1.2.5 空间中的距离（教学课件）——2026-2027学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册

这是一份高中数学同步教学课件，内容为人教B版(2019)选择性必修第一册“空间中的距离”，涵盖空间两点、点到直线、点到平面等距离概念及向量求解方法，通过实例、例题推导与课堂练习构建学习支架。 资料以生活距离导入培养数学眼光，通过向量分解（如平行六面体体对角线计算）和法向量应用（如点到平面距离公式推导）发展数学思维，用坐标法表达提升数学语言能力，能帮助学生提升逻辑推理与计算能力，为教师提供系统教学资源。高二学生需从平面几何过渡到空间几何，本资料通过向量工具应用，帮助建立空间距离求解框架，为立体几何综合应用及升学备考奠定基础。

人教B版(2019)选择性必修第一册 1.2.5 空间中的距离 第一章 空间向量与立体几何 1 学习目标 理解点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离的概念，体现逻辑推理能力（重点） 能灵活运用向量方法求点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离，体现数学计算能力（重难点） 2 新课导入 “距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等．数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，要求具有准确的定义，以避免歧义．到目前为止，你学过哪些平面内的“距离”？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有的性质吗？ 3 新课学习 两点间的所有连线中，线段最短，连接两点间的线段的长度称为两点间的距离； 从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短，它的长度称为这个点到直线的距离； 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，称为这两条平行线之间的距离． 以上距离都可以归结为点与点的距离，而且是所有的点与点之间最短连线的长度． 4 新课学习 举个例子： 如图所示△ABC中，BC边上的高AD的长就是顶点 A到直线BC的距离，也就是A与直线BC上的点的最短连线的长度． 显然，空间中任意两个图形之间的距离也具有上图类似的性质，此距离要小于等于两个端点分别在这两个图形上的线段长． 5 新课学习 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长． 因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，所以可通过向量来求空间中两点之间的距离． 6 新课学习 例1：如图所示，已知ABCD−A′B′C′D′是平行六面体，AD=3，AB=4，AA′=5， ∠BAD=90∘，∠BAA′=∠DAA′=60∘，求AC′ 的长. 所以 7 新课学习 点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离. 点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. 8 新课学习 例2：已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为 1，求点C1到直线BD1的距离. 以D为原点， 的方向分别为x轴、 y轴、 z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)， 即E(1−λ,1−λ,λ)，所以 (−1)×(1−λ)+(−1)×(−λ)+1×(λ−1)=0， 9 新课学习 例2：已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为 1，求点C1到直线BD1的距离. 从而可知点C1到直线BD1的距离为 10 新课学习 点到平面的距离 给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． 11 新课学习 举个例子： 如图，点A在平面α外一点，若AA′是平面α的垂线段(即A′为A在平面α内的射影)，则平面α内不同于A′的任意一点B，一定满足AB>AA′，这是因为AB与AA′分别是Rt△AA′B的斜边与一条直角边. 12 新课学习 尝试与发现：(1)在右图中，设n0是平面α的一个单位法向量（即|n0|=1 )，因为AA′⊥α，所以表示n0的有向线段可以在直线AA′上，指出 ⋅n0的几何意义与AA′的关系； (2)一般情况下，若 A 是平面α外一点，B是平面α内一点，如何根据 和平面α的一个法向量 n表示出点 A 到平面α的距离？ 13 新课学习 点到平面的距离的计算公式 一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离 14 新课学习 例3：如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是一个边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=1. 求点D到平面PBC的距离. 依题意，AB，AD，AP是两两互相垂直的. 以A为原点， 的方向分别为x轴、 y轴、 z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)， 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)，则 令z=1，则得x=1，y=0，此时n=(1,0,1). 15 新课学习 例3：如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是一个边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=1. 求点D到平面PBC的距离. 因为 16 新课学习 公垂线的概念 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离； 当平面与平面平行时， 一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. 一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段. 显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长. 17 新课学习 思考一下：如图所示，如果直线l与平面α平行，那么直线l与平面α的距离是多少？ 如图所示，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为 18 新课学习 思考一下：如图所示，如果平面α与平面β平行，那么平面α与平面β的距离是多少？ 如图所示，n是平面β的一个法向量（当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为 19 新课学习 例4：已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系. 如果平行，求出AC与平面EMN之间的距离；如果不平行，说明理由. 以D为原点， 的方向分别为x轴、 y轴、 z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由正方体的棱长为2个单位长度，则 M(1,0,0)，E(2,1,2)，N(0,2,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)， 设平面EMN的一个法向量为n=(x,y,z)，则 20 新课学习 令z=1，则得n=(-1,-1,1) 例4：已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系. 如果平行，求出AC与平面EMN之间的距离；如果不平行，说明理由. 又因为点A显然不在平面EMN内，所以AC与平面EMN平行. 因此点A到平面EMN的距离为 ，这也是AC与平面EMN之间的距离. 21 课堂练习 D 22 课堂练习 23 课堂练习 D 24 课堂练习 25 课堂练习 B 26 课堂练习 27 课堂练习 C 28 课堂练习 29 课堂练习 C 30 课堂练习 31 课堂总结 1.空间中两点的距离 2.点到直线的距离 3.点到平面的距离 4.公垂线的定义 32 谢 谢 观 看 33 因此 ，即所求长为 . 由已知可得 ， 不共面，而且 ， ， ， 从而 ， ， ， 又因为 ， . 又因为 ，所以 ，即 ， ， 设E满足 且C1E⊥BD1，则 . 因为a与b的数量积等于a在b上的投影的数量与b的长 度的乘积，而 是平面 的一个单位法向量，所以 等于 在 上的投影的数量，因此在图中，有 . ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 解析：如图，以D为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，则 ； ； 设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，则 ，得平面 的一个法向量为 ，设 到平面 的距离为d，则 .故选：D. 2.在空间直角坐标系中，已知点 ，则点D到平面 的距离为( ) A. B. C. D. 解析：由题设有 ，设平面 的法向量为 ，则 ，故 ，取 ，而 ，故点D到平面 的距离为 . 3.空间内有三点 ，则点P到直线 的距离为( ) A. B. C. D. 解析：因为 ，所以 ， 所以 ， ， 点P到直线EF的距离为 .故选:B. 4.已知点 是平面 内一点，平面 的一个法向量为 ，则点 到平面 的距离为( ) A. B. C. D. 解析：由题意可得 ，又 ， 则点B到平面 的距离为 . 5.在三棱锥 中， ， ， ，则点P到平面 的距离为( ) A. B. C. D. 解析：因 ， ， ， 设平面ABC的法向量为 ，则 ，故可取 ， 所以点P到平面ABC的距离为 ； 故选：C $