第十课时函数的表示法同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学必修一“函数的表示法”新授课同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，覆盖解析法、分段函数等5大考点，通过概念辨析-运算推理-模型应用路径深化知识理解，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数表示法概念、简单代入运算|选择1-4题辨析三种表示法，填空9-10题分段函数直接求值，强化概念理解| |能力提升|解析式求法（待定系数/换元）、映射判断|选择5-8题训练待定系数法求函数，填空11-12题换元法转化，培养推理意识| |综合应用|分段函数综合、值域求解|解答13-15题融合二次函数解析式、分段函数图象与值域，发展数学建模能力|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十课时 函数的表示法 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析法。这个数学表达式叫做函数的解析式，简称解析式。解析法的优点是：能简明、全面地概括出变量间的关系，便于进行理论分析和计算；缺点是：不够直观，有些函数关系难以用解析式表示。求函数解析式的常用方法有：①待定系数法，已知函数类型时设出解析式，利用已知条件确定系数；②换元法，设新变量替换原变量，化简后求解析式；③配凑法，将解析式配凑成已知形式；④消去法，利用方程组消去未知函数。解析法是表示函数最常用的方法，也是数学研究的基础。 考点二 列表法 列出表格来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。列表法通过表格直观地列出每个自变量对应的函数值，适合自变量取值较少（离散）的情况。列表法的优点是：直观、无需计算即可直接查表得到函数值，适合表示离散数据；缺点是：数据有限，不易观察函数的变化规律，也不便于进行理论推导。在实际应用中，如银行利率表、火车时刻表等常用列表法表示函数关系。列表法与解析法、图象法可以相互补充，共同描述函数关系。 考点三 图象法 用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法。函数的图象是坐标平面上点集{(x, f(x)) | x ∈ A}，其中横坐标为自变量x，纵坐标为函数值f(x)。图象法的优点是：直观、形象，能清晰地显示函数的变化趋势和性质（如单调性、对称性等）；缺点是：不够精确，不易进行理论推导和精确计算。画函数图象的常用方法是描点法：①列表（取若干x值计算f(x)）；②描点（在坐标系中描出对应点）；③连线（用平滑曲线连接各点）。函数图象与x轴的交点对应方程f(x)=0的根，与y轴的交点对应f(0)的值。 考点四 分段函数 在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数称为分段函数。分段函数的一般形式为：y = f₁(x), x ∈ I₁; f₂(x), x ∈ I₂; ...; fₙ(x), x ∈ Iₙ，其中I₁, I₂, ..., Iₙ是定义域的互不重叠的子区间，它们的并集构成函数的定义域。需要注意：①分段函数是一个函数，不是多个函数；②各段区间的端点不能重复（不能同时属于两段）；③求分段函数值时，先判断自变量属于哪个区间，再代入对应的解析式；④分段函数的图象由各段图象拼接而成。常见的分段函数有绝对值函数y=|x|、取整函数y=[x]等。 考点五 映射 一般地，设A, B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A → B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。映射是函数概念的推广：函数是特殊的映射，要求A, B都是非空数集。映射的关键是"存在且唯一"：A中每个元素在B中都有对应（存在性），且只有一个对应（唯一性）。如果A中不同元素对应B中不同元素，则称为一一映射（单射）；如果B中每个元素都有A中元素与之对应，则称为满射。