知，∴， ∵，∴， 如图所示，过点作于点G，∴，， ∴， ∴点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化． 【变式1】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图1，在菱形中，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与之间的关系如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形是菱形，∴，，，， 由图2可知，当时，，此时点运动到点，∴，∴，解得； 当点运动到点时，的面积最大，为， ∴，∴， 在中，由勾股定理得， ∵，∴， ∵，，∴，∴． 【变式2】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在四边形中（），，是对角线的中点，点从点出发，沿方向匀速运动，到达点后停止．设点的运动路程为，的面积为，得到如图2所示的函数图象，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图， ∵，∴四边形是菱形，∴， ∵点是对角线的中点，∴点是对角线、的交点，， ∵，∴，即，∴在中，，∴， 当点F移动到点A处时，的面积取最大值，此时根据函数图像可知：，， ∴，∴， ∵在中，，∴，∵，， ∴，， ∴，（相应的负值不符合题意舍去）， 上述两式相减可得：，∴． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，，，、两点分别从、两点同时出发，以相同的速度分别向终点、移动，连接，在整个移动的过程中，角度的变化情况为（     ） A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大再变小 【答案】C 【详解】解：连接， 四边形是菱形，．又，是等边三角形， ，． 在菱形中，，． ∵、同时出发，速度相同，∴设 在和中：（）． ，．， 又，． 中，且，是等边三角形，． 即无论、运动到什么位置，始终等于，大小不变． 题型09菱形中的折叠问题 【典例1】（25-26八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动． 已知菱形纸片，． 【成果展示】(1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明． (2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点．①判断和的数量关系，并加以证明．②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长． 【答案】(1)解：四边形是菱形，证明如下：设与交于点， ∵菱形纸片，， ∵折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处， ∴垂直平分，， ，， ，，∴四边形是菱形； (2)①，证明：如图，连接， ∵菱形，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵折叠，，， ，，，； ②解：如图，连接，，∵，， ∵恰好是的中点，，， ∵，，， 根据①可得，∴，， 解得：，， ，，， ． 【变式1】（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为__________． 【答案】55度/ 【详解】解：四边形是菱形，， ．由折叠的性质得，，， ．故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 【答案】/46度 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，， ∵，∴∴，由折叠可知，，， ∴∴，∴，故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是菱形，∴，，∴是等边三角形， ∵点M恰好为边的中点，∴，在中，， 设，则，∵沿翻折得到，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴， 在中，，∴，解得． 【变式4】（25-26九年级下·山西运城·期末）综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 【答案】（1）理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）解： 理由如下： 四边形 是菱形，，， 由折叠得： ， ； （2）证明：如图，连接 四边形 是菱形 ，是等边三角形 为的中点 于点 四边形是矩形； （3）解：∵为的中点，，∴ ∵折叠，∴又∵∴，则 ∴∴ ∵四边形为矩形，∴， ∵∴，∴，则 在中，设，则， 又∵∴解得：∴． 题型10菱形中的旋转问题 【典例1】（25-26九年级上·河南漯河·校考期末）如图，在菱形中，，，点，在直线上，且点的坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为，， 四边形是菱形，，，是等边三角形， 四边形是菱形，，， ，，， ，每次旋转次后，菱形回到原位置， ，菱形旋转次后，点关于原点对称， 点在直线上，第次旋转后点在轴正半轴，，故选：B． 【变式1】（北京市房山区2025-2026学年下学期八年级期末）某学校有一块边长为20米的菱形草坪，其中．计划在草坪内部安装一处景观喷泉，要从草坪，，三个顶点处向喷泉铺设引水管道，则三段管道总长的最小值为__________米． 【答案】 【详解】解：连接，交于点， 四边形是菱形，， ，， 和均为等边三角形 ，， ， 将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ，， ，是等边三角形 ， ， 根据两点之间线段最短可知，当，，，四点共线时，取得最小值，最小值为线段的长 ， 四边形是菱形， ，， ， 在中，， ， 三段管道总长的最小值为米． 【变式2】（2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是_____． 【答案】 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于， 四边形是菱形，，，， 的坐标是，，，，， ，，， ，的坐标是．故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数；(2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F．