第六单元复习与关联（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

该小学数学讲义通过知识框架图系统整合六年级上册数与运算、数量关系、图形几何、统计规律四大板块，用思维导图呈现分数、小数、百分数、比的互化逻辑，以表格归纳圆的公式体系及应用题通用模型，突出倍比关系、转化思想等核心主线。 讲义亮点在于“关联迁移”的分层练习设计，如抽屉原理例题“18名同学表演5类节目至少有几名类型相同”，引导学生用数学思维分析最不利情况，培养推理意识和模型意识。配套易错指引与真题拔高，基础生可掌握互化规则，优生能深化数形结合应用，助力教师实施精准复习教学。

第六单元 复习与关联（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《复习与关联》是人教版六年级上册期末整合梳理单元，区别于单一新知学习，本单元核心目标是打破各单元知识壁垒，将本册零散知识点串联成完整知识体系。重点梳理数与运算、数量关系、图形几何、统计规律四大板块的内在关联，打通分数四则运算、比、百分数、圆、统计知识的互通逻辑，是小学阶段数学知识的系统性收官梳理，同时为初中代数、几何、数据分析学习搭建衔接框架，重点培养整体建模、关联迁移、归纳总结的数学能力。 2. 核心学习内容 系统梳理分数乘除法、小数、百分数、比四者的内在联系与互化规则；整合分数、百分数、比三类数量应用题的通用解题模型与统一思维；梳理圆的周长、面积、组合图形公式体系与图形规律关联；梳理扇形统计图与百分率、整体部分关系的对应逻辑；归纳数形结合、转化、建模等通用数学思想；汇总全册高频易错关联知识点，打通知识互通壁垒，形成系统化解题思维。 3. 核心数学思想 关联迁移思想：发现不同知识点的共性逻辑，实现知识互通互用；系统建模思想：整合零散题型，归纳通用解题模型，摆脱碎片化刷题；转化统一思想：将不同形式的数、不同表述的应用题统一转化为基础模型；数形结合思想：联动数的运算与图形特征、统计图表，实现数图互通；归纳类比思想：对比相似知识点的异同，规避混淆、精准辨析。 二、数的体系关联：分数、小数、百分数、比互通整合 1. 四类数的本质关联 分数、小数、百分数、比本质是同一倍比关系的不同表达形式，核心均可表示两个数量的对比、占比、均分关系，可双向自由转化。小数是十进制分数的简化形式，百分数是固定分母为100的特殊分数，比是倍比关系的原始表述形式，四者底层逻辑完全统一，仅表达场景、书写形式不同。 2. 比、分数、除法三位一体对应关系 比的前项对应分数的分子、除法的被除数；比号对应分数线、除号；比的后项对应分数的分母、除法的除数；比值对应分数值、除法的商。三者核心规则统一：后项、分母、除数均不能为0；基本性质互通，同时乘除相同非0数，结果、比值、数值不变。 3. 四者双向互化通用逻辑 分数可转化为小数、百分数、最简整数比；小数可转化为分数、百分数、比；百分数可转化为分数、小数，再转化为对应比；比可通过求比值、化简，转化为分数、小数、百分数。所有互化均遵循数值不变、形式转换的核心原则，是数感与运算的核心基础。 4. 适用场景关联区分 精准计算、均分问题优先用分数；日常近似读数、简单运算优先用小数；统计对比、占比分析、涨跌幅度优先用百分数；数量配比、分配问题优先用比，根据场景灵活转换形式，实现解题最优适配。 三、运算体系关联：分数四则运算规律整合 1. 全册运算通用规则 整数、小数、分数、百分数四则运算的运算顺序完全统一：同级运算从左往右，两级运算先乘除后加减，有括号先算括号内；三大乘法运算定律（交换律、结合律、分配律）完全通用，适用于所有数的简便运算。 2. 分数乘除法关联规律（核心联动） 分数乘法与除法互为逆运算，计算逻辑统一为转化约分：分数乘法直接分子分母分别相乘、先约分后计算；分数除法全部转化为乘除数的倒数，统一为乘法运算。二者共用一套约分规则、最简结果规范，运算体系完全闭环。 3. 乘除结果大小变化关联规律 非0数运算规律互通且反向对应：乘小于1的真分数，数值变小；乘大于1的数，数值变大；除以小于1的真分数，数值变大；除以大于1的数，数值变小。可统一通过乘数、除数与1的大小关系，快速判断运算结果变化，无需计算即可自查对错。 四、应用题体系关联：分数、百分数、比统一解题模型 1. 三类应用题核心共性 分数应用题、百分数应用题、比的应用问题，底层思维完全一致，全部依托单位“1”判定、量率对应、倍比关系解题，仅表述形式不同，可互相转化题型。 2. 统一核心判定规则 单位“1”已知，用乘法计算，求对应部分量、变化量；单位“1”未知，用除法计算，依托部分量、对应分率/比求整体量。该规则通用于全册所有率、比、分数应用题型，是解题核心主线。 3. 三大通用基础模型整合 基础占比模型：整体与部分关系，已知整体求部分、已知部分求整体，适配分数、百分率、简单比分配问题；增减变化模型：多（少）几分之几、百分之几、多（少）对应份数，统一用基准量×（1±对应率/份数比）计算；差值对比模型：求两个量的差异占比、差异份数，统一用差值÷基准单位“1”，适配所有对比类应用题。 4. 按比分配与分数、百分数关联 按比分配可转化为分数占比问题，总份数对应整体单位“1”，各部分份数对应各部分分率，三者可完全互换题型、互通解题思路，是串联三类应用题的关键纽带。 五、几何体系关联：圆的知识整合与图形规律联动 1. 圆的公式体系整合 整合圆的核心公式逻辑，所有周长、面积计算均围绕半径展开，半径是圆的唯一核心变量。周长系列公式依托直径、半径倍数关系互通；面积、圆环、扇形面积均依托基础圆面积公式延伸推导，公式体系层层关联、统一溯源。 2. 图形转化思想关联 圆的面积推导依托化曲为直、极限分割思想，将曲线图形转化为长方形直线图形，与此前所有直线图形面积计算逻辑互通，实现曲线几何与直线几何的思维衔接。 3. 图形变化统一规律 圆的半径、直径、周长变化倍数完全一致，面积变化倍数为长度倍数的平方，该比例变化规律可与比、百分数倍数变化问题联动，实现几何与代数知识互通。 4. 易混图形概念整合辨析 系统区分整圆、半圆、扇形、圆环的结构特征、周长、面积差异，明确半圆周长包含直径、扇形为圆的局部、圆环为同心圆差值图形，规避相似图形概念混淆。 六、统计与规律关联：扇形统计图与数率联动 1. 扇形统计图核心关联逻辑 扇形统计图完全依托百分数、分数整体与部分关系绘制，整个圆代表单位“1”（100%），各个扇形对应各部分占整体的百分比、分率，是数与统计的直观结合载体。 2. 统计与应用题互通规则 扇形统计图读数、计算完全套用分数百分数应用题模型：已知总量求部分量用乘法，已知部分量求总量用除法，实现图表信息与数量运算的无缝衔接。 3. 数形结合规律整合 联动数学广角数与形知识点，整合图形规律、数字规律、分数求和规律，明确图形变化对应数字运算，无限分割图形对应无限趋近分数和，完善数形结合思维体系。 七、全册知识核心关联主线（总纲） 六年级上册所有知识围绕倍比关系、转化思想、数形结合、量率对应四大主线贯穿始终。数的形式可以互相转化，运算规则可以统一通用，应用题模型可以互通复用，几何图形可以数形转化，统计图表可以量化对应，所有零散知识点并非独立，而是相互关联、层层递进、逻辑统一的完整数学体系。 易错指引 1. 数与运算关联易错 混淆分数、比、百分数的表述形式，无法灵活互化；记错分数乘除结果变化规律，正反运算规律颠倒；简便运算混淆运算定律，除法错误套用分配律；忽略四类数的本质共性，孤立记忆知识点，不会迁移应用。 2. 应用题关联易错 无法识别分数、百分数、比题型的互通性，机械单独刷题；找不准统一单位“1”，不同题型切换时逻辑混乱；增减率、差值对比问题，混淆基准量，量率、量比不对应；连续变化问题中，忽略单位“1”动态变化，套用固定公式出错。 3. 几何关联易错 孤立记忆圆的公式，不会根据半径变化联动推导周长、面积变化；混淆半圆、扇形、圆环的周长与面积计算逻辑；不会结合比、百分数求解圆的倍数变化、占比问题，几何与代数知识脱节。 4. 统计与规律易错 不会结合扇形统计图提取对应分率、百分率数据；无法将数形结合规律迁移到分数运算、图形计算；割裂图表、数字、图形的关联关系，无法综合运用知识解题。 例题讲解 【例题】 1．六（1）班举办“童心向党”主题活动，有18名同学表演了节目，节日类型有唱歌、舞蹈、弹奏、朗诵、小品，至少有( )名同学表演的节目类型相同。 【例题】 2．盒子里有大小、形状完全相同的3个红球和3个绿球，至少摸出( )个球，才能保证摸出的球中一定既有红球又有绿球。 【例题】 3．把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？ 【例题】 4．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？ 真题拔高 二、填空题 5．电影《长津湖》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有( )人是同一个月出生的。 6．把至少( )个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。 7．盒子里有5个红球，4个黄球，3个蓝球，从中任意摸出一个球，摸出( )球的可能性最大。 8．盒子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的玻璃球各5个，至少取出( )个玻璃球，才能保证有2个是同色的。 9．盒子里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，任意地取出筷子，使取出的筷子至少有两双不同色，那么至少要取出( )根。 10．把5支钢笔分给4名同学，至少有一名同学得到( )支钢笔；如果把5支钢笔分给3名同学，至少有一名同学得到( )支钢笔。 11．5名客人要住进4间客房，至少有( )名客人要住进同一间客房。 12．袋子里有红球、白球和黄球各10个，要想摸出的球一定有2个颜色相同，至少要摸出( )个球。 三、选择题 13．欣悦小学四年级组有18位老师。他们中至少有（    ）人是同一个生肖。 A．2 B．4 C．6 D．7 14．学校篮球队的6名队员练习投篮，共投进了56个球，总有一名队员至少投进（    ）个球。 A．9 B．10 C．11 D．12 15．有13只鸽子飞进4个笼子里，总有一个笼子里至少飞进（    ）只鸽子。 A．1 B．2 C．3 D．4 16．将10个苹果装到3个箱子里，则至少有（    ）个苹果会在同一个箱子里。 A．2 B．3 C．4 D．5 17．在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（    ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 四、判断题 18．盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸9个球。( ) 19．六（1）班有45名同学，至少有4名同学在同一个月过生日。( ) 20．从3个抽屉中拿出25个梨，无论怎么拿，总有一个抽屉从中至少拿出7个梨。( ) 21．某班有男生15人，女生17人，至少有2人在同一个月出生。( ) 22．13名晚报小记者中，至少有2名小记者是同一月出生的。( ) 五、解答题 23．箱子里有黑、白两种颜色的袜子各10只。 （1）至少摸出多少只，才能保证可以配2双袜子？ （2）至少摸出多少只，一定有1双白色袜子？ 24．把100枝花插进14个花瓶里。他们俩谁说得对？ 25．纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ 26．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 复习与关联（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《复习与关联》是人教版六年级上册期末整合梳理单元，区别于单一新知学习，本单元核心目标是打破各单元知识壁垒，将本册零散知识点串联成完整知识体系。重点梳理数与运算、数量关系、图形几何、统计规律四大板块的内在关联，打通分数四则运算、比、百分数、圆、统计知识的互通逻辑，是小学阶段数学知识的系统性收官梳理，同时为初中代数、几何、数据分析学习搭建衔接框架，重点培养整体建模、关联迁移、归纳总结的数学能力。 2. 核心学习内容 系统梳理分数乘除法、小数、百分数、比四者的内在联系与互化规则；整合分数、百分数、比三类数量应用题的通用解题模型与统一思维；梳理圆的周长、面积、组合图形公式体系与图形规律关联；梳理扇形统计图与百分率、整体部分关系的对应逻辑；归纳数形结合、转化、建模等通用数学思想；汇总全册高频易错关联知识点，打通知识互通壁垒，形成系统化解题思维。 3. 核心数学思想 关联迁移思想：发现不同知识点的共性逻辑，实现知识互通互用；系统建模思想：整合零散题型，归纳通用解题模型，摆脱碎片化刷题；转化统一思想：将不同形式的数、不同表述的应用题统一转化为基础模型；数形结合思想：联动数的运算与图形特征、统计图表，实现数图互通；归纳类比思想：对比相似知识点的异同，规避混淆、精准辨析。 二、数的体系关联：分数、小数、百分数、比互通整合 1. 四类数的本质关联 分数、小数、百分数、比本质是同一倍比关系的不同表达形式，核心均可表示两个数量的对比、占比、均分关系，可双向自由转化。小数是十进制分数的简化形式，百分数是固定分母为100的特殊分数，比是倍比关系的原始表述形式，四者底层逻辑完全统一，仅表达场景、书写形式不同。 2. 比、分数、除法三位一体对应关系 比的前项对应分数的分子、除法的被除数；比号对应分数线、除号；比的后项对应分数的分母、除法的除数；比值对应分数值、除法的商。三者核心规则统一：后项、分母、除数均不能为0；基本性质互通，同时乘除相同非0数，结果、比值、数值不变。 3. 四者双向互化通用逻辑 分数可转化为小数、百分数、最简整数比；小数可转化为分数、百分数、比；百分数可转化为分数、小数，再转化为对应比；比可通过求比值、化简，转化为分数、小数、百分数。所有互化均遵循数值不变、形式转换的核心原则，是数感与运算的核心基础。 4. 适用场景关联区分 精准计算、均分问题优先用分数；日常近似读数、简单运算优先用小数；统计对比、占比分析、涨跌幅度优先用百分数；数量配比、分配问题优先用比，根据场景灵活转换形式，实现解题最优适配。 三、运算体系关联：分数四则运算规律整合 1. 全册运算通用规则 整数、小数、分数、百分数四则运算的运算顺序完全统一：同级运算从左往右，两级运算先乘除后加减，有括号先算括号内；三大乘法运算定律（交换律、结合律、分配律）完全通用，适用于所有数的简便运算。 2. 分数乘除法关联规律（核心联动） 分数乘法与除法互为逆运算，计算逻辑统一为转化约分：分数乘法直接分子分母分别相乘、先约分后计算；分数除法全部转化为乘除数的倒数，统一为乘法运算。二者共用一套约分规则、最简结果规范，运算体系完全闭环。 3. 乘除结果大小变化关联规律 非0数运算规律互通且反向对应：乘小于1的真分数，数值变小；乘大于1的数，数值变大；除以小于1的真分数，数值变大；除以大于1的数，数值变小。可统一通过乘数、除数与1的大小关系，快速判断运算结果变化，无需计算即可自查对错。 四、应用题体系关联：分数、百分数、比统一解题模型 1. 三类应用题核心共性 分数应用题、百分数应用题、比的应用问题，底层思维完全一致，全部依托单位“1”判定、量率对应、倍比关系解题，仅表述形式不同，可互相转化题型。 2. 统一核心判定规则 单位“1”已知，用乘法计算，求对应部分量、变化量；单位“1”未知，用除法计算，依托部分量、对应分率/比求整体量。该规则通用于全册所有率、比、分数应用题型，是解题核心主线。 3. 三大通用基础模型整合 基础占比模型：整体与部分关系，已知整体求部分、已知部分求整体，适配分数、百分率、简单比分配问题；增减变化模型：多（少）几分之几、百分之几、多（少）对应份数，统一用基准量×（1±对应率/份数比）计算；差值对比模型：求两个量的差异占比、差异份数，统一用差值÷基准单位“1”，适配所有对比类应用题。 4. 按比分配与分数、百分数关联 按比分配可转化为分数占比问题，总份数对应整体单位“1”，各部分份数对应各部分分率，三者可完全互换题型、互通解题思路，是串联三类应用题的关键纽带。 五、几何体系关联：圆的知识整合与图形规律联动 1. 圆的公式体系整合 整合圆的核心公式逻辑，所有周长、面积计算均围绕半径展开，半径是圆的唯一核心变量。周长系列公式依托直径、半径倍数关系互通；面积、圆环、扇形面积均依托基础圆面积公式延伸推导，公式体系层层关联、统一溯源。 2. 图形转化思想关联 圆的面积推导依托化曲为直、极限分割思想，将曲线图形转化为长方形直线图形，与此前所有直线图形面积计算逻辑互通，实现曲线几何与直线几何的思维衔接。 3. 图形变化统一规律 圆的半径、直径、周长变化倍数完全一致，面积变化倍数为长度倍数的平方，该比例变化规律可与比、百分数倍数变化问题联动，实现几何与代数知识互通。 4. 易混图形概念整合辨析 系统区分整圆、半圆、扇形、圆环的结构特征、周长、面积差异，明确半圆周长包含直径、扇形为圆的局部、圆环为同心圆差值图形，规避相似图形概念混淆。 六、统计与规律关联：扇形统计图与数率联动 1. 扇形统计图核心关联逻辑 扇形统计图完全依托百分数、分数整体与部分关系绘制，整个圆代表单位“1”（100%），各个扇形对应各部分占整体的百分比、分率，是数与统计的直观结合载体。 2. 统计与应用题互通规则 扇形统计图读数、计算完全套用分数百分数应用题模型：已知总量求部分量用乘法，已知部分量求总量用除法，实现图表信息与数量运算的无缝衔接。 3. 数形结合规律整合 联动数学广角数与形知识点，整合图形规律、数字规律、分数求和规律，明确图形变化对应数字运算，无限分割图形对应无限趋近分数和，完善数形结合思维体系。 七、全册知识核心关联主线（总纲） 六年级上册所有知识围绕倍比关系、转化思想、数形结合、量率对应四大主线贯穿始终。数的形式可以互相转化，运算规则可以统一通用，应用题模型可以互通复用，几何图形可以数形转化，统计图表可以量化对应，所有零散知识点并非独立，而是相互关联、层层递进、逻辑统一的完整数学体系。 易错指引 1. 数与运算关联易错 混淆分数、比、百分数的表述形式，无法灵活互化；记错分数乘除结果变化规律，正反运算规律颠倒；简便运算混淆运算定律，除法错误套用分配律；忽略四类数的本质共性，孤立记忆知识点，不会迁移应用。 2. 应用题关联易错 无法识别分数、百分数、比题型的互通性，机械单独刷题；找不准统一单位“1”，不同题型切换时逻辑混乱；增减率、差值对比问题，混淆基准量，量率、量比不对应；连续变化问题中，忽略单位“1”动态变化，套用固定公式出错。 3. 几何关联易错 孤立记忆圆的公式，不会根据半径变化联动推导周长、面积变化；混淆半圆、扇形、圆环的周长与面积计算逻辑；不会结合比、百分数求解圆的倍数变化、占比问题，几何与代数知识脱节。 4. 统计与规律易错 不会结合扇形统计图提取对应分率、百分率数据；无法将数形结合规律迁移到分数运算、图形计算；割裂图表、数字、图形的关联关系，无法综合运用知识解题。 例题讲解 【例题】 1．六（1）班举办“童心向党”主题活动，有18名同学表演了节目，节日类型有唱歌、舞蹈、弹奏、朗诵、小品，至少有( )名同学表演的节目类型相同。 【答案】4 【分析】根据题意，相当于把18个物体放到5个抽屉中，则18÷5＝3（名）……3（名），至少有3＋1＝4（名）同学表演的节目类型相同。 【详解】18÷5＝3（名）……3（名） 3＋1＝4（名） 所以至少有4名同学表演的节目类型相同。 【例题】 2．盒子里有大小、形状完全相同的3个红球和3个绿球，至少摸出( )个球，才能保证摸出的球中一定既有红球又有绿球。 【答案】4 【分析】从最不利情况考虑，假设同种颜色的3个球取尽，然后再取其它颜色，所以再取1个，就能保证有两种颜色不相同的球，因此至少要摸出：3＋1＝4（个）；据此解答。 【详解】3＋1＝4（个） 盒子里有大小、形状完全相同的3个红球和3个绿球，至少摸出4个球，才能保证摸出的球中一定既有红球又有绿球。 【例题】 3．把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？ 【答案】13根 【分析】把四种颜色看作个抽屉，12根筷子看作12个元素，从最不利情况考虑，假设每一次取出的根筷子颜色都不相同，这样的情况连续取3次，每种颜色的筷子各有3根，此时再任意取一根筷子一定有根筷子是同色的，据此解答。 【详解】 ＝ ＝13（根） 答：每次至少拿13根才能保证有根颜色一致的筷子。 【点睛】本题主要考查利用抽屉原理解决问题，从最不利情况分析问题是解答题目的关键。 【例题】 4．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？ 【答案】见详解 【分析】这是一道典型的抽屉原理的题目。一副扑克牌一共有54张，去掉大小王就是52张，扑克牌除了大小王以外有4种花色， 也就是将这4种花色看成4个抽屉，9个人每人取1张牌就是9张，将这9张牌放入这4个抽屉中，尽量平均分，多出的1张总要放进其中的一个抽屉里。 【详解】据分析： 9÷4＝2（张）……1（张） 2＋1＝3（张） 答：每个花色已经有2张了，多出的1张牌肯定是4种花色的任意一种，则9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。 真题拔高 二、填空题 5．电影《长津湖》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有( )人是同一个月出生的。 【答案】28 【分析】把326位观众看作被分放物体，一年12个月看作12个抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】一年一共有12个月。 326÷12＝27（人）……2（人） 27＋1＝28（人） 所以，这些观众中至少有28人是同一个月出生的。 6．把至少( )个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。 