既是一一映射又是满射的映射称为一一对应（双射）。 知识结构思维导图 图1 函数的表示法知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1，则下列表示法中正确的是（ ） A．列表法不能表示该函数 B．图象法不能表示该函数 C．解析法、列表法、图象法都能表示该函数 D．只有解析法能表示该函数 2．函数 f(x) ＝ |x| 的图象是（ ） A．一条直线 B．两条射线 C．一条抛物线 D．一条折线 3．已知 f(x) ＝ x² ＋ 1，则 f(x ＋ 1) ＝ （ ） A．x² ＋ 2 B．x² ＋ 2x ＋ 2 C．x² ＋ 1 D．x² ＋ 2x ＋ 1 4．设 f(x) ＝ 3x － 2，则 f(f(x)) ＝ （ ） A．9x － 8 B．9x － 6 C．3x － 2 D．9x ＋ 8 5．已知 f(x) 是一次函数，且 f(f(x)) ＝ 4x ＋ 3，则 f(x) ＝ （ ） A．2x ＋ 1 B．－2x － 3 C．2x ＋ 1 或 －2x － 3 D．2x ＋ 3 6．函数 f(x) ＝ {x ＋ 1, x ≥ 0; －x, x ＜ 0}，则 f(f(－2)) ＝ （ ） A．1 B．2 C．3 D．－2 7．已知 f(x ＋ 1) ＝ x² ＋ 2x ＋ 3，则 f(x) ＝ （ ） A．x² ＋ 2 B．x² ＋ 2x ＋ 2 C．x² ＋ 4 D．x² ＋ 2x ＋ 4 8．下列对应关系中，是从A到B的映射的是（ ） A．A ＝ R, B ＝ R, f: x → 1/x B．A ＝ R, B ＝ R, f: x → √x C．A ＝ {x | x ≥ 0}, B ＝ R, f: x → √x D．A ＝ R, B ＝ R, f: x → ±x 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．已知 f(x) ＝ x² ＋ 2x，则 f(2) － f(1) ＝ ____________。 10．设 f(x) ＝ {x², x ≥ 0; －x, x ＜ 0}，则 f(－3) ＝ ____________，f(2) ＝ ____________。 11．已知 f(x － 1) ＝ x ＋ 2，则 f(x) ＝ ____________。 12．已知 f(x) 是正比例函数，f(2) ＝ 6，则 f(x) ＝ ____________，f(－3) ＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）已知 f(x) 是二次函数，且 f(0) ＝ 1，f(x ＋ 1) － f(x) ＝ 2x。 （1）求 f(x) 的解析式； （2）求 f(2) 的值； （3）求 f(x) 在 [－1, 2] 上的值域。 14．（14分）已知函数 f(x) ＝ {2x ＋ 3, x ≤ 0; x² ＋ 1, x ＞ 0}。 （1）求 f(－1) 和 f(2) 的值； （2）若 f(a) ＝ 5，求 a 的值； （3）画出函数 f(x) 的图象（简图）。 15．（14分）已知 f(x) ＝ {x ＋ 2, x ≤ －1; x², －1 ＜ x ＜ 2; 2x, x ≥ 2}。 （1）求 f(－2), f(－1), f(1), f(3) 的值； （2）若 f(a) ＝ 4，求 a 的值； （3）求 f(x) 的值域。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． C 2． B 3． B 4． A 5． C 6． C 7． A 8． C 9． 5 10． 3；4 11． x ＋ 3 12． 3x；－9 ■ 详细解析 1．【答案】C 【解析】函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1 可以用解析法（y ＝ 2x ＋ 1）、列表法（列出x与f(x)的对应值表）和图象法（画直线）三种方法表示，故选C。三种表示法各有优缺点，可以相互补充。 2．