吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

“鲲鹏振翼九霄近，星斗焕章万里明” 2025—2026学年下学期高一年级 2010 期末考试数学学科试卷 长春吉大附中宝孜学款 考试时间：120分钟试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔 迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答 题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5,保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知复数z=6+7i(i为虚数单位)，则z的虚部为 A.6 B.7 C.7i D.-7i 【答案】B 2.样本数据14,16,18,20,21,22,24,28的第三四分位数为 A.16 B.17 C.23 D.24 【答案】C 3.关于向量，b,c,下列说法正确的是 A.若引月b|,则a=b B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若|a>b,则a>b D.若a=-b,则a∥b 【答案】D 4.己知m表示一条直线，，B表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A.若a∥B,m⊥，则m⊥B B.若a∥B,m∥a,则∥B C.若a⊥B,∥a,则m⊥B D.若⊥B,⊥，则m∥B 【答案】A 5.已知球的半径为5cm,球的一个截面圆的周长为6πcm,则球心到该截面所在平面的距离为 A.2cm B.3 cm C.4cm D.5cm 【答案】C 2025级高一年级下学期期末考试数学答案第1页，共9页 6.已知向量a=(3,1),b=(0,2),则b在4上的投影向量的坐标为 A.(3,1) B. C.0,2) D.(0,1) 【答案】B 7.一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的 一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是 A 7 C.2 1 9 B.16 D. 16 【答案】D 8.如图，在△M8C中，∠ABC=于，D为A8中点，C2=2BD,若Sac=35,则BE的最小值是 E D -B A.2 B.4 c.2v6 D. 3 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数在复平面内对应的向量OZ。=(4,-3),则下列关于复数的说法正确的是 A.0=4-3i B.|=5 C.0的共轭复数为-4+3i D.z1+i)=7+i 【答案】ABD 10.某随机试验中，事件A与事件B互斥，且P(A)=0.3,P(B)=0.4,则下列结论正确的是 A.P(AUB)=0.7 B.P(A∩B)=0.1 C.P(A∩B)=0.3 D.P(AUB)=1 【答案】ACD 2025级高一年级下学期期末考试数学答案第2页，共9页 11.如图，已知正方体ABCD-ABC,D的棱长为1，点M是侧面ADDA上的一个动点（含边界），P是 棱CC,的中点，则下列结论正确的是 D B M D A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 2 B.过A,B,P三点作正方体的截面，则截面面积为√5 C.三棱锥A-CMD的体积最大值为 6 D.若保特AM-万，则点M在侧面AD04内运动路径的长度为号 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一 个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个 【答案】8 13.在△ABC中，已知b=2,∠A=45°.若此三角形有两解，则a的取值范围为 【答案】(N2,2) 14.已知不共线的向量a,b,c,满足|a=1,ab=2,1a-c曰2a+c,则|b-c的最小值为 【答案1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 在△1BC中，角A,B,C的对边分别为ab,c,满足ca8-片smC=2万- (1)求sinB及边c的值： (2)若△ABC的面积为42，求b. 2025级高一年级下学期期末考试数学答案第3页，共9页 【答案]m8-2,c=3:6 【详解】(1)在△ABC中，B∈(0，)， 因为c0sB所以由同角三角函数的基本关系得sm6二2V2 3 由正弦定理得6 ,可得bsinC=csinB, sin B sinC 又bsinC=2W5,则2W5。 =2√2，解得c=3.…7分 3 (2)因为△ABC的面积为4√5， 由(1)知sinB=22 c=3, 3 所以42-=acsinB=xax3x2y5 2 3 解得a=4,已知cosB= 3 由余弦定理得 1_16+9-b2 2×4x3,解得b=7…13分 16.(本小题15分) 已知向量|=2，b=4,且|a+b23,向量c=Q,x),d=(2x+3,-x),x∈R. (1)若(2m-b)⊥(a+kb),求实数k的值： (2)若c与d的夹角为锐角，求实数x的取值范围. 