2.5.1 椭圆的标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义及标准方程，从日常生活中的椭圆形象导入，通过对比圆的定义引导学生思考椭圆特征，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以“尝试与发现”活动引导学生自主推导椭圆方程，培养逻辑推理与抽象能力，结合例2中三角形周长问题强化模型意识。学生能深化知识理解，教师可提升教学效率。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.5.1 椭圆的标准方程 第二章 平面解析几何 1 学习目标 理解椭圆的定义，体现数学抽象能力（重点） 掌握椭圆的标准方程，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图（1）（2）所示． 我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径.那么，你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？ 3 新课学习 椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆， 其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距. 4 新课学习 尝试与发现：设F1，F2是平面内的两个定点，|F1F2|=8，证明平面上满足|PF1|+|PF2|=10的动点P有无数多个，并求P的轨迹方程. 以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy，设椭圆的焦点分别为F1(−4,0)，F2(4,0). 5 新课学习 可以验证，如果P的坐标(x,y)满足④式，则可得|PF1|+|PF2|=10. 不难看出，方程④有无穷多组实数解，这说明坐标满足|PF1|+|PF2|=10的点有无数多个，而且P的轨迹方程为④式. 6 新课学习 思考一下：设F1，F2是平面内的两个定点，若|F1F2|=2c，且满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹方程. 一般地，如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足 |PF1|+|PF2|=2a，其中a>c>0. 则以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 此时，椭圆的焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0). 设P(x,y)是椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|=2a， 7 新课学习 8 新课学习 因为a>c>0，所以a2−c2>0， 设a2−c2=b2且b>0，则⑧式可化为 可以验证，方程⑨就是椭圆的方程，通常称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程. 9 新课学习 尝试与发现：设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足|PF1|+|PF2|=2a，其中a>c>0. 以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 此时： (1)椭圆焦点的坐标分别是什么？ (2)能否通过⑨式来得到此时椭圆方程的形式? 10 新课学习 此时椭圆的焦点是F1(0,−c)，F2(0,c)，而且只要将方程⑨中的x与y互换，就可以得到椭圆的方程为 其中b2=a2−c2. 这个方程通常称为焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 11 新课学习 椭圆的标准方程 焦距在x轴上椭圆的标准方程： 如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足 |PF1|+|PF2|=2a，其中a>c>0，则以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴的椭圆的方程为 12 新课学习 椭圆的标准方程 焦距在y轴上椭圆的标准方程： 如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足 |PF1|+|PF2|=2a，其中a>c>0，则以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴的椭圆的方程为 13 新课学习 14 新课学习 例1：分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是F1(−3,0)，F2(3,0)，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8； 由已知得2a=8，因此a=4. 又因为c=3，所以b2=a2−c2=42−32=7， 因为椭圆的焦点在x轴上，所以所求椭圆的标准方程为 15 新课学习 由已知得c=4.又因为c2=a2−b2 ，所以a2=b2+16. 16 新课学习 例2：已知B，C是平面内的两个定点，|BC|=8，且平面内△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程. 分析：由△ABC的周长等于18且|BC|=8，可知点A到B，C两个定点的距离之和总是等于10 ，因此点A一定在以B，C为焦点的椭圆上. 以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示. 由|BC|=8，可知B(−4,0)，C(4,0). 又因为|AB|+|AC|+|BC|=18，所以 |AB|+|AC|=10. 17 新课学习 从而点A在以B，C为焦点的椭圆上，而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10，又焦距2c=8，因此a=5，c=4. 从而b2=a2−c2=25−16=9. 再注意到因为是三角形，所以A，B，C三点不能共线， 18 课堂练习 D 19 课堂练习 20 课堂练习 D 21 课堂练习 22 课堂练习 B 23 课堂练习 24 课堂练习 A 25 课堂练习 26 课堂练习 27 课堂练习 28 课堂总结 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 29 谢 谢 观 看 30 当 时， ， 当 时，由①可知 ，即 ，此时④也成立. 此时，由①得 ， 整理得 .② ①+②整理得 ③，将③式平方，再整理得 .④ 当 时， ， 由⑤得 ， 整理得 .⑥ ⑤+⑥整理得 ⑦，将⑦式平方，再整理得 .⑧ ，⑩ 由上可以看出，椭圆的标准方程由a，c以及焦点的位置确定，其中a>c>0. 如不特别声明，以后总认为椭圆有相应的a，c值以b值，其中 . 而且谈到椭圆的标准方程时，指的总是⑨⑩这两种形式之一. . 从而有 ，解得 或 （舍去）. 因此 ，从而所求椭圆的标准方程为 . 例1：分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (2)两个焦点分别是 ， ，并且椭圆经过点 . 因为点 在椭圆上，所以 ，即 . 因此点A的坐标必须满足 ， 因此可知点A的轨迹方程为 . 1.平面内点 到 的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 解析：由题知， ，由椭圆的定义可知， 的轨迹方程是焦点在 轴上的椭圆，其中 ，则 ， 方程为： .故选：D. 2.平面内点P到 ， 的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 解析：由题意，平面内点P到 ， 的距离之和是8，所以动点P的轨迹E为椭圆，焦点在y轴上，且 ，即 ，所以 ，所以动点P的轨迹方程为 .故选：D. 3.已知定点 ， ，动点P满足 ，则动点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 解析：结合椭圆定义可知，动点P的轨迹为以A，B为焦点且长轴长为6的椭圆， ， ，所以 ，动点P的轨迹方程为 .故选：B 4.若椭圆C的两个焦点分别是 ， ，椭圆C上一点P到两焦点距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 解析：由题意有： ， ， ， ，故选：A. 5.到点 ， 距离之和为10的动点P的轨迹方程为__________. $