【答案】B 【解析】f(x) ＝ |x| ＝ {x, x ≥ 0; －x, x ＜ 0}，当x ≥ 0时图象为y ＝ x（第一象限的射线），当x ＜ 0时图象为y ＝ －x（第二象限的射线），故图象是两条射线，选B。 3．【答案】B 【解析】f(x ＋ 1) ＝ (x ＋ 1)² ＋ 1 ＝ x² ＋ 2x ＋ 1 ＋ 1 ＝ x² ＋ 2x ＋ 2，选B。本题关键：将x ＋ 1整体代入f(x) ＝ x² ＋ 1中。 4．【答案】A 【解析】f(f(x)) ＝ f(3x － 2) ＝ 3(3x － 2) － 2 ＝ 9x － 6 － 2 ＝ 9x － 8，选A。本题关键：将f(x) ＝ 3x － 2作为自变量代入f(x)中。 5．【答案】C 【解析】设f(x) ＝ kx ＋ b（k ≠ 0），则f(f(x)) ＝ f(kx ＋ b) ＝ k(kx ＋ b) ＋ b ＝ k²x ＋ kb ＋ b。由f(f(x)) ＝ 4x ＋ 3得k² ＝ 4且kb ＋ b ＝ 3。由k² ＝ 4得k ＝ ±2。当k ＝ 2时，2b ＋ b ＝ 3，b ＝ 1，f(x) ＝ 2x ＋ 1；当k ＝ －2时，－2b ＋ b ＝ 3，b ＝ －3，f(x) ＝ －2x － 3。检验：f(x) ＝ 2x ＋ 1时f(f(x)) ＝ 2(2x ＋ 1) ＋ 1 ＝ 4x ＋ 3，符合；f(x) ＝ －2x － 3时f(f(x)) ＝ －2(－2x － 3) － 3 ＝ 4x ＋ 6 － 3 ＝ 4x ＋ 3，符合。但选项中只有A（2x ＋ 1），故选C。 6．【答案】C 【解析】f(－2) ＝ －(－2) ＝ 2（因－2 ＜ 0，用f(x) ＝ －x）。f(f(－2)) ＝ f(2) ＝ 2 ＋ 1 ＝ 3（因2 ≥ 0，用f(x) ＝ x ＋ 1）。故f(f(－2)) ＝ 3，选C。 7．【答案】A 【解析】设t ＝ x ＋ 1，则x ＝ t － 1，f(t) ＝ (t － 1)² ＋ 2(t － 1) ＋ 3 ＝ t² － 2t ＋ 1 ＋ 2t － 2 ＋ 3 ＝ t² ＋ 2。故f(x) ＝ x² ＋ 2，选A。本题关键：换元法，设t ＝ x ＋ 1替换。 8．【答案】C 【解析】映射要求A中每个元素在B中都有唯一对应。选项A：x ＝ 0时1/x无意义，不是映射；选项B：x ＜ 0时√x无意义，不是映射；选项C：A ＝ {x | x ≥ 0}中每个x在B ＝ R中都有唯一的√x对应，是映射，正确；选项D：x → ±x，一个x对应两个值，不是映射。故选C。 ■ 填空题解析 9．【答案】5 【解析】f(2) ＝ 2² ＋ 2×2 ＝ 4 ＋ 4 ＝ 8，f(1) ＝ 1² ＋ 2×1 ＝ 1 ＋ 2 ＝ 3，故f(2) － f(1) ＝ 8 － 3 ＝ 5。 10．【答案】3；4 【解析】f(－3) ＝ －(－3) ＝ 3（因－3 ＜ 0，用f(x) ＝ －x）；f(2) ＝ 2² ＝ 4（因2 ≥ 0，用f(x) ＝ x²）。 11．【答案】x ＋ 3 【解析】设t ＝ x － 1，则x ＝ t ＋ 1，f(t) ＝ (t ＋ 1) ＋ 2 ＝ t ＋ 3。故f(x) ＝ x ＋ 3。本题关键：换元法。 12．【答案】3x；－9 【解析】设f(x) ＝ kx（正比例函数），由f(2) ＝ 6得2k ＝ 6，k ＝ 3。故f(x) ＝ 3x，f(－3) ＝ 3×(－3) ＝ －9。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）f(x) ＝ x² － x ＋ 1；（2）f(2) ＝ 3；（3）[3/4, 3] 【解析】（1）设f(x) ＝ ax² ＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。 由f(0) ＝ 1得c ＝ 1，故f(x) ＝ ax² ＋ bx ＋ 1。 f(x ＋ 1) ＝ a(x ＋ 1)² ＋ b(x ＋ 1) ＋ 1 ＝ ax² ＋ (2a ＋ b)x ＋ (a ＋ b ＋ 1)。 f(x ＋ 1) － f(x) ＝ [ax² ＋ (2a ＋ b)x ＋ (a ＋ b ＋ 1)] － [ax² ＋ bx ＋ 1] ＝ 2ax ＋ (a ＋ b)。 由f(x ＋ 1) － f(x) ＝ 2x得2a ＝ 2且a ＋ b ＝ 0，故a ＝ 1, b ＝ －1。 故f(x) ＝ x² － x ＋ 1。 （2）f(2) ＝ 2² － 2 ＋ 1 ＝ 4 － 2 ＋ 1 ＝ 3。 （3）f(x) ＝ x² － x ＋ 1 ＝ (x － 1/2)² ＋ 3/4，开口向上，对称轴x ＝ 1/2。 在[－1, 2]上，x ＝ 1/2时取最小值f(1/2) ＝ 3/4； 端点f(－1) ＝ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3，f(2) ＝ 3，最大值f(－1) ＝ f(2) ＝ 3。 故f(x)在[－1, 2]上的值域为[3/4, 3]。 本题关键：待定系数法设二次函数解析式，利用已知条件确定系数。 14．【答案】（1）f(－1) ＝ 1，f(2) ＝ 5；（2）a ＝ 2；（3）图象见解析 【解析】f(x) ＝ {2x ＋ 3, x ≤ 0; x² ＋ 1, x ＞ 0}。 （1）f(－1) ＝ 2×(－1) ＋ 3 ＝ －2 ＋ 3 ＝ 1（因－1 ≤ 0，用f(x) ＝ 2x ＋ 3）。 f(2) ＝ 2² ＋ 1 ＝ 4 ＋ 1 ＝ 5（因2 ＞ 0，用f(x) ＝ x² ＋ 1）。 （2）若f(a) ＝ 5，分两种情况讨论： ①当a ≤ 0时，f(a) ＝ 2a ＋ 3 ＝ 5，解得a ＝ 1，但a ＝ 1 ＞ 0，与a ≤ 0矛盾，舍去。 ②当a ＞ 0时，f(a) ＝ a² ＋ 1 ＝ 5，解得a² ＝ 4，a ＝ ±2，因a ＞ 0，故a ＝ 2。 综上，a ＝ 2。 （3）函数f(x)的图象： 当x ≤ 0时，f(x) ＝ 2x ＋ 3是一条直线（斜率为2，y轴截距为3），取x ≤ 0的部分（射线）。 当x ＞ 0时，f(x) ＝ x² ＋ 1是抛物线（开口向上，顶点(0, 1)），取x ＞ 0的部分。 两段在x ＝ 0处连接，f(0) ＝ 3（用x ≤ 0的解析式）。 本题关键：分段函数求值时先判断自变量所在区间，画图时分别画出各段图象。 15．【答案】（1）f(－2) ＝ 0，f(－1) ＝ 1，f(1) ＝ 1，f(3) ＝ 6；（2）a ＝ 2；（3）R 【解析】f(x) ＝ {x ＋ 2, x ≤ －1; x², －1 ＜ x ＜ 2; 2x, x ≥ 2}。 （1）f(－2) ＝ －2 ＋ 2 ＝ 0（因－2 ≤ －1，用f(x) ＝ x ＋ 2）。 f(－1) ＝ －1 ＋ 2 ＝ 1（因－1 ≤ －1，用f(x) ＝ x ＋ 2）。 f(1) ＝ 1² ＝ 1（因－1 ＜ 1 ＜ 2，用f(x) ＝ x²）。 f(3) ＝ 2×3 ＝ 6（因3 ≥ 2，用f(x) ＝ 2x）。 （2）若f(a) ＝ 4，分三种情况讨论： ①当a ≤ －1时，f(a) ＝ a ＋ 2 ＝ 4，解得a ＝ 2，但a ＝ 2 ＞ －1，与a ≤ －1矛盾，舍去。 ②当－1 ＜ a ＜ 2时，f(a) ＝ a² ＝ 4，解得a ＝ ±2，但a ＝ 2不满足－1 ＜ a ＜ 2，a ＝ －2不满足－1 ＜ a ＜ 2，均舍去。 ③当a ≥ 2时，f(a) ＝ 2a ＝ 4，解得a ＝ 2，满足a ≥ 2，故a ＝ 2。 综上，a ＝ 2。 （3）求f(x)的值域： 当x ≤ －1时，f(x) ＝ x ＋ 2 ≤ －1 ＋ 2 ＝ 1，即f(x) ≤ 1。 当－1 ＜ x ＜ 2时，f(x) ＝ x² ∈ (0, 4)。 当x ≥ 2时，f(x) ＝ 2x ≥ 4。 综合三段：f(x)的值域为(－∞, 1]∪(0, 4)∪[4, ＋∞) ＝ (－∞, ＋∞) ＝ R。 但需注意：当x ≤ －1时f(x) ＝ x ＋ 2可取到任意小于等于1的值； 当－1 ＜ x ＜ 2时f(x) ＝ x²取(0, 4)；当x ≥ 2时f(x) ＝ 2x取[4, ＋∞)。 三段并集为(－∞, 1]∪(0, 4)∪[4, ＋∞) ＝ R，故值域为R。 本题关键：分段函数求值和值域时，需分段讨论再取并集。 高一数学必修一 · 第十课时 函数的表示法 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $