第十课时函数的表示法同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修一 · 课时同步训练

第十课时  函数的表示法

 

姓名：______________   班级：______________   得分：______________   用时：______ 分钟

【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。

核心考点清单

考点一  解析法

用数学表达式表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析法。这个数学表达式叫做函数的解析式，简称解析式。解析法的优点是：能简明、全面地概括出变量间的关系，便于进行理论分析和计算；缺点是：不够直观，有些函数关系难以用解析式表示。求函数解析式的常用方法有：①待定系数法，已知函数类型时设出解析式，利用已知条件确定系数；②换元法，设新变量替换原变量，化简后求解析式；③配凑法，将解析式配凑成已知形式；④消去法，利用方程组消去未知函数。解析法是表示函数最常用的方法，也是数学研究的基础。

考点二  列表法

列出表格来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。列表法通过表格直观地列出每个自变量对应的函数值，适合自变量取值较少（离散）的情况。列表法的优点是：直观、无需计算即可直接查表得到函数值，适合表示离散数据；缺点是：数据有限，不易观察函数的变化规律，也不便于进行理论推导。在实际应用中，如银行利率表、火车时刻表等常用列表法表示函数关系。列表法与解析法、图象法可以相互补充，共同描述函数关系。

考点三  图象法

用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法。函数的图象是坐标平面上点集{(x, f(x)) | x ∈ A}，其中横坐标为自变量x，纵坐标为函数值f(x)。图象法的优点是：直观、形象，能清晰地显示函数的变化趋势和性质（如单调性、对称性等）；缺点是：不够精确，不易进行理论推导和精确计算。画函数图象的常用方法是描点法：①列表（取若干x值计算f(x)）；②描点（在坐标系中描出对应点）；③连线（用平滑曲线连接各点）。函数图象与x轴的交点对应方程f(x)=0的根，与y轴的交点对应f(0)的值。

考点四  分段函数

在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数称为分段函数。分段函数的一般形式为：y = f₁(x), x ∈ I₁; f₂(x), x ∈ I₂; ...; fₙ(x), x ∈ Iₙ，其中I₁, I₂, ..., Iₙ是定义域的互不重叠的子区间，它们的并集

构成函数的定义域。需要注意：①分段函数是一个函数，不是多个函数；②各段区间的端点不能重复（不能同时属于两段）；③求分段函数值时，先判断自变量属于哪个区间，再代入对应的解析式；④分段函数的图象由各段图象拼接而成。常见的分段函数有绝对值函数y=|x|、取整函数y=[x]等。

考点五  映射

一般地，设A, B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A → B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。映射是函数概念的推广：函数是特殊的映射，要求A, B都是非空数集。映射的关键是"存在且唯一"：A中每个元素在B中都有对应（存在性），且只有一个对应（唯一性）。如果A中不同元素对应B中不同元素，则称为一一映射（单射）；如果B中每个元素都有A中元素与之对应，则称为满射。既是一一映射又是满射的映射称为一一对应（双射）。

  知识结构思维导图

图1  函数的表示法知识结构图

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1，则下列表示法中正确的是（    ）

A．列表法不能表示该函数

B．图象法不能表示该函数

C．解析法、列表法、图象法都能表示该函数

D．只有解析法能表示该函数

2．函数 f(x) ＝ |x| 的图象是（    ）

A．一条直线	B．两条射线
C．一条抛物线	D．一条折线

3．已知 f(x) ＝ x² ＋ 1，则 f(x ＋ 1) ＝ （    ）

A．x² ＋ 2	B．x² ＋ 2x ＋ 2
C．x² ＋ 1	D．x² ＋ 2x ＋ 1

4．设 f(x) ＝ 3x － 2，则 f(f(x)) ＝ （    ）

A．9x － 8	B．9x － 6
C．3x － 2	D．9x ＋ 8

5．已知 f(x) 是一次函数，且 f(f(x)) ＝ 4x ＋ 3，则 f(x) ＝ （    ）

A．2x ＋ 1	B．－2x － 3
C．2x ＋ 1 或 －2x － 3	D．2x ＋ 3

6．函数 f(x) ＝ {x ＋ 1, x ≥ 0; －x, x ＜ 0}，则 f(f(－2)) ＝ （    ）

A．1	B．2
C．3	D．－2

7．已知 f(x ＋ 1) ＝ x² ＋ 2x ＋ 3，则 f(x) ＝ （    ）

A．x² ＋ 2	B．x² ＋ 2x ＋ 2
C．x² ＋ 4	D．x² ＋ 2x ＋ 4

8．下列对应关系中，是从A到B的映射的是（    ）

A．A ＝ R, B ＝ R, f: x → 1/x	B．A ＝ R, B ＝ R, f: x → √x
C．A ＝ {x | x ≥ 0}, B ＝ R, f: x → √x	D．A ＝ R, B ＝ R, f: x → ±x

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上）

9．已知 f(x) ＝ x² ＋ 2x，则 f(2) － f(1) ＝ ____________。

 

10．设 f(x) ＝ {x², x ≥ 0; －x, x ＜ 0}，则 f(－3) ＝ ____________，f(2) ＝ ____________。