精品解析：湖南省张家界市桑植县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2026年上学期八年级期末质量监测 数学试卷 注意事项：1．本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．请将答案填写在答题卡上．在草稿纸、试题卷上作答无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 习近平总书记在陕西考察时强调“人不负青山，青山定不负人”，总书记的讲话饱含着对人与自然和谐共生的深刻思考．以下是绿色包装、节水、低碳、回收四个标志，其中是中心对称图形的为（ ） A.   B. C. D.     2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（     ） A. B. C. D. 5. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 6. 某校组织学生参加“奋进新征程、筑梦新时代”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如下表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ）． 成绩（分） 84 89 90 91 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 A. 91，91 B. 91，90 C. 90.5，90 D. 90，91 7. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班分数的方差最大 B. 三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C. 丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D. 若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 8. 如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 9. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形为矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形为菱形 D. 一组邻边相等的矩形为正方形 10. 成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B. 服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C. 服药后第8小时，血液中不含药 D. 如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，用坐标表示邮局的位置，用坐标表示书店的位置，则表示学校位置的点的坐标是________． 12. 甲、乙两名同学在5次数学测验中，平均成绩均为121分，这两名同学成绩的方差分别是，甲、乙两人的成绩更稳定的是____________．（填“甲”或“乙”） 13. 如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则_____________． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为__________． 15. 如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 16. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 三、解答题（共8小题，满分72分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，5），B（﹣5，﹣3），C（﹣1，0）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△； （2）写出点，，的坐标； （3）求出△ABC的面积． 18. 如图，点E，F是对角线上的点，，连接、，求证：四边形为平行四边形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）求一次函数的表达式． 20. 某校计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球，排球，篮球，羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了下边两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生共有___________人，___________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为__________； （4）若该校有2000名学生，请你估计该校最喜爱足球运动的学生有多少人？ 21. 如图，在菱形中，若，，过点作于点． （1）菱形的面积为 ． （2）求的长． （3）过点作，垂足为，求四边形的面积． 22. 飞盘是一种投掷盘形器具的运动，适用于比赛、健身及大众休闲等活动．它不仅具有广泛的群众性，娱乐性，还有很强的对抗性和趣味性．某商家拟购进A，B两种型号的飞盘，经问询知购进2个A型飞盘和3个B型飞盘需38元，已知B型飞盘的进货单价比A型飞盘的进价单价多6元． （1）A型飞盘和B型飞盘的进货单价分别是多少元？ （2）商家最终决定购进这两种飞盘共150个，其中B型飞盘数量不多于A型飞盘数量的2倍，若B型飞盘的销售单价为14元，A型的销售单价为6元，请你帮商家设计一种购货方案，使得商家获利最多，并求出最多获利为多少元？ 23. 如图，在四边形中，，且，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，解答下列问题： （1）当t为多少秒时，四边形成为矩形； （2）当t为多少秒时，四边形成为平行四边形； （3）是否存在t，使得是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 24. 综合探究 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出的结论是．而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图①，取的中点，连接，证明．从而得到． （1）请你根据小明的想法，写出证明过程； 【问题解决】 （2）如图②，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”（不与点重合），其余条件不变，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 （3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期八年级期末质量监测 数学试卷 注意事项：1．本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．请将答案填写在答题卡上．在草稿纸、试题卷上作答无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 习近平总书记在陕西考察时强调“人不负青山，青山定不负人”，总书记的讲话饱含着对人与自然和谐共生的深刻思考．以下是绿色包装、节水、低碳、回收四个标志，其中是中心对称图形的为（ ） A.   B. C. D.     【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形的关键是找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，据此对选项依次判断即可． 【详解】A、中心对称图形，选项符合题意； B、不是中心对称图形，选项不符合题意； C、轴对称图形，选项不符合题意； D、不是中心对称图形，选项不符合题意； 故选：A． 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，根据点横纵坐标的正负即可判断点所在象限． 【详解】解：∵点的坐标为，，， 又∵平面直角坐标系中，第三象限内点的横纵坐标均为负数， ∴点在第三象限． 4. 如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用． 根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵的平分线在五边形内相交于点P， ∴， ∴． 故选：B． 5. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质判断即可．