2.2.4 点到直线的距离课件——2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

这是一份高中数学同步教学课件，为人教B版(2019)选择性必修第一册“2.2.4点到直线的距离”内容，包含27页学习支架，涵盖学习目标、新课导入、公式推导（代数与向量双路径）、例题解析、课堂练习及总结，系统构建点到直线及两平行线间距离的知识体系。 资料以核心素养为导向，通过“尝试与发现”引导学生从具体问题抽象公式，代数推导与向量几何意义双路径培养逻辑推理与直观想象（数学思维与眼光），例题从三角形高到平行线距离公式证明，分层落实计算能力（数学语言）。课堂练习覆盖基础与综合应用，适用于高二学生巩固解析几何基础，助力学生掌握重点，为教师提供清晰教学流程与多样化素材，提升教学效率。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.2.4 点到直线的距离 第二章 平面解析几何 1 学习目标 掌握点到直线的距离公式，体现逻辑推理能力（重点） 掌握两平行线间距离的求法，并且用公式解决问题，体现数学计算能力（重难点） 2 新课导入 平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，能不能快速地求出点到直线的距离呢？ 3 新课学习 尝试与发现：想办法求出P(-1，2)到直线 l1：2x+y-5=0的距离？可以得到什么结论？ 如图所示，设P1(x1,y1)是直线l1上的点，且PP1⊥l1，则P到l1的距离等于PP1的长. 2×(y1−2)=1×(x1+1)， 整理得 x1−2y1+5=0.① 又因为P1(x1,y1)是直线l1上的点，所以2x1+y1−5=0.② 4 新课学习 思考一下：如何求P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d ? 设P1(x1,y1)是直线l上的点，且PP1⊥l，因此所要求的就是 B(x1−x0)−A(y1−y0)=0.④ 又因为P1(x1,y1)是直线l上的点，所以Ax1+By1+C=0.⑤ 如果联立④和⑤求出x1，y1，再代入③，将是很繁琐，注意到为了求出③，只需要求出x1−x0与y1−y0的平方即可，而④正好有这两个式子，但⑤没有. 5 新课学习 思考一下：如何求P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d ? 为此，在⑤的左右两边同时减去Ax0，By0，并整理，得 A(x1−x0)+B(y1−y0)=−(Ax0+By0+C).⑥ 将④与⑥两边平方后相加可得 (A2+B2)[(x1−x0)2+(y1−y0)2]=(Ax0+By0+C)2， 6 新课学习 点到直线的距离公式 已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，则点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为： 例如：利用点到直线的距离公式，可以算得P(−1,2) 到直线l1：2x+y−5=0 的距离为 7 新课学习 思考一下：从向量角度考虑，如何求P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d ? x y O l P1 v 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 的距离公式也可通过向量数量积来推导： 因为v=(A,B)是直线l的一个法向量，设P1(x,y)是直线l上任意一点，则按照向量数量积的几何意义可知，P(x0,y0)到直线l的距离d满足 8 新课学习 思考一下：从向量角度考虑，如何求P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d ? x y O l P1 v 又因为P1(x,y)是直线l上一点，所以Ax+By+C=0，因此 Ax+By=−C，从而 9 新课学习 例1：已知△ABC的三个顶点A(2,2)，B(2,0)，C(0,1)，求△ABC的BC边上的高. 所求BC边上的高等于点A到直线BC的距离. 因为BC所在直线的截距式方程为 所以一般式方程为x+2y-2=0 10 新课学习 思考一下：如果两条直线平行，如何应用已知知识计算它们之间的距离？ 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，因此，可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的距离． 11 新课学习 例2：求平行线l1：3x−4y+3=0与l2：6x−8y−5=0之间的距离. 在l1的方程中，令y=0，则可得x=−1，因此(−1,0)是直线l1上一点. 又因为(−1,0)到6x−8y−5=0 的距离为 12 新课学习 设P(x1,y1)为l1上一点，则 Ax1+By1+C1=0，从而Ax1+By1=−C1. 因为P到l2的距离为 所以结论成立. 13 新课学习 两条平行线的距离公式 注意：应用两平行直线间的距离公式时，两条平行直线的方程需为一般式，且x，y对应的系数相等. 14 课堂练习 B 15 课堂练习 16 课堂练习 C 17 课堂练习 18 课堂练习 B 19 课堂练习 20 课堂练习 C 21 课堂练习 22 课堂练习 A 23 课堂练习 24 课堂练习 25 课堂总结 1.点到直线的距离 2.两条平行线的距离 26 谢 谢 观 看 27 联立①与②，解方程组可得 ， . 即 ，所以 ，因此 ，即所求距离为 . 因为 ，而且 是直线l1的一个法向量， 因此 与 共线，从而 注意到 ，而且 是直线l的一个法向量，因此 与 共线，从而 ，整理得 .③ 因此 ，从而 . 注意到 ，所以 ， . 因此所求高为 . 所以所求距离为 . 例3：已知直线 ， ，求证：l1与l2之间的距离为 . ， 已知直线 ， ，两条直线的距离为 1.点 到直线 的距离是( ) A. B. C. D. 2.已知 ， 两点到直线 的距离相等，则 ( ) A.0 B.2 C.0或2 D. 或2 3.直线 与直线 之间的距离为( ) A. B. C. D. 解析：直线 化为 ，所以直线 与直线 之间的距离为 .故选B. 4.若直线l经过点 ，且点 ， 到它的距离相等，则l的方程为( ) A. B. C. 或 D. 或 解析：根据题意，分情况讨论可得： ①当两个点 ， 在所求直线的异侧时，即过线段 的中点 .由于直线又经过 ，此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为 ； ②当 ， 在所求直线同侧时，直线 与所求的直线平行，又因为 ，所以所求的直线斜率为 ，由于直线又经过 ， 直线方程为 ， 化简得： ，综上，满足条件的直线为 或 ，故选：C. 5.已知直线 ， 互相平行，且 之间的距离为 ，则 ( ) A. 或3 B. 或4 C. 或5 D. 或2 解析：点 到直线 的距离 . $