2.3.2 圆的一般方程课件——2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，通过展开具体标准方程实例导入，引导学生观察转化过程，建立标准方程与一般方程的联系，搭建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于通过“尝试与发现”“思考一下”等互动设计培养逻辑推理能力，结合三点求圆、月洞门实际问题等实例发展数学建模意识，例2的方程转化与判定过程强化数学抽象。学生能深化理解，教师可高效落实重难点。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.3.2 圆的一般方程 第二章 平面解析几何 1 学习目标 掌握圆的一般方程，体现数学抽象能力（重点） 会把圆的标准方程与一般方程进行转化，体现逻辑推理能力（重难点） 会判定二元二次方程是不是圆的一般方程，体现逻辑推理能力（重点） 2 新课导入 尝试与发现：把圆的标准方程(x−1)2+(y−2)2=9 中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？ (x−1)2+(y−2)2=9可以化为 x2−2x+y2−4y−4=0. 3 新课学习 思考一下：圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2可以化成什么？ 一般地，圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2可以化为 x2+y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0. 在这个方程中，如果令D=−2a，E=−2b，F=a2+b2−r2，则这个方程可以表示成 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①的形式， 其中D，E，F都是常数. 4 新课学习 圆的一般方程的概念 如果这个方程可以表示成 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 的形式，其中D，E，F都是常数. 形如①式的圆的方程称为圆的一般方程. 5 新课学习 思考一下：圆的标准方程与圆的一般方程有什么区别？ 圆的标准方程明确指出了圆的圆心坐标与半径 ， 而圆的一般方程表明了圆的方程形式上的特点. 要给出圆的标准方程，需要确定圆心坐标和半径；而要给出圆的一般方程，则需要确定一般方程中的D，E，F． 6 新课学习 例1：已知 A(0,5)，B(1,−2)，C(−3,−4) 都是⊙P上的三点，求这个圆的方程. 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为A(0,5)，B(1,−2)，C(−3,−4)都是圆上的点，所以它们的坐标都是方程的解，因此可得 解方程组可得 D=6 ，E=-2，F=-15. 因此所求圆的方程为 x2+y2+6x−2y−15=0. 7 新课学习 二元二次方程表示圆的必要条件 圆的一般方程是一个二元二次方程，因为所有圆的方程都可以化成①的形式，所以一个二元二次方程表示圆的必要条件，就是能化成①的形式. 8 新课学习 举个例子： 方程x2+2y2−2x−3y+7=0与x2+xy+y2−3x−4y+5=0都不是圆的方程，因为第一个方程中，x2，y2的系数不相等，而第二个方程中xy项的系数不为0，它们都不能化成①的形式. 方程2x2+2y2−4x−4y+1=0与x2+y2−2x−2y+2=0都有可能是圆的方程，因为它们都能化为①的形式. 9 新课学习 尝试与发现：分别判断2x2+2y2−4x−4y+1=0与x2+y2−2x−2y+2=0是否是圆的方程，然后总结出x2+y2+Dx+Ey+F=0 是圆的方程的充分条件. 一个二元二次方程是否是一个圆的方程，取决于这个方程能否化成圆的标准方程. 因为 2x2+2y2−4x−4y+1=0 10 新课学习 尝试与发现：分别判断2x2+2y2−4x−4y+1=0与x2+y2−2x−2y+2=0是否是圆的方程，然后总结出x2+y2+Dx+Ey+F=0 是圆的方程的充分条件. 又因为 x2+y2−2x−2y+2=0 ⇔x2−2x+1+y2−2y+1=0 ⇔(x−1)2+(y−1)2=0, 显然，满足上述方程的实数只有x=1，y=1，因此不是圆的方程. 11 新课学习 思考一下：如果把上面的方程换成圆的一般方程呢？ 一般地， x2+y2+Dx+Ey+F=0 因此： 12 新课学习 思考一下：如果把上面的方程换成圆的一般方程呢？ 3.当D2+E2−4F<0 时，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程. 13 新课学习 例2：判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由： (1)x2+y2+4x−6y−12=0； 原方程可以化为 x2+4x+4+y2−6y+9=25， 即 (x+2)2+(y−3)2=25， 所以是圆心坐标为(-2,3)，半径为5的圆的方程. 14 新课学习 例2：判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由： (2)4x2+4y2−8x+4y−15=0； 15 新课学习 例2：判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由： (3)x2+y2−6x+10=0. 因为原方程可以化为 x2−6x+9+y2=−1， 即 (x−3)2+y2=−1， 又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程. 16 课堂练习 B 17 课堂练习 18 课堂练习 B 19 课堂练习 20 课堂练习 B 21 课堂练习 22 课堂练习 C 23 课堂练习 24 课堂练习 C 25 课堂练习 26 课堂练习 x2+y2-4x-2y-20=0 27 课堂练习 28 课堂总结 1.圆的一般方程 2.二元二次方程表示圆的条件 29 谢 谢 观 看 30 所以上述方程是圆心 在(1,1)，半径为 的 圆的方程 2.当 时，满足方程的实数只有 ， ，所以原方程不是圆的方程； 方程两边除以4，得 ． 解析：因为方程 表示圆，所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 或 .当 时，方程可化为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，不表示圆； 当 时，方程可化为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，表示圆的圆心为 .故选项B正确. 2.圆 的半径为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由 ，得 ， 由该曲线表示圆，可知 ，解得 或 ，故选：B. 解析：设点 关于直线 对称的点 ，则 ，解得 .因为 在C外，所以 ，可得 ，且 表示圆可得 ，即得 ，综上可得 .故选：C. 5.“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为 ，底面宽为 ，则该月洞门所在圆弧的半径为( ) A. B. C. D. 解析：设圆的方程为 ，将点 的坐标分别代入可得， ，解得 ，则可得圆的方程为 ，故答案为: . $