吉林长春市农安县第十中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025-2026高一下学期数学试题 第1卷(选择题,共58分) 一、单项选泽题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选 项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上, 1.已知复数2=2i (1为虚数单位),则z-z=() 1+i A.2i B.0 C.-2i D.2 2,国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成馈《单位:环)如下7,5,9,7,4,8,9,9,7, 5,则下列关于这组数据说法不正确的是() A.众数为7和9 B.方差为s2=3 C.平均数为7 D.第70百分位数为8 3.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示,该几何体为上、下底面周长分别为32cm, 24cm的正四楼台,若楼台的高为3cm,忽略收纳罐的厚度,则该香料收纳罐的容积为() 图1 图2 148 B.74cm3 C.148cm3 D.298cm3 4.一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.连续抛掷这个骰子两次,并记录每 次正面朝上的数字,记事件A=“两次向上的数字都为3”,B=“两次向上的数字之和是6”,则下列 结论正确的是( A.事件A与事件B相互独立 B.事件A与事件B互斥 C.P(B)=1 2 D.P(AB)=1 6 5.已知m,n为两条不同的直线,,B为两个不同的平面,则下列命题正确的是∈4 高一数学学科试卷 A.若mlln,nca,则mlla 碧m上比,m/仍m,雅正B,则训序 C.若cllB,m/1a,则m/1B D.若m⊥n,m⊥,allB,则nl川B 6.如图,在正方体ABCD-A,B,C,D,中,M,N分别为DB,AC的中点,则直线AM和N夹角的余 弦值为() 2 B 2 1 A. D. 3 3 3 0 N B D C M 7.如图,AB是底部B不可到达的一座建筑,A是建筑的最高点测量建筑B高度时选择了一条水平 基线H心,使H,G,,B在同一条直线上,在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别是75 ,30 , HG=a,测角仪器的高是h,那么测得建筑AB的高度为() GB 6+V -a+h B.lath c3+1 ath 6+2 4 2 4 2+h 8,如图,在aABC中,∠BAC=行,而=2D,P为CD上一点,且满足AP=mC+丽,若 ABC的面积为√5,则M的最小值为() A. 2W5 B. C.1 3-2 3 2 二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目票求。全部进对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分 9.若复数z=(3+41)(1+i),则() A.z的虚部为7i B.z在复平面内对应的点位于第二象限 C. 含=52 D.z是方程x2+2x+50=0的一个根 10.已知向量元=((3,4),6=(2,),则() 人与的蓝分平行的单位海量为方产-得写引 B.当aL方时,t= 2 C当(=1时,向量a在向量6上的投影向量为五 3 D.若与夹角为锐角,则t的取值范围为 11.如图,正方体ABCD-A,B,CD的棱长为2,E,F分别是AD,DD的中点,点P是底面ABCD 内一动点,则下列结论正确的为() D A三棱锥C一ABP的体积为定值 B.正方体ABCD-A,B,C,D,的外接球表面积为8 C.若FP/平面ABC,D,则P的轨迹长度为2 D.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面面积是 9 2 高一数学学科试: 第川卷(非选择题,共92分) 三、填空题:本大题共3小薄,每小题5分,共15分. 12. 已知点A1,2),B(-2,3),C(m,2-m).若A,B,C三点共线,则实数m的值为 13,已知圆锥的轴截面是面积为√5的正三角形,则该圆锥的外接球的体积为 14 BC中,角么品C的对边分别为已知6=3,05准三,当角C有西解时,则边 3 a的取值范围为. 四。解答题:本题共5小题,共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,在四棱锥PABC即中,底面ABCD为矩形,平面P01平面BCD,PALD,PA=PD,E 为AD的中点 B (1)求证:PE⊥BC, (2)求证:平面PAB⊥平面PCD. 16.(15分)已知 ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinC=V3(亿-acosC) (1)求角A的大小. (2若b+c=4,AABC的面积为5, 求a的值, 2 (3)若b=1,A.AC=1,点D是线段BC上一点,求内角A平分线AD的长. 卷 第2页(共3页) 17.