【答案】四分：(a(-1,0U0,3) 【详解】(1)a+b=ld++2a-b=2+4+2a-b=(25,解得a-i=-4, 已知（2a-b)⊥(a+b) 则(2a-b)(a+)=2d+(2k-1)a.b-k5=8+(2k-1)x(-4)-16k=12-24k=0, 解得=分门分 (2)c与d的夹角为锐角，则c.d=2x+3-x2>0,解得-1<x<3,…13分 若c与d共线，则1(-x)-x(2x+3)=-4x-2x2=0,解得x=0或x=-2, 其中x=-2不在区间(-1,3)内，只需排除x=0,故实数x的取值范围为x∈(-1,0U(0,3).…15分 2025级高一年级下学期期末考试数学答案第4页，共9页 17.(本小题15分) 为了了解市民的安全意识，某市进行了安全问题问卷调查，为了解全市参与者的成绩情况，从所有 参与者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的 频率分布直方图（最低40分，最高100分）. ◆频率/组距 0.034 0.030 0.018 0.006 0.004 405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值，并求出样本中成绩在60分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等于第75百分位数为“良好以上等级，请根据频率分布直方图，估计全市参 与者的成绩在“良好”以上等级的范围；（成绩取整数) (3)已知样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为88，方差为18，成绩在[80,90]内的平均数 为86，方差为2，求成绩在[90,100]内的平均数和方差， (设样本容量为n,平均数为x,其中两层的个体数量分别为h,2,两层的平均数分别为x1,x2方差 分别为s,,则这个样本的方差2=[+G-x]+[5+(3,-x]) 【答案】(1)a=0.008;88人；(2)[80,100]；(3)平均数为94，方差为18 【详解】(1)由10×(0.004+a+0.034+0.030+0.018+0.006)=1→a=0.008.…2分 所以样本中成绩在60分以上的人数为：100×[1-10×(0.004+0.008]=100×0.88=88.…4分 (2)因为0.04+0.08+0.34=0.46,0.46+0.30=0.76，所以成绩的第75百分位数在区间[70,80)内， 庙70+075-0.46x10=70+号≈79.67，因为成绩为整数，…8分 0.30 所以成绩在[80,100]的可以评为“良好以上等级.…9分 (3)设成绩在[90,100]的平均数为x,方差为s2, 由88= 0.18 0.06 ×86+ …x,解得x=94.…12分 0.18+0.06 0.18+0.06 由18= 818624(s]+o18086+o4门解g-1815分 0.18+0.06 所以成绩在[90,100]内的平均数为94，方差为18 2025级高一年级下学期期末考试数学答案第5页，共9页 18.(本小题17分) 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均 获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲 队在主场获胜的概率为P,平局的概率为？，其中0<D<1.甲队在客场获胜和平局的概率均为号，加 3 时赛甲队获胜的概率为卫，不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场 1)已知p-号 ()求甲队通过加时赛获得冠军的概率； (iⅱ)求甲队获得冠军的概率. (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得 冠军：若为平局。则通过如时终决出冠军。假完甲队在第三方场地获形的暖率为，平局的概率为号， 加时赛甲队获胜的概率为卫，问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】()() 134 375 (2)“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【详解】(1)()设甲队通过加时赛获得冠军为事件A, 则事件A包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以wp--3}号p-g》 2 因为p=子，所以PA)-若×}品 ，…5分 2255125 (ii)设甲队获得冠军为事件B, 则事件B包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则P(B)=P(A)+p+p.+22.2=17p_3p 2 23262 因为p=号，所以p(B)=x4×8-134 …11分 6252125375 (2)在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件C, 则事作C包合甲队胜，甲队平且时姿能，则PC)-P广+片n=罗，13分 因为0<p+号<1，所以0<p<}此时0<p+号← 3 250 ,符合题意， r-eg誓誓g普名e-p0 3p2 因为0<P<亏6>0,8-9p>0,所以PBP(C)>0, 2025级高一年级下学期期末考试数学答案第6页，共9页 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠.…17分 19.(本小题17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BCI∥AD,CDLAD,CDLAP,△PAD为等 边三角形，BC=1,AD=3,CD=2. (1)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值： (2)若M为棱AP上一点，且BM∥平面PCD, (i)试确定点M的位置； (i)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正弦值. 【答案】①33四，Q)(①)M为棱AP上靠近点P的三等分点：(i)匝 26 【详解】(1)CD⊥AD,CD⊥AP,AD∩AP=A,AD,APC平面PAD,∴.CD⊥平面PAD. CDC平面ABCD,∴.平面ABCD⊥平面PAD.…3分 取AD的中点E,连接PE,CE,如图1所示： D 图1 △PAD为等边三角形，∴.PE⊥AD ,平面ABCDO平面PAD=AD,PEC平面PAD,.PE⊥平面ABCD 则CE为直线PC与平面ABCD上的射影，·∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角.…5分 4D=3,B=5x3=3,D驱=3 2 2 .CD L AD,CD=2,..CE2=CD2+DE2=22+ 5: 25,27 4 =3 3V3 :sim∠PCB=PE=2_3V3,即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为339 …7分 PC 13 26 26 (2)()M为棱AP上靠近点P的三等分点，理由如下： 如图2，过点M作NIAD交PD于点N,连接CN, 2025级高一年级下学期期末考试数学答案第7页，共9页 ● M B 图2 BCAD,∴.MNIIBC: .M,N,C,B四点共面，则平面NCBO平面PCD=CN; ,BMI/平面PCD,.BM//CN ∴.四边形BCM为平行四边形，则MN=BC=1. ~3wiD,AD=3,N=1,答写2M-4 .M为棱AP上靠近点P的三等分点满足题意.…11分 (i)过点M作MOPD交AD于点O,连接BO.由(i)得PM=PA: 3 :△PAD为等边三角形，则OD=PM=1,AO=AM=2 .AD/BC,OD=1,BC=1,.四边形BCDO是平行四边形，则BOllCD. BOE平面PCD,CDc平面PCD,.BOI/平面PCD ,MO/IPD,MOE平面PCD,PDc平面PCD,MO/平面PCD, BOOMO=O,.平面BOMI平面PCD.…13分 过点A作AH⊥MO于点H,过点H作HG⊥BM交BM于点G,连接AG, 由(1)知CD⊥平面PAD,BO/ICD,∴.BO⊥平面PAD :AHC平面PAD,BO⊥AH :AH⊥MO,BO⌒MO=O,BO,MOC平面BMO,.AH⊥平面BMO :BMc平面BMO,.AH⊥BM: .HG⊥BM,AHOHG=H,AH,HGC平面AGH,.BM⊥平面AG, AGc平面AGH,则BM⊥AG: ∴.∠AGH为平面BOM与平面BAM所成锐二面角的平面角， 即为平面PCD与平面PAB所成锐二面角的平面角.…15分 由CD⊥平面PAD,PDC平面PAD,得CD⊥PD: ~CD=2,AD=3,MwAD,PM=PA,△PAD为等边三角形，BollcD, 3 2025级高一年级下学期期末考试数学答案第8页，共9页 ∴.OM=2,BM=CN=2√2，AB=2√2，AM=2. 在△ABM中，coS∠BMA= 2+2-(25.反，则sinBMA= 2×2×2W2 4 在RIAGM中，Sim∠BMM=4G-4C-4,得AG=4 AM 2 4 2 在awo中，AH=2x5.5 2 在Ra4iG中，sin∠AGH--点-642 AG14√77. 即平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正弦值为√ .…17分 7 (其他作法可酌情给分) 2025级高一年级下学期期末考试数学答案第9页，共9页“鲲鹏振翼九霄近，星斗焕章万里明” 2025一2026学年下学期高一年级 3010 期末考试数学学科试卷 长春言大附中宾路学柜 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知复数z=6+7i(i为虚数单位)，则z的虚部为 A.6 B.7 C.7i D.-7i 2.样本数据14,16,18,20,21,22,24,28的第三四分位数为 A.16 B.17 C.23 D.24 3.关于向量4，b,c,下列说法E确的是 A.若|aHb|,则a=b B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若|a|>bl,则a>b D.若a=-b,则a∥b 4.已知m表示一条直线，α，B表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A.若a∥B,m⊥，则m⊥B B.若a∥B,ml∥a,则m∥B c.若a⊥B,m∥a,则m上B D.若a⊥B,m⊥a,则m∥B 2025级高一年级下学期期末 5.已知球的半径为5cm,球的一个截面圆的周长为6πcm,则球心到该截面所在平面的距离 为 A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 6.已知向量a=(W3,1),b=(0,2),则b在4上的投影向量的坐标为 A.(3,1) B9 C.(0,2) D.(0,1) 7.一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只 能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红 球极连续取出的概率是 A号 c分 D. &.如图，在△ABC中，∠ABC= 3,D为AB中点，C死=2ED,若Sac-35,则1丽的 最小值是 A.2 B.4 C 26 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知复数2。在复平面内对应的向量OZ。=(4,-3)，则下列关于复数2。的说法正确的是 A.2=4-3i B.|z=5 C.2,的共轭复数为4+3i D.2(1+i)=7+i 与试数学试题第1页，共3页 10.某随机试验中，事件A与事件B互斥，且P(A)=0.3,P(B)=0.4,则下列结论正E确的是 A.P(AUB)=0.7 B.P(A∩B)=0.1 C.P(A∩B)=0.3 D.P(AUB)=1 11.如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，点M是侧面ADDA上的一个动点（含边 界)，P是棱CC,的中点，则下列结论正确的是 D A A.沿正方体的表面以点A到点P的最短路程为国 B.过A,B,P三点作正方体的截面，则截面面积为√5 C.三棱锥A-CMD的体积最大值为三 6 D.若保持PM=反，则点M在侧面ADDA内运动路径的长度为号 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后 随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳 定在0.4，则袋中约有绿球个. 13.在△ABC中，已知b=2,∠A=45°，若此三角形有两卿，则a的取值范围为 14.已知不共线的向量4，b,c,满足|a=1,ab=2,|a-c月2a+c|,则|b-c|的最小值 为 2025级高一年级下学期期末 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足cosB=,bsinC=22 (1)求sinB及边c的值； (2)若△ABC的面积为4√2，求b. 16.(本小题15分) 已知向量|a=2,1b=4,且|a+b=2N3,向量c=(1,x),d=(2x+3,-x),xeR. (1)若(2a-b)⊥(a+b),求实数k的值； (2)若c与d.的夹角为锐角，求实数x的取值范围. 17.（本小题15分) 为了了解市民的安全意识，某市进行了安全问题问卷调查，为了解全市参与者的成绩情 况，从所有参与者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组， 并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分). 频率/组距 0.034 0.030 0.018 8891 405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值，并求出样本中成绩在60分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等干第75百分位数为“良好”以上等级，请根据频率分布直方 试数学试题第2页，共3页 图，估计全市参与者的成绩在·良好·以上等级的范围；（成绩取整数） (3)已知样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为88，方差为18，成绩在[80,90] 内的平均数为86，方差为2，求成绩在[90,100]内的平均数和方差. (设样本容量为，平均数为x,其中两层的个体数量分别为h,2,两层的平均数分别为 五，方差分别为号，号，则这个样本的方差2=月好+(-习]+片+民-]) 18.(本小题17分) 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两 场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；，若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决 出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为P,平局的概率为？，其中0<<1.甲队在客场 3 获胜和平局的概率均为号，加时赛甲队获胜的概率为P,不同对阵的结果相互独立，假设甲 队先主场后客场， 1)已知p= ()求甲队通过加时赛获得冠军的概率； (ⅱ)求甲队获得冠军的概率. (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若菜队比赛 获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为 P,平局的概率为？，加时赛甲队获胜的概率为P,问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 2025级高一年级下学期期： 19.(本小题17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD,CD⊥AD,CD⊥P, △PAD为等边三角形，BC=1,AD=3,CD=2. (1)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值； (2)若M为棱AP上一点，且BMI∥平面PCD, (i)试确定点M的位置； (i)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正弦值. A B 试数学试题第3页，共3页