【答案】7 【分析】用果盘的个数加上1，即可求出把至少几个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。 【详解】6＋1＝7（个） 【点睛】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 7．盒子里有5个红球，4个黄球，3个蓝球，从中任意摸出一个球，摸出( )球的可能性最大。 【答案】红 【分析】盒子里哪种颜色球的数量越多，摸出该种颜色球的可能性就越大，盒子里哪种颜色球的数量越少，摸出该种颜色球的可能性就越小，据此解答。 【详解】分析可知，因为5＞4＞3，则红球数量＞黄球数量＞蓝球数量，所以从中任意摸出一个球，摸出红球的可能性最大。 8．盒子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的玻璃球各5个，至少取出( )个玻璃球，才能保证有2个是同色的。 【答案】5 【分析】根据题意，盒子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的玻璃球各5个，运气最差的情况为先取出的4个玻璃球分别是红、黄、蓝、绿各1个，再从盒子中任取一个玻璃球，此时就会出现2个同色的玻璃球。 【详解】4＋1＝5（个） 至少取出5个玻璃球，才能保证有2个是同色的。 9．盒子里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，任意地取出筷子，使取出的筷子至少有两双不同色，那么至少要取出( )根。 【答案】11 【分析】根据题干，可以把黑色，白色和黄色看作3个抽屉，考虑最差情况：摸出10根：8根黑色的，1根白色的，1根黄色的，那么再任意摸出1根，无论从白色抽屉，还是从黄色抽屉摸出，都会出现有两双不同颜色的筷子，由此即可解决问题。 【详解】由分析可得： （根） 至少要取11根才能保证达到要求。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决问题的方法，这里要注意考虑最差情况。 10．把5支钢笔分给4名同学，至少有一名同学得到( )支钢笔；如果把5支钢笔分给3名同学，至少有一名同学得到( )支钢笔。 【答案】 2 2 【分析】根据抽屉原理：钢笔总数÷学生人数＝商……余数，按余数分类：①有余数，则至少有一名同学得到“商＋1”支钢笔；②没有余数，则至少有一名同学得到“商”支钢笔。 【详解】5÷4＝1（支）……1（支） 1＋1＝2（支） 所以把5支钢笔分给4名同学，至少有一名同学得到2支钢笔。 5÷3＝1（支）……2（支） 1＋1＝2（支） 所以把5支钢笔分给3名同学，至少有一名同学得到2支钢笔。 11．5名客人要住进4间客房，至少有( )名客人要住进同一间客房。 【答案】2 【分析】根据题意，先将5名客人平均分给4间客房，每间客房住进1名客人，还剩下1名客人，这1名客人无论住进哪间客房里，总有一间客房至少有2名客人。 【详解】5÷4＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 至少有2名客人要住进同一间客房。 12．袋子里有红球、白球和黄球各10个，要想摸出的球一定有2个颜色相同，至少要摸出( )个球。 【答案】4 【分析】根据最不利原则，只要摸出的球数比袋子里球的颜色种数多1，就能保证至少有2个球同色。 【详解】袋子里共有3种颜色的球，考虑最差情况，摸出3个球，分别是红球、白球和黄球不同的颜色，那么再任意摸出1个球，可以保证摸出的球里一定有2个是同色的。所以要想摸出的球一定有2个颜色相同，至少要摸出个球。 三、选择题 13．欣悦小学四年级组有18位老师。他们中至少有（    ）人是同一个生肖。 A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】在此类抽屉问题中，至少数等于被分配的物体数除以抽屉数的商，再加上1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是18，抽屉数是12（生肖一共有12种），据此解答。 【详解】根据分析：18÷12＝1（人）……6（人），1＋1＝2（人），所以他们中至少有2人是同一个生肖。 故答案为：A 14．学校篮球队的6名队员练习投篮，共投进了56个球，总有一名队员至少投进（    ）个球。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】将此问题看作鸽巢问题。6名队员相当于6个鸽巢，56个进球相当于56只鸽子，将56个进球平均分配给6名队员，每名队员进9个球，还剩2个进球，剩余的2个进球无论分给哪名队员，总会有一名队员至少进10个球。 【详解】56÷6＝9（个）⋯⋯2（个） 9＋1＝10（个） 总有一名队员至少投进10个球。 故答案为：B 15．有13只鸽子飞进4个笼子里，总有一个笼子里至少飞进（    ）只鸽子。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将笼子看作抽屉，鸽子看作元素，通过平均分的方法来确定每个抽屉先放的数量，再考虑剩余鸽子的分配。据此解答。 【详解】13只鸽子飞进4个笼子，13÷4 ＝ 3（只）……1（只），每个笼子先平均放3只鸽子，还剩1只。剩下的这1只不论放进哪个笼子，都会使得这个笼子里的鸽子数量至少增加1只。所以总有一个笼子至少飞进3＋1＝4只鸽子。 故答案为：D 16．将10个苹果装到3个箱子里，则至少有（    ）个苹果会在同一个箱子里。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用抽屉原理：将10个苹果平均放到3个箱子里面，平均每个箱子里面有3个苹果，还剩下1个苹果随便放入任何一个箱子里面，则这个箱子里面有4个苹果。 【详解】10÷3＝3（个）……1（个） 3＋1＝4（个） 则至少有4个苹果会在同一个箱子里。 故答案为：C 【点睛】利用抽屉原理解题一般有以下四步： 1，确定抽屉数； 2，确定苹果数； 3，苹果数÷抽屉数＝商……余数； 4，根据余数得到结论。 这里，苹果数÷抽屉数＝商……余数，按余数分类： （1）有余数，至少有“商＋1”个苹果在同一个抽屉里； （2）没有余数，至少有“商”个苹果在同一个抽屉里。 17．在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（    ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出订阅一种、两种、三种杂志一共有7种情况，然后把8个人平均分给7种订阅情况，每种订阅情况分到1个人，还剩下1个人，那么至少有（1＋1）个人订的杂志种类相同。 【详解】订阅一种的有：《小作文》或《小读者》或《儿童时代》，有3种情况； 订阅两种的有：《小作文》和《小读者》、《小作文》和《儿童时代》、《小读者》和《儿童时代》，有3种情况； 订阅三种的有：《小作文》和《小读者》和《儿童时代》，有1种情况； 共有：3＋3＋1＝7（种） 8÷7＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 这8个人中至少有2个人所订的杂志种类完全相同。 故答案为：A 四、判断题 18．盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸9个球。( ) 【答案】× 【分析】考虑最倒霉的情况，摸出的前3个都是不同颜色的球，再摸3个还是不同颜色的球，此时每种颜色各2个球，再摸一个，无论什么颜色，都可保证有3个同色的，据此分析。 【详解】3×2＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸7个球，所以原题说法错误。 故答案为：× 19．六（1）班有45名同学，至少有4名同学在同一个月过生日。( ) 【答案】√ 【分析】把一年12个月看作12个抽屉，把45名同学看作45个元素，那么每个抽屉需要放45÷12＝3（名）……9（名），所以每个抽屉先要放3名，剩下的9名无论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3＋1＝4（名），据此解答。 【详解】45÷12＝3（名）……9（名） 3＋1＝4（名） 所以至少有4名同学在同一个月过生日。 故答案为：√ 20．从3个抽屉中拿出25个梨，无论怎么拿，总有一个抽屉从中至少拿出7个梨。( ) 【答案】√ 【分析】在这个问题中，有3个抽屉，要拿出25个梨。最不利的情况是每个抽屉中的梨尽可能少，即每个抽屉最多放6个梨（因为7是目标最小值，所以先假设都不超过6个）。 如果每个抽屉放6个梨，3个抽屉最多可以放：个梨。 但实际有25个梨，比18个多了7个。 