(15分)成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫 生量化打分检查(满分100分,最低分20分),根据检查结果:得分在[80,100]评定为“优”,奖励3 面小红旗;得分在60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗;得分在[40,60)评定为“中”,奖励1面小 红旗;得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图: 频率 0.015 0.010 0.005 0204柏6080100得分 (1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数及平均数; (2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级,再从这6个班级中 随机抽取2个班级进行抽样复核,求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率, 18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形, B/CD,AD⊥CD,4B=PD=D=CD=2.PD⊥平面4BCD,E、F分别为陵PC,4D的 中点, (1)证明:EF∥平面PAB; (2)求PD与平面PBC所成角的正弦值; (3)求点F到平面PBC的距离. 高一数学学科试卷1 19.(17分)如图四边形ABCD中,BC=2CD=8,AB=AD=6 D B (1)若 ABC的面积为8√5,且B为锐角,求AC的长度. (2)试问2cosB-cosD是否为定值?若是,求出这个定值:若不是,请说明理由, (3)求四边形ABCD面积的最大值, 第3页(共3页)1.A2.D3.C4.D5.B6.A7.C8.B9.BC①10.BC11.ACD 12.2 13.32√3元 14.(7,3 27 15.(I3分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD,PALPD,PA=PD,E 为AD的中点. D B (1)求证：PE⊥BC: (2)求证：平面PAB⊥平面PCD, 【小问1详解】 因为PA=PD,E为AD的中点，所以PE⊥AD,··.2分 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.4分 所以PE LBC.5分 【小问2详解】 因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.6分 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,ABC平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD.8分 又PDC平面PAD,所以AB⊥PD.9分 又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以PD⊥平面PAB11分 又PDC平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD13分 16.(15分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinC=V5(b-acosC). (1)求角A的大小. (2)若6+6=4，A4BC的面积为5.求a的位 (3)若b=1,AB.AC=1,点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 【小问1详解】 asinC=V3(b-acosC),由正弦定理得sin Asin C=V3(sinB-sinAcosC)...1分 在AABC中，sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC,..2分 ∴.sinB-sinAcosC=cos AsinC,可得sin Asin C=V3 cos Asin C,...3分 :c∈0，，nC≠0，mA=m45,…4分 cosA 又A∈(0，)，可得A= 3…….5分 【小问2详解】 由SAc=be sinA=bcx5-5 ,解得bC=2,.7分 1 22 由余弦定理得a2=b2+c2-bc,所以d2=(b+c)-3bc=16-6=10,...9分 故a=V10..10分 【小问3详解】 由b=1,AB.AC=1→cbcosA=1→c=2,:..12分 π1 π.1 设AD的长为x,由SABc=SADB+SADc,∴.5 besin3=cxsin- +-bxsin 2 32 62 6 ,..14分 解得x= 25.即AD=25 3 15分 17.(17分)成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分 检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗：得分在[60,80) 评定为“良”，奖励2面小红旗：得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖 励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图： 频率 个组距 0.015 0.010 0.005 020406080100得分 (1)依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数及平均数： (2)学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个 班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率 【详解】(1)得分[20,40)的频率为0.005×20=0.1：得分[40,60)的频率为0.010×20=0.2： 得分[80,100]的频率为0.015×20=0.3；所以得分[60,80)的频率为1-(0.1+0.2+0.3)=0.4…2分 设班级得分的中位数为x分，于是0.1+0.2+，60x0.4=0.5,解得x=70 20 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分..5分 班级卫生量化打分检查得分的平均数为t,所以=0.1×30+0.2×50叶0.4×70+0.3×90=68 所以班级卫生量化打分检查得分的平均数数为68分.8分 (2)由（1)知题意“良”、“中”的频率分别为0.4,0.2又班级总数为40于是“良”、“中的班级个数分别为16,8 分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2 10分 因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗。 所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为 “中的班级.记这个事件为A.11分 则A为两个评定为“中的班级 把4个评定为良的班级标记为1,2,3,4.2个评定为中的班级标记为5,6 从这6个班级中随机抽取2个班级用点(i,)表示，其中1≤i<j≤6.这些点恰好为6×6方格格点上半部分（不含 1=j对角线上的点，于是有36,6=15种3分 2 事件A仅有6，O一个基本事件所以P(A)=1-P(团=1-1-14 1515 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为 4 5 15分 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形， ABIICD,AD⊥CD,AB=PD=AD=CD=2.PD⊥平面ABCD,E、F分别为棱PC,AD的中点， ● (1)证明：EF∥平面PAB; (2)求PD与平面PBC所成角的正弦值； (3)求点F到平面PBC的距离. 【小问1详解】 取G是BC的中点，连接FG,EG,又E、F分别为棱PC,AD的中点， 根据中位线的性质知，AB/1FG,PB/1EG,....1分 由ABC平面PAB,FG丈平面PAB,则FG/平面PAB,同理EG/平面PAB,··.3分 由FG∩EG=G都在平面EFG内，故平面EFG//平面PAB,...4分 又EFc平面EFG,所以EF∥平面PAB;......5分 【小问2详解】 由题设，易知△ABD为等腰直角三角形，且AD=AB=2,则BD=2√2， 由题设，易知四边形ABCD为直角梯形，且AB/CD,AD=AB=,CD=2,则BC=2N5, 2 综上，BD+BC2=CD,则BD⊥BC,......7分 由PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,则PD⊥BC,同理可证PD⊥BD, 由BD∩PD=D都在平面PBD内，则BC⊥平面PBD,BCC平面PBC,所以平面PBD⊥平面PBC, …….9分 而PDC平面PBD,且平面PBD∩平面PBC=PB, 所以PD在平面PBC上的投影在直线PB上，故PD与平面PBC所成角为∠BPD...I1分 在Rt△PBD中PD=2,BD=2V2,则PB=2W3,故inBPD=BD-5 PB 3 所以PD与平面PBC所在角的正弦值为6 …….12分 【小问3详解】 由(2)BC⊥平面PBD,PBC平面PBD,则BC⊥PB,故 Se-)PB-BC=号×2W5x2万=2V6,13分 白m-人-写P05gP0-代a8wS）2×61习-2,5分 3 若点F到平面P8C的距离为d,则Se=2,可得d= 17分 2 19.(17分)如图四边形ABCD中，BC=2CD=8,AB=AD=6 (1)若△ABC的面积为8V5,且B为锐角，求AC的长度. (2)试问2CoSB-c0SD是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由， (3)求四边形ABCD面积的最大值. 【小问1详解】 由思设4B:BCmB=8v5,又C=84B=6,可得nB-5 ….2分 3 2 又B为锐角，则cosB= ……….3分 故由余弦定理得AC=VAB2+BC2-2AB·BCc0SB=√36+64-64=6：...5分 【小问2详解】 余孩定理得casD-DC4C,oa2-4B-C-C .7分 2AD.CD 2AB·BC 又BC=2CD=8,AB=AD=6,则cosD=52-AC,。 48 cos B=100-4C2 .9分 96 所以2c0sB-cosD=2×100-4C52-4 -=1,为定值；..….10分 96 48 【小问3详解】 =8 c+CDsin D BCin=12(sinD+2sin. 2 令m=sinD+2siB>0,则m2=sinD+4sin2B+4 sin BsinD,....13分 又2cosB-cosD=1,则1=cos2D+4cos2B-4 cos B cos D,......14分 所以m2+1=5-4cos(B+D),....15分 当co(B+D)=-1,即B+D=元时，最大m2+1=9,此时mx=2V2,...16分 所以四边形ABCD面积的最大值S=12×22=24√2.17分