①试探究，的数量关系，并证明你的结论；②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 【答案】(1)(2)①，证明见解析；② 【详解】（1）∵中，，∴四边形是菱形， ∴，，，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∵的顶点与点A重合，两边分别与，重合，∴； （2）①，证明如下：∵四边形是菱形，∴， ∵，∴和是等边三角形，∴，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； ②的周长发生改变，理由如下：如图，连接， 由①知：，，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵的的周长，∴的周长发生改变， 当最小时，周长最小，即最小时，的周长最小，此时， 在中，，，∴，， ∴，∴周长的最小值为． 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A项：在中，与是一组邻边，当时，满足菱形的定义， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； B项：∵在中，，∴， ∵，∴，∴，∴是菱形，故不符合题意； C项：∵四边形ABCD是平行四边形，且，满足菱形的判定条件， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； D项：在中，对角线互相平分，∴是平行四边形本身就具有的性质， 但仅由不能证明是菱形，故符合题意，故选：D． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，， ∴，由折叠的性质知，，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴． 3．（25-26八年级下·海南三亚·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．11 D．12 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点H作于点I， ∵在菱形中，对角线、相交于点，∴， 由作图方法可知，平分，∴，∴． 4．（25-26八年级下·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．240 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， 在中，， ， 四边形的面积． 5.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______． 【答案】15 【详解】解：由折叠的性质可知，，即 ∵，交于点， ∴ 在中，，即 ∴，即 在菱形中，， ∴在中， ∵， ∴ 在中，，， ∴是等腰直角三角形，即 ∵， ∴ 在中，由勾股定理得， 即， ，即 ∴ 菱形的面积∴． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则 （1）对角线的长为_____________．（2）的最小值为_________________． 【答案】 【详解】解：（1）作交延长线于， ∵在菱形中，，，∴， ∴，∴，∴，∴； （2）连接，，分别为，的中点，，当有最小值时，有最小值， 当时，根据垂线段最短，有最小值， 四边形是菱形，，∴，， 四边形是菱形，，，， ，的最小值为，的最小值为 7．（25-26九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 【答案】 【详解】解：如下图所示，过点作， 菱形中，，，，， 与是等边三角形，，， ，，，，， ，，，， ，． 8.（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 其他符合要求的条件还有、等，本题答案不唯一． 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为___________． 【答案】 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，，∴四边形是菱形， ∴，，，∴， 由勾股定理得：，∴， ∴四边形的面积为．故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，为菱形的对角线，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点；②作直线分别交于点，，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/72度 【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，平分， ∴；根据作图痕迹，直线是的垂直平分线， ∴，∴，∴；故答案为：． 11．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处．(1)求证：；(2)若，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由折叠的性质得，∵在菱形中，，∴， ∵点恰好落在的延长线上，∴是等腰三角形，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：由折叠的性质得，， ∵在菱形中，，，∴，， 由（1）知，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∴．∴菱形的边长为． 12．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，是的中点，，．(1)求证：四边形为菱形；(2)若，求四边形的面积； (3)利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点，∴， ∵，，∴，∴四边形为菱形； （2）解：∵，∴，∴，∴，∴， ∵D是的中点，∴，∵四边形为菱形，∴， ∴四边形的面积； （3）如图所示，射线就是所求的射线 1．（2026·河南新乡·三模）如图，在边长为10的菱形中，点，分别为边，上的动点，且，连接，．若菱形的面积为75，则的最小值为（     ） A． B．17 C． D．19 【答案】C 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，， 则，，．四边形是菱形，，． ，，，． 在和中，，，， ，的最小值为． ，的最小值是． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，过点D作，垂足为E，过点E作，分别交，于点F，G，M，N分别是，的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∵，∴，，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， 如图，连接，则是等边三角形，∴， 取中点，连接并延长交于，连接， ∵M是的中点，∴是的中位线，∴，，∴， ∵N是的中点，∴是的中位线，∴，， ∴，，∴， ∴，∴， ∴，， ∴． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形都是菱形，，，，， ，，，，， ，和同底等高，， 菱形的面积为，的面积为，， 故答案为：． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线、交点D．将菱形绕点O逆时针方向旋转，每次旋转，则旋转2次后，点D的坐标是________，旋转2022次后．点D的坐标是 _____________．    【答案】 【详解】解：如下图所示，作轴交于点E，    ∵四边形是菱形，∴，点D是的中点，∵点A的坐标为，∴， ∵，∴， ∵轴，∴， ， ∴，∴点B的坐标为，， ∵点D是的中点，∴点D的坐标为， ， 菱形每次逆时针旋转，相当于对点D每次逆时针旋转，根据图形变化可得， 旋转1次坐标为，旋转2次坐标为，旋转3次坐标为， 旋转4次坐标为，旋转5次坐标为，旋转6次坐标为，……， ∴旋转2次后，点D的坐标是，坐标的变化具有周期性，， ∴旋转2022次后．点D的坐标是，故答案为：；． 5.（2026·浙江温州·三模）如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿折叠得，射线交边于点．(1)如图1，求的度数．(2)求证：．(3)如图2，取边的中点，连结，，当时，求的值． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， 又，， ∵将沿折叠得，，． (2)证明：如图1，过作交于点． ∵四边形是菱形，，， 又，∴四边形是平行四边形，， ∵将沿折叠得，，， 又，，，， ，，， 又，四边形是平行四边形，，又，， ． （3）解：如图2，延长，交于点，作于点． 设，．由（2）得． ∵，∴，∵点是的中点，∴， ∵，∴，∴． ，根据折叠可得，∴，，∴， 根据（2）可得，∴，∴，∴， ，， 根据折叠可得，根据菱形的性质可得，， 由（1）得，，， ，∴在中，，即， 解得：，∴，． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】 如图①，已知在平行四边形中，对角线相交于点O，，． (1)若，则的长为________________； (2)若点E在线段上，过点C作，垂足为F，连接，若为等腰直角三角形，且，试探究、与之间存在的数量关系，并说明理由； 【问题解决】(3)如图②，校园内有一块平行四边形花坛，，，花坛两条对角线交于点O，园丁要在对角线上选一处动点P，从点位P向点位A修一段步道，再以为边长，在下方修建一块等边三角形小型花圃，现要规划路线，使得步道最短，请求出此时的占地面积． 【答案】（1）解：∵平行四边形，∴，， ∵，∴，∴； (2)解：，理由如下： 证明：如图，过点A作，垂足为H，∴， ∵，∴，∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）解：连接，∵是等边三角形，∴， ∵，∴，即， ∵，∴，是等边三角形， ∴，，∴四边形是菱形， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图，∴，∴， ∵，即，∴， ∴，∴． ∴的占地面积为． 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知在菱形中，． (1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，，则，， ，，在菱形中，， 在中，，点是线段的中点，； （2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点， 连接，则，由菱形的性质可知，、关于直线对称， ，， 当点与重合时，的值最小，当点与重合时，． 当点与不重合时，．四边形是菱形，，， 又，，，∴，则， ∵，，即的最小值是．的最小值是． 7 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 菱形的性质与判定 教学目标 1.掌握菱形核心性质：四条边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角。 2.掌握菱形三种判定：①定义法；②四条边相等的四边形；③对角线互相垂直的平行四边形。 3.掌握菱形面积两种算法：底乘高、对角线乘积的一半。 4.能在计算题、证明题中灵活选用菱形性质与面积公式。 5.经历从平行四边形到菱形的特殊化探究过程，通过观察、猜想、推理论证，提升几何证明的逻辑推理能力与规范书写能力。 教学 重难点 1.重点 （1）菱形四边相等、对角线垂直平分的核心性质。 （2）菱形三种判定定理的准确使用。 （3）菱形对角线求面积的公式应用。 2.难点 （1）混淆矩形、菱形对角线性质（矩形相等、菱形垂直）。 （2）“对角线垂直的四边形≠菱形”，易错点：必须是平行四边形 + 对角线垂直。 （3）结合勾股定理进行菱形边长、对角线长度综合计算。 知识点01 菱形的性质定理 1.性质定理1:菱形的四条边相等。 2.性质定理2:菱形的对角线互相垂直。 注意:（1）菱形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）； （2）根据性质定理1和性质定理2，还可以推断出：菱形的每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的面积：等于两条对角线长的乘积的一半； 即： 拓展：所有对角线互相垂直的四边形，他们的面积都等于两条对角线长的乘积的一半。 【即学即练】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 知识点02 菱形的判定定理 1.判定定理1:四条边相等的四边形是菱形。 2.判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 注意: 菱形的判定方法除了教材中的判定1和判定2，我们还可以根据其他条件推导出判定1或判定2，如： 判定3：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法）； 判定4：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 判定5：对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①  ②平分  ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）．(2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到.(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，则菱形的面积为______． 