这意味着，即使在最均匀分配的情况下，也还有个梨需要额外放入抽屉中。无论这7个 梨如何分配，都必然会导致至少有一个抽屉中的梨数量超过6个，即至少达到7个。据此解答。 【详解】根据分析可得： 从3个抽屉中拿出25个梨，无论怎么拿，总有一个抽屉从中至少拿出7个梨。说法正确； 故答案为：√ 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 21．某班有男生15人，女生17人，至少有2人在同一个月出生。( ) 【答案】× 【分析】根据题意可知，某班共有15＋17＝32人，平均分给12个月，每个月先放2人，还剩下8人，这剩下的8人，无论放哪在哪个月，至少有3人在同一个月出生。 【详解】15＋17＝32（人） 32÷12＝2（人）……8（人） 2＋1＝3（人） 至少有3人在同一个月出生。 原题说法错误。 故答案为：× 22．13名晚报小记者中，至少有2名小记者是同一月出生的。( ) 【答案】√ 【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，13名晚报小记者看做13个元素，考虑最差情况：把13名晚报小记者平均分配在12个抽屉中：13÷12＝1（名）⋯⋯1（名），那么每个抽屉都有1人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现2个人在同一个抽屉里。 【详解】13÷12＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 即至少有2名小记者是同一月出生的。原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 五、解答题 23．箱子里有黑、白两种颜色的袜子各10只。 （1）至少摸出多少只，才能保证可以配2双袜子？ （2）至少摸出多少只，一定有1双白色袜子？ 【答案】（1）5只 （2）12只 【分析】从最不利的情况考虑：黑、白两种颜色的袜子，第一次摸出的是黑色的袜子、第二次摸出的是白色的袜子，第三次无论摸出的是什么颜色，都可以和前两次中的一只配成一双，假设第三次摸出一只白色袜子，那么还剩一只黑色袜子，最不利情况下，第四次摸出后可能有一只黑色袜子和三只白色袜子，第五次摸出任意颜色都能配成第二双袜子，所以至少要摸出5只，才能保证可以配2双袜子。 从最不利的情况考虑：前10次都摸出了黑色的袜子，第11次，第12次只能摸出白色袜子，所以至少摸出12只，一定有1双白色袜子。 【详解】（只） 答：至少摸出5只，才能保证可以配2双袜子。 （只） 答：至少摸出12只，一定有1双白色袜子。 【点睛】从最不利的情况进行考虑。 24．把100枝花插进14个花瓶里。他们俩谁说得对？ 【答案】文文说得对。 【分析】根据抽屉原理，用总数除以抽屉数(花瓶数），得到每个抽屉放几枝，还余几枝。 那么至少数＝商＋1。 【详解】100÷14＝7（枝）……2（枝） 7＋1＝8（枝） 至少有8枝花要插进同一个花瓶里。 答：文文说得对。 25．纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ 【答案】146只 【分析】15双就是30只，考虑最不利原则，五种颜色，每种都摸到29只，怎么办呢，那就随便再摸一只，因为不管摸到什么色，都可以跟前面的29相加，到30了，这样就能保证有15双颜色相同的袜子。 【详解】5×29＋1 ＝145＋1 ＝146（只）   答：在黑暗中至少要取出146只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题。 26．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 【答案】 33位 【分析】在160次到175次之间共有16种不同的跳绳次数，把每个跳绳次数看作1个抽屉，共有16个抽屉。最坏的情况是每个抽屉里放2个相同的跳绳次数，就必须选出16×2＝32（位）同学。如果再选一位同学，不管他跳其中哪种次数，放入相应的抽屉中，这个抽屉中便有3个相同的跳绳次数，所以至少要挑出33位同学，才能保证从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 【详解】 （位） 答：在该班中至少要挑出33位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $