吉林省长春市长春吉大附中实验学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

“臀海无滩惜心求康,天道副助笔新不飘” 2024-2025学年下学期高一年级 201 期末考试数学学科试卷 长春言大附中笑孜学批 考试时间:120分钟 试卷满分:150分 本试卷分第I卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分,考试结束后,将答题卡交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体 工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单项选择题(本大题包括8个小题,每小题5分,共40分,每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1.若i为虚数单位,复数z满足z-i=2+i,则= A.5 B.√2 C.5 D.2 2.下列各组向量中,能作为基底的是 A.e=(0,0),e2=(1,1) B.=(1,2),e2=(-2,10 c.6=3,,4=2,-9 D.e1=(2,6),e2=(-1,-3) 3.已知-一组数据从小到大排列:10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,则该组数据的 40%分位数为 A.35 B.40 C.45 D.50 4.已知两条直线m,n及平面a,B,下列条件中,一定能得到f的是 A.mca,ncB,ml/B,nlla B.m⊥n,m⊥a,n/1B C.mca;nca,ml/B,nllp D.m⊥c,m⊥B 2024级高一年级下学期期末: 5.已知圆锥的表面积为12 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为 A.8V3 5 3 B.3√3 c. D.12m 6.从A队30人、B队20人中,采用比例分配分层抽样的方法从两队共抽取5人进行一轮答题 竞赛相关统计情况如下:A队答对题目数的平均数为2,方差为1.5;B队答对题目数的平均数 为1,方差为0.4,则这5人答对题目数的方差为 A.1.3 B.1.06 C.0.95 D.0.8 7.四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,AB=2N6,∠CBD=2,CD=3,则该四面体的外接球 体积为 A.12 B.27 C.36 D.27x 4 8.在矩形ABCD中,MB=2,D=1,D正=)DC,点F在边BC上若而=行,则正D丽= 2 A B c.3 D. 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分;有选错的得0分 9.设z=(m+√)+(m2-√2m-4)i(meR),则下列说法正确的是 A.当m=V2时,|z26 B.当m=0时,z的虚部是-4 C.3m∈R,使z是纯虚数 D.VmeR,z所对应的点不会在复平面的第三象限 10如图是一个质地均匀的正八面体,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体, 观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间为2=1,2,3,4,5,6,7,8},记事件A= “得到的点数为奇数”,记事件B=“得到的点数不大于4”,记事件C=“得到的点数为质数”,则 下列说法正确的是 A.事件B与C互斥 B.P(AUB趴=4 C.事件A与C相互独立 D.P-号 数学学科试卷第1页共3页 11.如图,在正方体ABCD-ABCD中,点E,F,G,H分别为棱4B,BC,CD,BG的1 中点,则下列结论正确的是 A.异面直线F与4G所成角的正弦值为 3 B.EF∥平面AACC C.直线AE与CH是异面直线 B D.过A,E,G三点的平面截正方体ABCD-AB,C,D所得的截面形状为菱形 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.己知a=(1,2),b=(1,-0,则a+2bl= 13.如图,半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒,放入一个玩具小球,合上盒盖,当小球的 半径最大时,小球的表面积为 4. 4BC中,O为三角形的垂心,又A=,C=7,则c 1S.08C 四、解答题:本题共5小题,共T7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在直三棱柱ABC-ABC中,AB⊥BC,AB=2,AC=6,M为BC中点,BB,=6. 1)证明:、4B//平面ACM; (2)求四面体AMC1A的体积. 2024级高一年级下学期期末考 16.(15分)已知a,b,c分别为 ABC三个内角A,B,C的对边,且asinB=bcos(A+乃, (1)求角A: (2)若b=√5c,且a=2,求 ABC的面积. 17.(15分)为了解高一年级考试测试的情况,在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩, 将成绩分为[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),130,150]共6组,得到如图 所示的频率分布直方图 频率 组距 0.0150 0.0100- 0.0050 0.0025 030507090110130150分数 (1)在样本中,采取等比例分层抽样的方法从成绩在[90,150]内的学生中抽取13名,则 成绩在130,150]的同学有几个? (2)根据图中的样本数据,假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替,试估计本次考 试的平均分和众数; (3若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰,且表彰人数不超过8%,根据样本数据, 试估计获得表彰的同学的最低分数 考试数学学科试卷第2页共3页 18(17分)如图,三棱锥P-ABC的体积为号,二面角P-BC-4为候角,D为8C的中点, 平面PAD⊥平面ABC,PB=PC,BC=2PD=2,AD=V5. (1)证明:BC⊥平面PAD; (2)求二面角P-BC-A的正弦值: (3)若2,R分别是直线AB,AC上一点,且BC∥平面POR,记平面PBC∩平面POR=1, 1与C9所成角的正弦值为、,求防值 3 2024级高一年级下学期期末考试 19.(17分)对于一组向量41,a2,43,…,am(m∈N且m≥3),令S。=a+a,+a,++am, 如果存在a,(p∈{1,2,3,,m)使得an≥Sm-ap,那么称a,是该向量组的1向量” (l)设am=(n,x+n),n∈N ,若a3是向量组a1,a2,a的“1向量”,求实数x的取值范 围: 2若,=(m受,cos学,neN,则向量组a,,马,,&6eN门是否存在1 向量”?若存在,求出“1向量”;若不存在,请说明理由: (3)已知4,a2,a均是向量组a,42,a的1向量”,其中a1=(sinx,cosx), 42=(2cosx,2six).设在平面直角坐标系中有一点列乃,乃,乃,,B(teN 且t4)满足: 为坐标原点,RE=4,且Bk+1(keN)与乃关于点R对称,Pk2与B1关于点PB对称,求R 的最大值 未考试数学学科试卷第3页共3页 2024-2025学年下学期高一年级期末考试数学学科答案 一、单项选择题(本大题包括8个小题,每小题5分,共40分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1-8:ABCDAACB 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.ABD 10.BD 11.ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.3 13.(48-322]) 14.3+25 四、解答题:本题共5小题,共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【答案】(1)在直三棱柱ABC-4BC中,连接4C交AC,于点O,连接OM, 由ACCA为矩形,得O为4C中点,又M为BC中点,则OMIIAB, 而OMc平面AC,M,AB女平面AC,M,所以AB∥平面ACM. C B (2)在平面ABC内过点B作BN⊥AC于N,由AA⊥平面ABC,得AA⊥BN, 而A4∩AC=A,AA,ACc平面ACC4,则BN⊥平面ACCA, 在 ABC中,AB⊥BC,AB=2,AC=6,则BC=VAC2-AB2=4W2, BN=AB BC4W2 3,由M为BC中点,得点M到平面4ACC4的距离d=二& 3 又S4号4C4=18,所以四面体4MC4的体积为mc4=Ssd=45. 】 16.【答案】(1)因为asinB=bcos(4+爱,所以asin=b(cos4eosg-sinsi血3, 6 6 所以B=点csA-bsin4,由正弦定理可得s如B= 2 3 3sin Bcos 4-I sin Bsin A, 2 2 因为0<B<元,所以sinB40,所以n4=5os c0sA、1 sin A, 2 2 所以i45 as,所以4=5又因为0<4K,所以4- 3 (2)因为b=√5c,且a=2,所以由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA, 可得4=b2+c2-√3bc=3c2+e2-3c2=c2,所以c=2,b=23, 所以 4c的面积为csnA=x25x2x)5. 2 2 2024级高一年级下学期期末考试训 17.【答案】(1)由性质知:(0.0025+0.005 2+0.01+a+0.015) 20=1,故a=0.0125, 采取分层抽样:[130,150]的同学个数为: 0.005 0.005+0.015+0.0125 13=2. (2)由频率分布直方图知:众数为:100: 平均数为:40 0.05+60 0.1+80 0.2+100 0.3+120 0.25+140 0.1=98: (3)由于成绩在130,150的频率为01,故最低分数预计为:130+010.08 20=134: 0.1 即估计获得表彰的同学的最低分数为134分 18.【答案】(1)如图,过点P作PE⊥AD于点E, B 因为平面PAD⊥平面ABC,平面PAD∩平面ABC=AD,PEC平面PAD, 所以PE⊥平面ABC,又因为BCC平面ABC,所以PE⊥BC, 因为PB=PC,D为BC的中点,所以PD⊥BC, 又因为PD∩PE=P,PD,PEC平面PAD,所以BC⊥平面PAD; (2)因为BC⊥平面PAD,ADc平面PAD,所以AD⊥BC, 又因为PD⊥BC,所以∠PDA为二面角P-BC-A的平面角, 由巨按罐P-C的体家r-B8ceP5C0-若8x2x5 2 3 解得E.25,在PED中,如∠P04-PE25 PD 5 所以二面角P-BC-A的正弦值为25, (3)因为BC∥平面POR,BCc平面PBC,平面PBC∩平面POR=1, 所以BC∥1,故1与C2所成的角即BC与C2所成的角,易知AB=AC=√6, 依避意,∠Bc0不可能为慌角,所以有如∠BC0=,cs∠CQ-子 ①当点Q在线段AB上时,如图所示, 因为sin∠ABc= 6,cos∠ABC=6 所以sin∠BOC=sin( -∠ABC-∠BCg)=sin(∠ABC+∠BCQ) =sim∠ACo∠Bc2+eos∠ACin∠BCg=V 6 朝末考试数学学科试卷第1页共2页 BC 在 BCQ中,由正弦定理 BO 得025,所以品- Ag1」 sin∠B2 C"sin incg'有 3 ②当点2在线段AB的延长线上时,如图所示 则s∠B0C=sin(∠ABC-∠BCO)=sm∠ABC0∠BCg-cos∠ABCsin∠BC2=Y5o 18 在 BCQ中,由正弦定理得 BC BO sin∠BOC sin /BC2' 解得0=26,所以器-2综上铝-号 19.【详解】(1)由题意a1=(1,x+1),a2=(2,x+2),43=(3,x+3). S3-43=(3,2x+3),a3|≥|S3-a3,9+(x+3)≥9+(2x+3}, 化简得:x2+2x≤0,x的范围是[-2,01. 2)4=御2c0孕-0,0,马=如,0s列-0,-0, 马=6m经m2=1,0,4=6m2,w2x=0,%=-4=0,0 2 二向量组41,a2,…,a43’以4为周期 S4+3=41+42++a4+3=(0,-10, Sa+3-4H(-1,-1)V24,∴4不是该向量组的1向量”; S4-a2H(0,0)0寸a2l,∴a2是该向量组的1向量” S4+3-a3H(,一1)=V2>a3,∴43不是该向量组的“1向量”; S4+3-a4H(0,2)上2a4,.4不是该向量组的“1向量”: ∴41,a2,…,4443存在“1向量”,“1向量”为a4+2 (3)由题意,|4≥42+4,即|a2≥a2+4P, a≥a吃+242a+a,同理≥a+2a43+a,≥a+24a2+, 上述三式相加,得: g+a吃+a+2aa2+2a143+2a2a≤0 (a+a2+4)/≤0, 又:(a+a2+a3)2≥0,.4+a2+a3=0. ..a3=-(a+a)=(-sinx-2cosx,-cosx-2sinx), 2024级高一年级下学期期末考试岁 设(任,),则依题意得 5,为)=2(,)-(,) 4,4)=2x2,2)-(, )1 得(4)=2[名,)-(伍,+(,), 故(x,y)=32,为)-2(x )=3x2,) 又对对 得(6, )=2[,)-(名,+(化,)=2名’)+(,八), 所以2=(-x,-)=2,片)+2,)=8(5,)=8Rg, 因为R=( sinx-2cosx)}+(-cosx-2sinr'=5+8 sin=5+4sin2x, 当2x=2+2,即x=子+m(kez 时,P武=9,明=3, B=8 3=24.