吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

“学海无灌惜心求索，天道酬勤笔新不鞭” 2025-2026学年下学期高二年级 2010 期末考试数学学科试卷 长春吉大附中实验学款 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用0.5铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹 清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答 题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.命题“x∈R,x2-2x+6>0”的否定是 A.x∈R,x2-2x+6≤0 B.∀x∈R,x2-2x+6<0 C.3x∈R,x2-2x+6>0 D.3x∈R,x2-2x+6≤0 【答案】D 2.已知全集U=R,A={x|1og2x<2},则RA= A.(0,4) B.(-0,4) C.[4,+o) D.(-m,0]U[4,+0) 【答案】D 3.“p=无"是“函数f()=c0r+网是奇函数的 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 【答案】A 4.函数f(x)=n(x+3)+ln(3-x),则 A.f(x)是奇函数 B.f(x)是周期函数 C.f(x)的最大值为2 D.f(-2)<f) 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第1页，共7页） 【答案】D 5.已知在(x+3的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则x的系数为 A.60 B.80 C.120 D.160 【答案】A 6.已知函数f)=(asin x+-cosx)cosx图象关于直线x=元对称，则a= 6 A.22 B.2 C.1 D.√5 【答案】D 7小明高考结束后出去游玩、相子和墨镜每天至少城一件，他每天效相子的概率为分，戴坚镜的概率为： 4 各天穿戴的情况独立，X表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望(x)= A.4天 B.8天 C.10天 D.16天 【答案】A 8.函数f)=1gx+2x 若f(a@+fb)=2,a>0,b>0,则(a+b)2的最小值为 A.√5 B.2 C.4 D.16 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9.已知正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是 A.Ina<0 B.2+2≥2W2 C.√a+b≤√2 D.1+2≤3+25 a b 【答案】ABC 10.已知函数fx)=sim(-2x-,则 A.f(x)是周期为π的函数 B.)与两数y=cw(2+学是同一函数 C=吾是f(四的一条对符轴 D. 了)在区间O,上的取值范围是1,3 【答案】AD 11.已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R,满足f(2-x)+f(x)=0,f3-x)+f(x+1)=0,若x∈[1,2] 时，f(x)=(x-2)hx,则下列说法正确的是 A.f(x)是奇函数 B.x∈[0，，f(x)=xln(2-x) 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第2页，共7页） c. 9-0 D.在区间[0,2026上，f(x)有2027个零点 i=1 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某超市有两个人工收银区A,B和一个自助收银区C,通过统计，顾客在A,B,C区进行付款的概率分别 11 为)，，。，在4，B,C区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为3)，，若顾客从该超市驱 且购买了环保购物袋的概率为)，则实数1= 【答案1 13.函数f(x)是定义在(0,0)U(0,+o)上的偶函数，其导函数为f"(x),对于x>0,都有f(x)>0,若 f(na)>f),则实数a的取值范围是 【答案】(0，)U(e,+o) 14.在4×4的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6， 则不同的填法种数为 【答案】90 【解析】第一行有6种填法，第二行也有6种填法，其中一种填法与第一行完全相同，此时第三行和第四 行的数字唯一确定；如果第二中的数与第一行中的数字完全相反，则第三行有6种填法，第四行由第三行 完全确定：第二行剩下4种填法都是有两个位置与第一行相同，另外两个位置与第一行相反，此时第三行 和第四行有2种填法，填法数为6×1+6+4×2)=90 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，单位圆O与x轴正半轴的交点为A点，点B,C在圆O上，且点B在第一象限，点C在 第二象限 1设乙40C=0,0e(写网，点C到x轴的距离与到y轴的距离之比是写 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第3页，共7页） sin(r-0)+cos(5π-9) 2 求 的值： o(36)sin() (2》当圈心角∠B0℃所对的弧长为，求图中阴影部分的面积 【解析】(1)设点C到x轴的距离为a(a>0),则点C到y轴的距离为3a. 因为0e写列，所以m0--} 3a3 in)+cs)sin()+co sin sine 所以 =-tan= 1 os()cos(si 3-6 cosθ-coS8 3 (2)设∠B0C=a,则弧长1=m=2亚，所以a= 2π 3 则扇形面积为S形Bc==)×2×1= 2 23 3 non.oc.ma 1 π√54机-35 2 2=4 ,所以阴影部分的面积S=S扇形S.B0c=34 12 1615分)已知函数)-=-mx,e0,司， (1)求曲线y=在点孕》处的切线方程： (2)求函数f(x)的极值。 【解折】Df=方-sm,xe0,可，求号可得了)=片osx,xe0,小， 1 元_亚-1， 22 24 所以曲线在点气原处的切线方程为y-后)-孕，即子1 (2)由1)可知，f)=cosx,xe(0,列，令f)-0,解得x=子 所以当背x≤π时，了>0，了付单调道蹈。 当0a时，四0.网华销运城.所以内的楼小你为原-子骨若 ,无极大值。 17.(15分)2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实 施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生 产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件 的月生产量x(单位：千件)与月检测成本y(单位：万元)，得到如下数据： 2 4 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第4页，共7页） (1)求y关于x的回归直线方程)=bx+a,并估计月产量达1万件时的月检测成本： (2)该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初 检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检若该零部 件的不合格率为a(0<a<1)，,且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为P(, 11 若P(@是关于a的函数，求证：函数P@的图象关于点〈宁之对称 (x-x)4- 参考公式：6=过 ,a=-b 列 【解析】(1)由条件可知：x=4,=5,列出下表 x-x -2 -1 0 2 y-y -1.8 -0.8 0.1 0.8 1.7 (x-x)y-) 3.6 0.8 0 0.8 3.4 (c-)2 4 7 0 4 将以上数据代入公式，可得b=0.86,a=1.56,所以=0.86x+1.56, 当x=10时，=10.16（万元），故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元. (2)设x表示3件产品中不合格产品的件数，则x~B(3,a), 故P(a)=ca2(1-ad+cd3,P(1-a)=c1-a21-1-a)]+c1-a3=Ca1-a2+c91-ad3, p(a+p1-a)=C91-a)3+Ca1-a2+Ca2(1-a+c3a3=(a+1-3=1, 马对称 又：函数的定义域为(0,1)，所以函数P@网的图象关于点宁 18.(17分)己知函数f)=x-1-alnx(aeR. (1)若a=2,判断f(x)的单调性： (2)若f(x)有唯一零点，求a的取值范围： 、1 (3)若p,q>0,且qeP=peg,证明：p-q>2. 【解折]1》白题意/网2油，定义城0+0，了=1是及0学≥0， 所以f(x)在(0，+o)上单调递增. (2)定义域为0，+四)，f)=1+】-=-m+1 xxx2 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第5页，共7页） 设g(x)=x2-ar+1(x>0) ①若a≤0，则g(x)>0,"(x)>0,f(x)在(0，+w)上单调递增. ②若0<a≤2，则△=a2-4≤0，g(x)>0,f'(x)>0，f(x)在(0，+n)上单调递增. 又f)=0,有唯一零点，符合题意： @若a>2,令g的=r-m+1=0,为-a--4∈0》，-a+-4∈0， 2 2 当x∈(0，)，g(x)>0，f"(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(s1x),g(x)<0,f"(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(k2+o),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.又f)=0,fx1)>0,f(x3)<0, f(ea)=ea-ea-a,ha)=ea-ea-a,ax2,h'(a)=eatea-2a>ea-ea-2a, 由(1)知e-ea-2a>e2-e2-4>0,所以()在(2，+m)单调递增， h(a=ea-ea-a2>h(2)=e2-e2-4>0, 即f(e)>0,由零点存在定理可知x∈(x,e),使得fc)=0,不合题意. 综上，a≤2.（或分离参数） 1 11 (3)因为p,g>0,且ge2=pe9,所以2=>1，h2-上+1， q卫9 令2-1，则>1，n=++,p int.9= ,所以p-g=+1 pp t g iint Int tInt tInt 要证p-g>2,只需证-1>2，即证-1-2nt>0>), tInt =x-士-2lnx单调递增，所以当t>1时，f0)=t-士-2血t>f0)=0,月 19.(17分)某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有n(心2，n∈N)种不同类型的卡片， 且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具. (1)若=2，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率： (2)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<I),用k(∈N,k≤)表示 事件A首次发生时的试验次数，且k的分布列为P(k)=(1-p)-1p,k=1,2,,n,则随机变量k服从几 1 何分布，该几何分布的期望为二.已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为X: p (i)求Xn的数学期望E(Xm): 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第6页，共7页） (i)证明：nln(n+l)<E(Xn)<n+nln. 【解析】(1)甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得 到的卡片和第一次得到的卡片不同，则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为 2x2x1x1= ×2224 (2)(i)设X句表示在甲已获得第i-1种类型的卡片后，获得第i∈N,i≤)种类型卡片需要购买的玩具 数，则Xn=X+X2++Xn 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， n-1 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为 n 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为”-2 n 依此类推，在甲己获得第-1种类型的卡片后，每次试验中获得第n种类型卡片的概率为上，则 X:X2,Xm均服从几何分布， 所以B(X)=B(X)+E区g++BmF1+””，+n. n-1n-2 n 设f()血(x+-,则f)=-1- x+1 x+11 当x∈(-1,0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(0，+o)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)≤f(0)=0,得ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时，等号成立. 令x=,得n"+1,则n(a+l=n2+n+n”+1<1++.O n nn 2 n 2 n 设&国=h+少x:则g" (x+12· 当x∈(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0,8(x)单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0,得X≤1n(K+1),当且仅当x=0时，等号成立. x+1 令他2，后h名则1+与+片1+h2+加经h名1+n,② 3 n 2 n-1 由①②得1n(u+1)<1++++1<1+ln, 23 n 所以庙u*<+片月，血a+<()r ,1) 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第7页，共7页）“学海无薩潜心求康，天道酬勒笔新不鞭” 2025-2026学年下学期高二年级 010 期末考试数学学科试卷 长春吉大附中宾孜学和 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用0.5铅笔填涂：非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹 清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答 题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.命题“x∈R,x2-2x+6>0”的否定是 A.x∈R,x2-2x+6≤0 B.x∈R,x2-2x+6<0 C.3x∈R,x2-2x+6>0 D.3x∈R,x2-2x+6≤0 2.已知全集U=R,A={xlog2x<2},则CRA= A.(0,4) B.（-∞，4) C.[4,+∞) D.(-o,0]U[4,+∞) 3.“p=T”是“函数f)=cos(x+)是奇函数”的 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数f(x)=ln(x+3)+ln(3-x),则 A.f(x)是奇函数 B.f(x)是周期函数 C.f(x)的最大值为2 D.f(-2)<fI) 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第1页，共7页） 2 5.已知在(x+)”的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则x2的系数为 X A.60 B.80 C.120 D.160 6.已知函数f)=(asinx+cosx)cosx图象关于直线x=严对称，则a= 6 A.2N2 B.2 C.1 D.5 .☑小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴二件，他每天戴帽子的概率为)戴墨镜的概率为 各天穿戴的情况独立，X表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望E(x)= A.4天 B.8天 C.10天 D.16天 函数)=gx±若/@)+/⑥)=2，a>0,b>0,则(a+bP的最 A.√2 B.2 C.4 D.16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9.已知正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是 A.Ina<0 B.2°+2b≥2W2 C.√a+√b≤√2 D.1+2≤3+22 a b 10.己知函数f)=sin(-2x-),则 A.f(x)是周期为π的函数 B.f(x)与函数y=cos(2x +孕是同一函数 C。X=侣是f)的一条对称轴 D. f在区间(0，孕上的取值范围是-1,5 11.已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R,满足f(2-x)+f(x)=0,f(3-x)+f(x+1)=0,若x∈[1,2] 时，f(x)=(x-2)nx,则下列说法正确的是 A.f(x)是奇函数 B.xE[0,1],f(x)=xIn(2-x) 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第2页，共7页) C. 咒冷-0 D.在区间[0,2026]上，f(x)有2027个零点 第卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某超市有两个人工收银区A,B和一个自助收银区C,通过统计，顾客在A,B,C区进行付款的概率分别 为311 11 2'?石在4，B,C区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为写2m,若顾客从该超市购物 且购买了环保购物袋的概率为号，则实数m 13.函数f(x)是定义在(-o,0)U(0,+∞)上的偶函数，其导函数为f'(x),对于x>0,都有'(x)>0,若 f(lna)>f(I),则实数a的取值范围是 14.在4×4的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6， 则不同的填法种数为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，单位圆O与x轴正半轴的交点为A点，点B,C在圆O上，且点B在第一象限，点C在 第二象限. 1D)设∠40C=0,0e宁，点C到x轴的距离与到y轴的距离之比是号， 2025-2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第3页，共7页） sin(π-0)+cos(5π-0) 求 一的值： cos(3π-0)+sin( 2 (2）当圆心角∠B0C所对的弧长为，求图中阴影部分的面积 16.(15分)已知函数f)=2x-sinx,xe(0,刀. (1)求曲线y=f)在点宁/孕》处的切线方程： (2)求函数f(x)的极值. 17.(15分)2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实 施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生 产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件 的月生产量x(单位：千件)与月检测成本y(单位：万元)，得到如下数据： 2 3 6 2 3.2 4.2 51 5.8 6.7 2025-2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第4页，共7页） (1)求y关于x的回归直线方程)=bx+ā，并估计月产量达1万件时的月检测成本： (2)该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初 检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部 件的不合格率为a(0<a<I),且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为P(@), ,11 若Pa是关于a的函数，求证：函数P(@的图象关于点（兮对称 2(x-x0y- 参考公式：6= -,a=y-b脉 ∑(x-) i= 一一 1&.(17分)已知函数f)=x-名alnx (ae)风. (1)若a=2,判断f(x)的单调性： (2)若f(x)有唯一零点，求a的取值范围； 11 (3)若p,9>0,且geP=pe9,证明：p-q>2. 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第5页，共7页） 19.(17分)某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有n(≥2，n∈N种不同类型的卡片， 且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具. (1)若n=2,求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率； (2)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<I),用k(k∈N,k≤n)表示 事件A首次发生时的试验次数，且k的分布列为P(k)=(1-p)-P,k=1,2,,n,则随机变量k服从几 何分布，该几何分布的期望为 .已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为X,. (i)求Xn的数学期望E(Xn): 2025一2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷（第6页，共7页） (i)证明：nln(n+l)<E(Xn)<n+nlnn.