2.2.3 两条直线的位置关系第2课时课件——2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线垂直的条件，通过“两条直线垂直是相交的特殊情形”导入，引导学生从法向量、斜率等已有知识出发，探究用方程判定垂直的方法，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以“尝试与发现”驱动探究，通过法向量数量积为0、斜率乘积为-1等多维度推导垂直条件，体现数学抽象与数学思维。例3判断直线垂直、例4求垂直直线方程等实例，结合辨析式课堂练习，帮助学生深化理解，教师可借此高效突破重难点，提升学生数学计算与逻辑推理能力。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.2.3 两条直线的位置关系（第二课时） 第二章 平面解析几何 1 学习目标 掌握两条直线垂直的条件，体现数学抽象能力（重点） 会利用两条直线的垂直关系求参数的值或者直线方程，体现数学计算能力（难点） 2 新课导入 我们知道，平面内的两条相交直线，如果相交所得的角是四个直角，则它们互相垂直.因此，两条直线垂直是两条直线相交的一种特殊情形，能否根据直线的方程来判断两条直线是否垂直呢？这就是下面我们要讨论的问题. 3 新课学习 尝试与发现：如果要根据两条直线的方程判定它们是否垂直，可以从哪些方面考虑？用你想到的方法判断直线l1:2x−y+1=0与l2:x+2y+2=0是否垂直. 因为直线的方程给定之后，直线的法向量、斜率、倾斜角都能确定，所以至少可以从这些方面进行考虑. 两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直. 因为v1=(2,−1)，v2=(1,2) 分别是l1，l2的法向量，而且v1⋅v2=2×1+(−1)×2=0，即v1⊥v2，所以l1与l2垂直. 4 新课学习 尝试与发现：如果要根据两条直线的方程判定它们是否垂直，可以从哪些方面考虑？用你想到的方法判断直线l1:2x−y+1=0与l2:x+2y+2=0是否垂直. 5 新课学习 两条直线垂直与斜率的关系 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，可得 l1⊥l2⇔k1k2=−1. 6 新课学习 尝试与发现：上述结论中包含了平面直角系中的所有的直线吗？如果没有，请提出能包含所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论？ 设直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0. 因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，如图所示， 不难看出，l1与l2垂直的充要条件是v1与v2垂直，即v1⋅v2=0 ，因此A1A2+B1B2=0. 即l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 由此也可以看出，在平面直角坐标系中，直线Ax+By+C1=0与直线Bx−Ay+C2=0一定是垂直的，因为AB+B(−A)=0. 7 新课学习 例3：判断下列各对直线是否垂直： (1)l1:y=2x−2，l2:x−2y+1=0； (2)l1:x=2，l2:y−3=0. 显然，l1的倾斜角为90∘，l2的倾斜角为0∘ ，从而可知l1与l2垂直. 8 新课学习 例4：分别求下列直线的方程： (1)过点(3,1)且与直线y=3x−1垂直的直线l1； 整理得x+3y−6=0. 9 新课学习 例4：分别求下列直线的方程： (2)过点(1,2)且与直线2x+y−10=0垂直的直线l2. 依题意可设l2的方程为x−2y+C=0. 由于l2过点(1,2)，因此1−2×2+C=0, 解得C=3. 因此直线l2的方程为 x−2y+3=0. 结论：通过平面上一点 ， 有且只有一条直线与已知直线垂直 ． 10 新课学习 总结：利用直线的一般方程判断两条直线的位置关系： 1.系数法： 已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(其中A1，A2，B1，B2不同时为0) l1∥l2⇔ l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0 l1与l2重合⇔ 11 新课学习 总结：利用直线的一般方程判断两条直线的位置关系： 2.方程组法： 直线l1和l2的公共点的个数 直线l1和l2的位置关系 一组 无数组 无解 1 无数 0 相交 重合 平行 12 课堂练习 A 13 课堂练习 14 课堂练习 C 15 课堂练习 16 课堂练习 B 17 课堂练习 18 课堂练习 A 19 课堂练习 20 课堂练习 D 21 课堂练习 22 课堂练习 2 23 课堂总结 1.两条直线垂直与倾斜角的关系 2.直线的一般方程的两条直线的垂直关系 24 谢 谢 观 看 25 另一方面，如果设 与 的倾斜角分别为 与 ，斜率分别为 k1与k2，则由图可以看出，l1与l2垂直的充要条件是 ， 即 ，故 . 又因为 ， ，所以可知l1与l2垂直. 将l2的方程化为斜截式为 .因此l2的斜率为 ，又因为l1的斜率为2，而且 ，从而可知l1与l2不垂直. ， 或 或 已知两条直线 ， (其中A1，A2，B1，B2不同时为0)，则 与 的关系和方程组 的解得情况有下列关系： 方程组 的解 1.下列说法中， ①若两直线平行，则其斜率相等； ②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直； ③若直线 与直线 垂直，则 . 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知直线l与直线 垂直，则直线l的倾斜角是( ) A. B. C. D. 3.下列说法中正确的是( ) A.两条平行直线的斜率一定相等 B.两条平行直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两直线的斜率之积为 D.互相垂直的两直线的倾斜角互补 解析：对于A，若两条直线平行，但没有斜率，故A错误， 对于B，两条直线平行，则倾斜角相等，故B正确， 对于C，若两条直线分别与坐标轴平行，则此时有一条直线没有斜率，故C错误， 对于D，若两条直线分别与坐标轴平行，则两条直线的倾斜角分别为 和 ，则倾斜角不互补，故D错误，故选：B. 4.直线 与直线 的位置关系是( ) A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合 解析：当 时，直线 ，直线 ，此时两直线垂直，当 时，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，因为 ，则两直线垂直，综上两直线位置关系是垂直，故选：A. 5.直线 与直线 一定( ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直 解析：由直线 得 ， ，由直线 ，得 ， ，因为 ， ，故两直线相交但不垂直. 故选：D. 6.若直线 与 互相垂直，则m的值为______. 解析：若直线 与 互相垂直，则 ，解得 .故答案为:2. $