题型01 运用菱形的性质求解（角度、长度、坐标等） 【典例1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【变式1】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 【变式4】（25-26八年级下·上海普陀·期末）数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系”的新坐标系，如图1，在平面上取一定点O（称为极点），以O为端点向右引射线（称为极轴）构成了极坐标系．在极坐标系内，对于直线上方的任意点P，连接，设线段的长度为L，，那么点P的极坐标记为．如图2，在极坐标系内，，，则点B的极坐标为．已知点，如果点C在这个极坐标系内，且四边形是菱形，那么点C的极坐标是_____________． 题型02 利用菱形的性质求面积 【典例1】如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　） A．16 B．6 C．12 D．30 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 【变式2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是______． 【变式3】9．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级上·成都·校考期中）如图，在菱形中，，．为边上的一点，且不与点、重合，连接，过点作，且，连接、，则四边形的面积为_____________． 题型03 添加条件使四边形为菱形 【典例1】（25-26九年级上·成都·期中）在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知平行四边形，添加一个条件，不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【变式4】（25-26八年级下·广东·期中）如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 题型04证明四边形为菱形 【典例1】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接．(1)求证：四边形为菱形；(2)若，求菱形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，在中，，点D为中点，连接，过点C作，过点B作，交CE于点E． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，则四边形的周长为20，则的面积为_______． 【变式2】（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，，求点D到的距离h． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作于点，交于点，连接，若，求和的长． 【变式4】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，四边形是一个矩形，延长 至点，使得，延长至点，使得，连接 ， ， ，， ． (1)求证：四边形是一个菱形；(2)若，，求菱形的面积． 题型05菱形的性质与判定综合运用（选填题） 【典例1】（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是_______． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形中，，．点E、F分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面四个结论：①；②；③；④当时，的面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有________（填序号）． 【变式4】（2026·北京海淀·二模）如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论：①当，时，菱形有无数个；②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等；③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型06菱形的性质与判定综合运用（解答题） 【典例1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）猜想：如图①，在中，点是对角线的中点，过点的直线分别交、于点、，若的面积是，则四边形的面积是 ． 探究：如图②，在菱形中，对角线、交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，求四边形的面积． 应用：如图③，在中，，延长到点，使，连结，若，，则的面积是 ． 【变式2】（25-26九年级上·江西上饶·期中）中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． (1)求证：．(2)当，求的度数．(3)当四边形是菱形时，求的长． 【变式3】（25-26八年级下·江苏常州·期中）综合与探究 (1)如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． ①如图1，过点B画的垂线；②如图2，是菱形的边上的高，请作出菱形的边上的高；(2)如图3，在平面直角坐标系中，点，，在x轴正半轴上作一点，在x轴外取一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，且点B到x轴的距离为4，则点C坐标为__________．（直接写出所有答案） 题型07利用菱形的性质求最值 【典例1】（2026·河北石家庄·二模）如图，在菱形中，，，点P，Q分别在，上，且．以，为邻边作，延长交射线于点N．当的长最小时，线段的长是________． 【变式1】（25-26八年级下·江苏·期中）如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，点M，N是菱形的对角线上的两点，若，，，连接，，则的最小值为（     ） A． B．10 C． D．12 【变式4】（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，、交于点，点为边上的一个动点，点为对角线上的一个动点，过点分别作于点，作于点，连接，．已知，，（1）则菱形的面积为________；（2）在点的运动过程中，的最小值为________． 