2.4 曲线与方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“曲线与方程”核心内容，涵盖概念、性质及轨迹方程求法。课堂导入从直线与圆的方程回顾切入，通过“尝试与发现”活动引导学生探究到两垂直直线距离相等的点的集合，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以数学抽象和逻辑推理为核心，结合“尝试与发现”“思考一下”等互动设计，通过例1判断射线方程强调定义严谨性，例3、例4展示轨迹方程求法步骤。学生能提升抽象思维与推理能力，教师可借助清晰流程和实例优化教学效率。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.4 曲线与方程 第二章 平面解析几何 1 学习目标 了解曲线的方程与方程的曲线的概念，体现数学抽象能力（重点） 能根据方程研究曲线的性质，体现逻辑推理能力（难点） 理解求两条曲线的交点的意义，体现逻辑推理能力（重点） 2 新课导入 前面我们学习了直线与圆的方程，知道了平面直角坐标系中的一个点在直线或圆上的充要条件是它的坐标满足直线或圆的方程.我们还借助直线与圆的方程讨论了直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系.不难想到，借助方程，应该还可以讨论平面内的其他几何对象及其性质等. 3 新课学习 尝试与发现：(1)如图，设l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且M 是所有到l1，l2的距离相等的点组成的集合，在图中找出M中的所有元素. 如果以l1，l2分别为坐标轴建立平面直角坐标系，那么M中的点的坐标有什么特点？ 根据角平分线的性质可知M是直线l1，l2所形成的四个角的角平分线上的点组成的集合(包括l1与l2的交点)，建立如图所示的平面直角坐标系. 4 新课学习 尝试与发现：(2)将|y|=|x|看成x与y的方程，如果x=a且y=b(a，b为实数)能使方程|y|=|x|成立，则称(a,b)是方程|y|=|x|的一组实数解，你能找出满足这个方程的3组实数解吗？这个方程有多少组实数解？如果将每一组实数解都看成平面直角坐标系中的一点，那么所有实数解表示的点组成的集合与(1)中的集合M有什么关系？ 一方面，如果点P(x,y)在集合M中，即在第一、三象限和第二、四象限的角平分线上，则它的坐标x，y必须满足|y|=|x|.① 另一方面，如果x，y是方程①的解，则点(x,y)一定在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上，即都在集合M中. 例如:(0,0)，(1,1)，(−2,2)，(−3,−3)所表示的点都在集合M中. 5 新课学习 因此，方程|y|=|x|的所有解表示的点的集合就是集合M，也就是第一、三象限和第二、四象限的角平分线构成的曲线，一般地，这一曲线称为方程 |y|=|x|的曲线，方程|y|=|x|称为这一曲线的方程. 尝试与发现：(2)将|y|=|x|看成x与y的方程，如果x=a且y=b(a，b为实数)能使方程|y|=|x|成立，则称(a,b)是方程|y|=|x|的一组实数解，你能找出满足这个方程的3组实数解吗？这个方程有多少组实数解？如果将每一组实数解都看成平面直角坐标系中的一点，那么所有实数解表示的点组成的集合与(1)中的集合M有什么关系？ 6 新课学习 曲线的方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x,y)=0 之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解； (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线，方程F(x,y)=0为曲线C的方程. 7 新课学习 曲线的方程的特征性质 如果曲线C的方程是F(x,y)=0，且P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，则 P(x,y)∈C⇔F(x,y)=0. 因此，方程 F(x,y)=0 可用来描述曲线C的特征性质，曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为C={P(x,y)∣F(x,y)=0}. 8 新课学习 需要注意的问题： 1.以后我们将不再区分曲线及其方程，因此可以说曲线F(x,y)=0等; 2.直线与圆都可以看成特殊的曲线，因此直线的方程与圆的方程都是曲线方程的特殊形式.另外，尝试与发现中的集合M可以看成曲线，按照上述定义可知，M的方程是|y|=|x|，且M={P(x,y)||y|=|x|}. 3.有些函数的解析式可以看成一种特殊的方程，此时，解析式与函数图象之间的关系，实际上是方程与曲线的关系.例如:若一次函数y=3x+1的图象是直线l，就说明把一次函数看成方程3x−y+1=0时，这个方程对应的曲线就是直线l.不过，曲线的方程并不一定是函数，例如:圆的方程x2+y2=1中，y不是x的函数，x也不是 y的函数. 9 新课学习 例1：已知平面直角坐标系中，C是端点为原点且其他所有点都在x轴正半轴上的射线，判断y=0以及y=0(x>0)是否是C的方程，如果都不是，写出C的方程. 可以看出，C上的点的纵坐标必为0，即如果P(x,y)为C上的点，则必有y=0；另一方面，纵坐标为0的点，当横坐标小于0时，在x轴的负半轴上，不在C上. 因此y=0不是C的方程. 类似地，因为C上的点的横坐标大于等于0，所以C上的点(0,0)不满足方程 y=0(x>0) ，因此这也不是C的方程. 由上述分析可知，C的方程是y=0(x≥0). 10 新课学习 思考一下：你可以从例1中得到什么结论？ 例1说明，曲线的方程的定义中，(1)与(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一组实数解而言的. 从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集， B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集，则由定义中的(1)可知A⊆B，由定义中的(2)可知B⊆A.同时具有关系(1)和(2)，就有A=B. 11 新课学习 例2：已知曲线C1的方程是x2−y=0，曲线C2的方程是|y|=|x|，判断C1与C2是否有交点. 如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由. 分析：由曲线的方程的定义可知，一个点是两条曲线的交点的充要条件是：该点的坐标是这两条曲线的方程的公共实数解，因此可以通过解方程组来判断两条曲线是否有交点等. 12 新课学习 联立两个方程得方程组 因此C1与C2有三个交点，且交点坐标为(0,0)，(1,1)，(-1,1). 13 新课学习 思考一下：根据例2，如何判断两个曲线是否有交点？ 曲线F(x,y)=0与G(x,y)=0是否有交点的问题，可以转化为方程组 是否有实数解的问题. 14 新课学习 尝试与发现：已知l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且曲线C是到l1，l2 的距离的乘积等于1的点组成的集合. (1)建立适当的平面直角坐标系，写出曲线C的方程； 如果以l1与l2分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，则P到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.因此P(x,y)在曲线C上的充要条件是|y||x|=1.② 因此，②就是曲线C的方程. 15 新课学习 尝试与发现：已知l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且曲线C是到l1，l2 的距离的乘积等于1的点组成的集合. (2)根据曲线C的方程，说出曲线C具有的性质，然后作出曲线C. 1.x=0或y=0 时，方程②不可能成立，这说明曲线C与两坐标轴都没有交点. 2.如果(x,y)是方程②的一组解，则(−x,y)也是方程②的一组解，又因为(−x,y)与(x,y) 关于y轴对称，这说明曲线C关于y轴对称. 类似地，可知曲线C关于x轴以及原点都对称. 3.由于|y||x|=1 ，所以|x|越来越大时， |y|越来越小且接近于0； |x|越来越小且接近于0时，|y|越来越大. 16 新课学习 为了作出曲线C ，根据上述性质(2)，可以先作出曲线C在第一象限内的部分，然后根据对称性作出其他部分，而第一象限内的部分可以由描点作图作出，如下表和图所示. 17 新课学习 轨迹方程的概念 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 例如：尝试与发现中的曲线C，可以看成动点M的运动轨迹，且动点M到l1，l2的距离的乘积等于1，因此动点M的轨迹方程就是|y||x|=1. 18 新课学习 例3：已知动点M到A(1,2) 的距离与到B(3,6)的距离相等，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状. 设M的坐标为(x,y)，依照条件可知|MA|=|MB|.由两点之间的距离公式可知 两边平方并化简，得x+2y−10=0. 可以检验，上式就是M的轨迹方程，因此轨迹曲线是直线. 19 新课学习 思考一下：根据例3，你可以得到什么结论？ 通过例3我们可以证明我们在初中归纳出的结论：平面上所有到线段两端点的距离相等的点组成一条直线，而且这条直线是线段的垂直平分线. 20 新课学习 例4：已知动点M到O(0,0) 的距离与到A(3,0) 的距离之比是 ，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状. 两边平方并化简，得x2+y2+2x−3=0 . 可以检验，上式就是M的轨迹方程. 又因为将轨迹方程左边配方，可得(x+1)2+y2=4，所以可知轨迹曲线是圆心为(-1,0)且半径为2的圆. 21 新课学习 例4：已知动点M到O(0,0) 的距离与到A(3,0) 的距离之比是 ，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状. 两边平方并化简，得x2+y2+2x−3=0 . 可以检验，上式就是M的轨迹方程. 又因为将轨迹方程左边配方，可得(x+1)2+y2=4，所以可知轨迹曲线是圆心为(-1,0)且半径为2的圆. 22 新课学习 思考一下：根据例3和例4，总结一下坐标法以及解析几何的优点？ 例3、例4实际上是在不知道轨迹曲线形状的前提下，通过用代数等式表示几何条件，求出了轨迹方程（即曲线的方程），从而明确了曲线的形状，更进一步，还可以研究曲线的性质，这都是坐标法以及解析几何的优点. 23 新课学习 求动点M轨迹方程的一般步骤 1.设动点M的坐标为(x,y)（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2.写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； 3.化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 24 课堂练习 C 25 课堂练习 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂练习 D 29 课堂练习 D 30 课堂练习 31 课堂练习 B 32 课堂练习 33 课堂总结 1.曲线方程的定义 2.曲线方程的特征性质 3.求曲线方程的步骤 34 谢 谢 观 看 35 1.圆 与圆 的交点坐标为( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 解析：由 ，可得 ，即 ，代入 ，解得 或 ，故得 或 ，所以两圆的交点坐标为 和 ，故选:C. 3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 解析：设点 ，则到两坐标轴距离相等，即 ，即 .故选:D 4.已知点 和点 ，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍，则点M的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 解析：由题意知： ，设 ，则 ， ，整理可得： ，即点M的轨迹方程为： .故选：D. 5.由动点P向圆 引两条切线 ， ，切点分别为A，B，若四边形 为正方形，则动点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. $