2.3.3 直线与圆的位置关系 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，涵盖相交、相切、相离三种关系，通过几何法（圆心到直线距离与半径关系）和代数法（方程公共解个数）实现判断，还包含弦长计算与切线方程求解等核心内容。以问题链导入，从位置关系种类到判断方法逐步深入，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于注重数学思维的培养，通过几何法与代数法的对比分析，引导学生逻辑推理；例题采用一题多解（如例1联立方程与距离法），结合归纳总结（弦长三法、切线求法），以数学语言精确表达关系，助力学生构建知识体系，提升教师教学效率与学生问题解决能力。

2.3.3 直线与圆的位置关系 第二章 问题1：在平面中，直线与圆的位置关系有几种？ 相交 相切 相离 问题2：如何判断直线与圆的位置关系？ 问题2：如何判断直线与圆的位置关系？ 直线与圆的交点个数 圆心到直线的距离 直线与圆的方程的公共解个数 相交 相切 相离 直线和圆有两个公共点 直线和圆有一个公共点 直线和圆没有公共点 d<r d=r d>r ⇔ ⇔ ⇔ 公共点个数 圆心到直线距 离与半径比较 2 1 0 ⇔ ⇔ ⇔ 相交 相切 相离 d r d r d r 直线和圆有两个公共点 直线和圆有一个公共点 直线和圆没有公共点 (1)(几何法)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断： 直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) d >r 相离 直线与圆 相交 (2)(代数法)利用直线与圆的公共点的个数进行判断： n=0 n=1 n=2 相离 相切 相交 △<0 △=0 △>0 d＝r d <r 相切 直线与圆 知识梳理 解：方法一　联立直线l与圆C的方程，得， 消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 把x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3. 所以，直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3). 因此|AB|＝ . 例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 方法二　圆C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5， 因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为， 圆心C(0，1)到直线l的距离＜， 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 如图，由垂径定理得|AB|＝ . 归纳总结 求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法：联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝求解. (2)弦长公式：|AB|=. (直线l的斜率k存在且不为0). (3)几何法：设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|＝2. 通常采用几何法较为简便. 解：∵32＋42＝25，∴点P在圆C上. 由圆C：x2＋y2＝25知圆心C为(0，0)，r＝5， 则CP的斜率为kCP＝， ∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率k＝， 故经过点P的切线方程为y-1＝(x－3)，即3x＋4y－25＝0. 例2 已知圆C：x2＋y2＝25，求过点P(3，4)的圆的切线方程. 解：∵(-5)2＋()2＞25，∴点Q在圆C外. 若所求直线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线的方程为y－＝k(x＋5)， 即kx－y＋5k＋＝0. 由圆心(0，0)到切线的距离等于圆的半径5得， 解得k＝，故所求切线的方程为x－y＋＋＝0，即3x－4y＋25＝0， 变式：已知圆C：x2＋y2＝25，求过点Q(-5，)的圆的切线方程. 若所求直线斜率不存在，则直线方程为x＝-5， 又圆心(0，0)到x＝-5的距离为5，符合题意， 综上所述，过点Q的切线方程为x＝-5或3x－4y＋25＝0. 变式：已知圆C：x2＋y2＝25，求过点Q(-5，)的圆的切线方程. 圆的切线的求法： 1.点(x0，y0)在圆上时： (1)先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． (2)如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0. 归纳总结 圆的切线的求法： 归纳总结 2.点(x0，y0)在圆外时： (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程． (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解． 1. 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离； 3. 运用直线与圆的位置关系，求解弦长与切线方程. 2. 判断直线与圆的位置关系的方法：代数法、几何法； 回顾：说说本节课学了哪些直线与圆的知识？ 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 2.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 B B 3.直线l:x-y+2=0被圆O:x2+y2=9截得的弦长为(　　) A. B. C. D. 4.已知圆C的圆心在直线y＝6x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点 (－2，3)，则圆C的标准方程为(　　) A.(x＋1)2＋(y＋6)2＝18 B.x2＋y2＝18 C.(x－1)2＋(y－6)2＝18 D.(x－1)2＋(y－6)2＝12 A C $