题型08菱形中的动点问题 【典例1】（25-26九年级上·山东菏泽·月考）如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合． (1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有； (2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图1，在菱形中，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与之间的关系如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在四边形中（），，是对角线的中点，点从点出发，沿方向匀速运动，到达点后停止．设点的运动路程为，的面积为，得到如图2所示的函数图象，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，，，、两点分别从、两点同时出发，以相同的速度分别向终点、移动，连接，在整个移动的过程中，角度的变化情况为（     ） A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大再变小 题型09菱形中的折叠问题 【典例1】（25-26八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动． 已知菱形纸片，． 【成果展示】(1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明． (2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点．①判断和的数量关系，并加以证明．②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长． 【变式1】（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为__________． 【变式2】（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为______． 【变式4】（25-26九年级下·山西运城·期末）综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明．（3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 题型10菱形中的旋转问题 【典例1】（25-26九年级上·河南漯河·校考期末）如图，在菱形中，，，点，在直线上，且点的坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（北京市房山区2025-2026学年下学期八年级期末）某学校有一块边长为20米的菱形草坪，其中．计划在草坪内部安装一处景观喷泉，要从草坪，，三个顶点处向喷泉铺设引水管道，则三段管道总长的最小值为__________米． 【变式2】（2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是_____． 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数；(2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F．①试探究，的数量关系，并证明你的结论；②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·海南三亚·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．11 D．12 4．（25-26八年级下·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．240 5.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则 （1）对角线的长为_____________．（2）的最小值为_________________． 7．（25-26九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 8.（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为___________． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，为菱形的对角线，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点；②作直线分别交于点，，连接．若，则的度数为___________． 11．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处．(1)求证：；(2)若，求菱形的边长． 12．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，是的中点，，．(1)求证：四边形为菱形；(2)若，求四边形的面积； (3)利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 1．（2026·河南新乡·三模）如图，在边长为10的菱形中，点，分别为边，上的动点，且，连接，．若菱形的面积为75，则的最小值为（     ） A． B．17 C． D．19 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，过点D作，垂足为E，过点E作，分别交，于点F，G，M，N分别是，的中点，连接，若，则的长为________． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线、交点D．将菱形绕点O逆时针方向旋转，每次旋转，则旋转2次后，点D的坐标是________，旋转2022次后．点D的坐标是 _____________．    5.（2026·浙江温州·三模）如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿折叠得，射线交边于点．(1)如图1，求的度数．(2)求证：．(3)如图2，取边的中点，连结，，当时，求的值． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】 如图①，已知在平行四边形中，对角线相交于点O，，． (1)若，则的长为________________； (2)若点E在线段上，过点C作，垂足为F，连接，若为等腰直角三角形，且，试探究、与之间存在的数量关系，并说明理由； 【问题解决】(3)如图②，校园内有一块平行四边形花坛，，，花坛两条对角线交于点O，园丁要在对角线上选一处动点P，从点位P向点位A修一段步道，再以为边长，在下方修建一块等边三角形小型花圃，现要规划路线，使得步道最短，请求出此时的占地面积． 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知在菱形中，． (1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $