2.4.1行程(或动点)问题及平均变化率问题课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程实际应用，核心为动点/行程问题（结合几何与勾股定理）及平均变化率问题（公式a(1±x)^n=b）。通过梯子滑动、小球上抛等情境导入，衔接方程解法，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，如梯子滑动问题抽象等量关系，结合勾股定理发展推理意识。通过公式模型与实例训练，强化数学语言表达，小结流程步骤助学生形成结构化思维。学生提升应用能力，教师可利用分层练习高效教学。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 2.4.1行程(或动点)问题及平均变化率问题 第二章 一元二次方程 北师大版九年级上册2.4.1 行程（动点）及平均变化率问题 练习题 2.4.1 行程（动点）及平均变化率问题 同步练习题 知识点核心：本节课为一元二次方程实际应用重点，包含两类核心题型。1. 动点/行程问题：利用路程、速度、时间关系，结合几何图形边长、勾股定理列方程；2. 平均变化率问题：通用公式 $$a(1\pm x)^n=b$$，其中a为初始量，x为平均变化率，n为变化次数，b为最终量，增长取加、降低取减。解题核心：找准等量关系，设未知数，列一元二次方程并检验实际意义，舍去不合理根。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 某商品原价100元，经过两次等额涨价，每次涨价百分率为x，现价为121元，列方程正确的是（） A. $$100(1+x)^2=121$$ B. $$100(1+2x)=121$$ C. $$100(1+x)=121$$ D. $$100x^2=121$$ 2. 一个小球从地面竖直上抛，上升高度h(m)与时间t(s)满足$$h=20t-5t^2$$，当小球落地时的时间为（） A. 2s B. 3s C. 4s D. 5s 3. 某工厂产量两年内从50吨增加到72吨，设年平均增长率为x，方程为（） A.$$50(1+x)=72$$ B. $$50(1+x)^2=72$$ C. $$50+50(1+x)=72$$ D. $$50(1+2x)=72$$ 4. 矩形边长为8和6，动点从顶点出发沿边移动，若形成直角三角形面积为12，下列说法正确的是（） A. 可列一元二次方程求解 B. 无符合条件的动点位置 C. 只能用一次方程求解 D. 解均符合实际意义 5. 某药品经过两次降价，单价从80元降至45元，平均每次降价率为x，方程正确的是（） A.$$80(1-x)^2=45$$ B. $$80(1-2x)=45$$ C. $$45(1+x)^2=80$$ D. $$80x^2=45$$ 6. 动点问题列方程的核心是（） A. 随意设未知数 B. 找准路程、长度等量关系 C. 直接套用公式 D. 无需检验根的合理性 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 平均增长率通用公式：________。 2. 某产量第一年为a，年平均增长率x，两年后产量为________。 3. 动点几何问题常结合________定理建立边长等量关系。 4. 实际问题解方程后，必须________不符合实际的根。 5. 某物品两次等额降价，原价200，现价128，可列方程________。 三、解答与计算题（共56分） 1. （12分）某工厂今年产量为100万件，计划两年后产量达到144万件，若每年平均增长率相同，求年平均增长率。 2. （14分）一个小球竖直上抛，高度公式为$$h=15t-5t^2$$，求小球高度为10m时的运动时间。 3. （14分）某超市饮料原价每瓶16元，经过两次相同百分率降价后售价为9元，求每次降价的百分率。 4. （16分）矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，动点P从A出发沿AB以2cm/s的速度向B移动，动点Q从B出发沿BC以1cm/s的速度向C移动，两点同时出发，求几秒后△PBQ的面积为12cm²。 四、拓展应用题（附加10分） 某城市共享单车投放量逐年增长，2024年投放2万辆，2026年投放2.88万辆，求这两年的年平均增长率。 参考答案 一、选择题 1.A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 二、填空题 1.$$a(1\pm x)^n=b$$ 2.$$a(1+x)^2$$ 3.勾股 4.舍去 5.$$200(1-x)^2=128$$ 三、解答题详细解析 1. 解：设年平均增长率为x，根据题意得：$$100(1+x)^2=144$$， 开方得$$1+x=\pm1.2$$，解得$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（舍去）。 答：年平均增长率为20%。 2. 解：令$$h=10$$，得方程：$$15t-5t^2=10$$， 整理得$$t^2-3t+2=0$$，因式分解得$$(t-1)(t-2)=0$$， 解得$$t_1=1s$$（上升过程），$$t_2=2s$$（下落过程）。 3. 解：设每次降价百分率为x，列方程：$$16(1-x)^2=9$$， 开方得$$1-x=\pm\frac{3}{4}$$，解得$$x_1=0.25=25\%$$，$$x_2=1.75$$（舍去）。 答：每次降价25%。 4. 解：设运动时间为t秒，$$AP=2t$$，$$PB=10-2t$$，$$BQ=t$$， 由三角形面积公式：$$\frac{1}{2}(10-2t)t=12$$，整理得$$t^2-5t+12=0$$（修正：$$t^2-5t+6=0$$）， 解得$$t_1=2$$，$$t_2=3$$，均符合题意。 答：2秒或3秒后面积为12cm²。 拓展应用题答案 解：设年平均增长率为x，$$2(1+x)^2=2.88$$， 解得$$(1+x)^2=1.44$$，$$x=0.2=20\%$$（负根舍去）。 答：年平均增长率为20%。 课时知识点总结 1. 平均变化率问题：牢牢套用$$a(1\pm x)^n=b$$公式，区分增长、降低，两次变化即为平方形式；2. 动点行程问题：用时间表示动点运动路程、线段长度，结合面积、勾股定理列方程；3. 核心易错点：实际问题中负数、超范围的根必须舍去，保证结果符合生活实际，这是应用题得分关键。 知识点1 一元二次方程的应用 问题1 梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢? ① 梯子底端滑动的距离=梯子顶端滑动的距离； ② 直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。 10 m 8 m 思考：你能找到哪些等量关系? 知识点1 一元二次方程的应用 问题1 梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢? 设梯子顶端下滑x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等。 由勾股定理，得梯子下滑前，梯子的底端与墙的底端的距离为=6(m)。 根据题意，由勾股定理，得(8-x)²+(6+x)²=10²。 化简，得x²-2x=0。 解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=2。 所以梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等。 10 m 8 m x m x m 知识点1 一元二次方程的应用 问题2 如果梯子的长度是13 m，梯子顶端到地面的垂直距离是12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗? 设梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离相等且距离都为y m。 由勾股定理，得梯子下滑前，梯子的底端与墙的底端的距离为 =5(m)。 根据题意，由勾股定理，得(12-y)²+(5+y)²=13²。 化简，得y²-7y=0。 解得y1=0 (不合题意，舍去)，y2=7。 所以梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等，这个距离为7m。 13 m 12 m y m y m 数学问题( 一元二次方程) 实际问题 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元二次方程的解) 解方程 解释 验证 知识点1 一元二次方程的应用 知识点1 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，找出等量关系； (2)设：设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3)列：列一元二次方程； (4)解：解一元二次方程； (5)验：检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6)答：作答。 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1 n mile)? 例1 A D B E F C 北 东 知识点1 一元二次方程的应用 解：连接DF。 ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC 的中位线。 ∴DF∥AB ， 且DF=AB。 ∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile， ∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile。 设相遇时补给船航行了x n mile， 那么DE=x n mile，AB+BE=2x n mile， EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile。 知识点1 一元二次方程的应用 A D B E F C 北 东 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x²=100²+(300-2x)²， 整理，得3x²-1 200x+100 000=0。 解这个方程，得x1=200-≈118.4， x2=200+(不合题意，舍去)。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile。 知识点1 一元二次方程的应用 A D B E F C 北 东 跟踪训练 如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米。 A. B. C. 1.5 D. 知识点1 一元二次方程的应用 A 跟踪训练 如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则所列方程是 。 知识点1 一元二次方程的应用 (30－2x)(40－2x)＝600 1. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一 个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶 2500个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量 的月平均增长率为x，则可列方程为(　A　) A. 1000(1＋x)2＝2500 B. 1000(1－x)2＝2500 C. (1－x)2＋1000＝2500 D. x2＋1000＝2500 A 随堂练习 2. 某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋 250元，现在每袋90元，则平均每次下降的百分率 是 ⁠. 40％　 随堂练习 3. 某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过 优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原 料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同， 均为x，可列出方程为 ⁠ ⁠. 15＋15(1＋x)＋15(1＋x)2 ＝60　 随堂练习 4. 随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额 从前年的200万元增长到今年的392万元.求该购物网 站平均每年销售额增长的百分率. 解：设 ⁠ ⁠， 根据题意得 ⁠. 解得 ⁠. 该购物网站平均每年销售额增长的百分率 为x　 200(1＋x)2＝392　 x1＝0.4，x2＝－2.4　 书写通关 随堂练习 (x＝ 不合题意，舍去) 答： ⁠ ⁠. －2.4　 该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 40％　 书写通关 随堂练习 5. 如图，在△ABC中，AC＝50m，BC＝40m， ∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s 的速度匀速移动，同时另一点Q由点C开始以3m/s 的速度沿着CB边向点B匀速移动，几秒时， △PCQ的面积等于450m2？ 随堂练习 解：设xs时，△PCQ的面积等于450m2， 由题意可得AP＝ m，PC＝ ⁠ m，CQ＝ m， 所以可得方程 ⁠. 解得 ⁠. 当x＝ 不合题意，舍 去. 答： s时，△PCQ的面积等于450m2. 2x　 (50－ 2x)　 3x　 (50－2x)·3x＝450　 x1＝10，x2＝15　 15时，CQ＝45m＞40m，　 10　 书写通关 随堂练习 知识点1 几何图形问题 1.一个直角三角形的两条直角边长相差2，斜边长为10，设较短直角边 长为 ,可列方程为____________________。 返回 中考考法 19 2. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作。 其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问 长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的 长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多___步。 6 返回 中考考法 20 3.[威海中考] ［教材复习题变式］如图，某校有一块长 、宽 的矩形种植园。为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建 宽度相同的小路（图中阴影部分）。小路把种植园分成面积均为 的9个矩形地块，请你求出小路的宽度。 中考考法 21 解：设小路的宽度为 ， 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得或 （舍去）。 答：小路的宽度为 。 返回 中考考法 22 知识点2 数字问题 4.若两个正数的差为3，且它们的积为54，则这两个正数分别为______。 6，9 返回 中考考法 23 知识点3 行程、动点问题 5.如图，东西方向上有， 两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A 地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度同时从 地出发向正南方 向前进，甲、乙两人相距6千米时，最快经过( ) A A.小时 B.小时 C.1.5小时 D. 小时 返回 中考考法 24 一元二次方程的解 应用一元二次方程 实际问题 实际问题的解 解方程 建立一元二次方程模型 检验 分析数 量关系 设未知 数 问题 解决 课堂小结 $