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴一次函数经过一、二、四象限，函数值y随自变量x的增大而减小，故A选项不正确，C选项正确； 当时，， ∴图象与y轴交于点，故B选项正确； 当时，， ∵函数值y随自变量x的增大而减小， ∴当时，，故D选项正确； 故选：A． 6. 某校组织学生参加“奋进新征程、筑梦新时代”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如下表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ）． 成绩（分） 84 89 90 91 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 A. 91，91 B. 91，90 C. 90.5，90 D. 90，91 【答案】A 【解析】 【分析】中位数是将数据从小到大排列后最中间位置的数，数据个数为奇数时即为中间的数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义即可求解． 【详解】解：∵共有15个参赛选手，数据个数为奇数， ∴中位数是从小到大排列后第个数据． 计算累计人数得 ，即成绩小于91分的共有6人，第7到第10个数据都是91分，因此第8个数据为91分，即中位数为91． ∵91分出现了4次，是所有成绩中出现次数最多的数， ∴众数为91． 7. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班分数的方差最大 B. 三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C. 丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D. 若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 8. 如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 9. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形为矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形为菱形 D. 一组邻边相等的矩形为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，对各选项逐一判断，即可得到假命题． 【详解】解： A、四边形内角和为，四个角都相等，所以每个内角都为，因此四个角都相等的四边形是矩形，A是真命题，不符合题意； B、根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，B是真命题，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，C是假命题，符合题意； D、根据正方形的判定，一组邻边相等的矩形是正方形，D是真命题，不符合题意； 故选：C． 10. 成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B. 服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C. 服药后第8小时，血液中不含药 D. 如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 【答案】D 【解析】 【分析】A、直接在函数图象中找出能够取到的最大值时，的值，即可得出结论； B、直接在函数图象中找出当时，的值，即可得出结论； C、先求出当时的函数解析式，再求出当时，的值，即可得出结论； D、先求出当时的函数解析式，再将分别代入正比例函数解析式和一次函数解析式中求出相应的的值，再作差计算即可． 【详解】解：A、如图所示，2小时血液中含药量最高，达每毫升6毫克 ，A选项说法正确，故此选项不符合题意； B、如图所示，当时，，所以服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克，B选项说法正确，故此选项不符合题意； C、当时，设， 将点，代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∴服药后第8小时，血液中不含药． C选项说法正确，故此选项不符合题意； D、当时，设， 将点代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∵， ∴如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是4小时． D选项说法错误，故此选项符合题意． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，用坐标表示邮局的位置，用坐标表示书店的位置，则表示学校位置的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据用坐标表示邮局的位置，用坐标表示书店的位置，画出平面直角坐标系，再读取表示学校位置的点的坐标，即可作答． 【详解】解：∵用坐标表示邮局的位置，用坐标表示书店的位置， ∴画出平面直角坐标系，如图所示： ∴表示学校位置的点的坐标是， 故答案为： 12. 甲、乙两名同学在5次数学测验中，平均成绩均为121分，这两名同学成绩的方差分别是，甲、乙两人的成绩更稳定的是____________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义，掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小成为解题的关键．根据方差的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴乙的成绩更稳定． 故答案为：乙． 13. 如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得，再利用三角形中位线定理，是的中位线，则，代入长度即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 点，分别是，的中点， 为的中位线， 即， （cm）． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集． 【详解】解：两条直线的交点坐标为（-1，1）， 当x＜-1时， 直线y=ax+4在直线y=kx的下方， 当x＞-1时， 直线y=ax+4在直线y=kx的上方， 故不等式kx＜ax+4的解集为x>-1． 故答案为：x>-1． 【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式的知识点，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 15. 如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行解答． 【详解】解：由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可添加（或或或）； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加． 16. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据一次函数表达式，解得点、的坐标，得出的长度，假设点的坐标为，对、进行分类讨论，解得的值，即可得出结果． 【详解】解：对于直线， 当时，， 即点， 当时，得， 即点， 故，， 由勾股定理得， 令点的坐标为， 故当时， 即， 解得（舍去）或， 即， 当时， 故， ∴， 得或，即或， 综上，点的坐标为或或． 三、解答题（共8小题，满分72分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，5），B（﹣5，﹣3），C（﹣1，0）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△； （2）写出点，，的坐标； （3）求出△ABC的面积． 【答案】（1）见解析 （2）（2，5），（5，﹣3），（1，0） （3）△ABC的面积为11.5 【解析】 【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标即可； （3）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示：△即为所求； ； 【小问2详解】 解：（2，5），（5，﹣3），（1，0）； 【小问3详解】 解：△ABC的面积=8×4-×1×5-×3×8-×4×3=11.5． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 18. 如图，点E，F是对角线上的点，，连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 由平行四边形的性质可得，，可证，即可得，，可证，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形为平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ∵，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）求一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出，即可作答． （2）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【小问1详解】 解：点在正比例函数图象上， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）得，在一次函数图象上， 代入一次函数解析式可得， 解得， 一次函数的解析式为． 20. 某校计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球，排球，篮球，羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了下边两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生共有___________人，___________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为__________； （4）若该校有2000名学生，请你估计该校最喜爱足球运动的学生有多少人？ 【答案】（1）50，24 （2）见详解 （3） （4）估计该校最喜爱足球运动的学生有480人 【解析】 【分析】（1）观察统计图，喜欢排球的人数和所占的百分比是已知的，根据可得学生总人数，再根据可得m的值； （2）用学生总人数减去喜欢足球、排球和羽毛球的人数可得喜欢篮球的人数，然后补全统计图即可； （3）根据“圆心角的度数部分所占的百分比”求解即可； （4）用“该校总人数×样本中喜欢足球的人数所占百分比”计算即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生共有（人）； 喜欢足球的学生所占的百分比为， 则； 【小问2详解】 解：喜欢篮球的学生人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：，， 则扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为； 【小问4详解】 解：（人） 答：估计该校最喜爱足球运动的学生有480人． 21. 如图，在菱形中，若，，过点作于点． （1）菱形的面积为 ． （2）求的长． （3）过点作，垂足为，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式（两条对角线的乘积的一半），矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题关键． （1）利用面积公式进行求解即可； （2）等积法求出的长即可； （3）根据题意，画出图形，得到四边形为矩形，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形ABCD的面积为． 故答案为：24． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴菱形的面积， ∴． 【小问3详解】 解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴四边形的面积． 22. 飞盘是一种投掷盘形器具的运动，适用于比赛、健身及大众休闲等活动．它不仅具有广泛的群众性，娱乐性，还有很强的对抗性和趣味性．某商家拟购进A，B两种型号的飞盘，经问询知购进2个A型飞盘和3个B型飞盘需38元，已知B型飞盘的进货单价比A型飞盘的进价单价多6元． （1）A型飞盘和B型飞盘的进货单价分别是多少元？ （2）商家最终决定购进这两种飞盘共150个，其中B型飞盘数量不多于A型飞盘数量的2倍，若B型飞盘的销售单价为14元，A型的销售单价为6元，请你帮商家设计一种购货方案，使得商家获利最多，并求出最多获利为多少元？ 【答案】（1）A型飞盘的进货单价是4元，B型飞盘的进货单价是10元 （2）购进B型飞盘100个，A型飞盘50个，获得利润最多；最多利润是500元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，找到题目中的等量关系以及不等关系． （1）设A型飞盘每个x元，B型飞盘每个y元．根据购进2个A型飞盘和3个B型飞盘需38元， B型飞盘的进货单价比A型飞盘的进价单价多6元．列出方程组求解即可； （2）设购进B型飞盘m个，利润为w元，则购进A型飞盘个．根据然后根据利润单件利润数量列出w关于m的一次函数关系式，再根据B型飞盘数量不多于A型飞盘数量的2倍，求出m的取值范围，即可利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A型飞盘每个x元，B型飞盘每个y元． 根据题意，得， 解得， 答：A型飞盘的进货单价是4元，B型飞盘的进货单价是10元． 【小问2详解】 解：设购进B型飞盘m个，利润为w元，则购进A型飞盘个． 根据题意，得． ∵B型飞盘的数量不多于A型飞盘数量的2倍， ∴，解得． ∵， ∴w随m的增大而增大． ∴当时，w有最大值，最大值为（元）． 答：购进B型飞盘100个，A型飞盘50个，获得利润最多；最多利润是500元． 23. 如图，在四边形中，，且，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，解答下列问题： （1）当t为多少秒时，四边形成为矩形； （2）当t为多少秒时，四边形成为平行四边形； （3）是否存在t，使得是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）秒或4秒或秒 【解析】 【分析】（1）当时，四边形为矩形，根据列出关于的方程，解方程即可； （2）由四边形是平行四边形推导列出关于的方程，解方程即可； （3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程速度时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴秒； 【小问3详解】 是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，过点D做，则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴,（三线合一） 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即， 解得：． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 24. 综合探究 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出的结论是．而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图①，取的中点，连接，证明．从而得到． （1）请你根据小明的想法，写出证明过程； 【问题解决】 （2）如图②，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”（不与点重合），其余条件不变，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 （3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5或． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据ASA即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）在上截取，连接，同（2）根据ASA即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得结论． （3）分两种情况：当点E在边上时，当E在的延长线上时，根据（2）问的结论，当E在的延长线上的任意一点，连接，过点F作，交的延长线于点G，在上截取，连接，证明，得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图①中，取的中点，连接， 四边形是正方形， ，． 是边的中点，G是边的中点， ，． ． ， ， 是正方形外角的平分线，． ． ， ． ， ． ． ． （2）成立，理由如下：如图②在上截取，连接． 四边形是正方形， ，， ， ，， ，． 是正方形外角的平分线， ． ． ， ． ， ． ． ． （3）分以下两种情况讨论：①如图③，当点E在边上时， 四边形是正方形， ，． ， ． 由勾股定理，得． 由（2）可知，． ． ②如图④，当点E在的延长线上时，连接，过点F作，交的延长线于点G，在上截取，连接． 是等腰直角三角形且， ． ， ， ． ． 四边形是正方形， ，． ， ． 由勾股定理，得． ． 综上所述，的长为5或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $