第二章 2.5.2 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、几何性质及应用，通过延伸探究（如角度条件变化）导入，结合定义应用技巧、焦点三角形、最值问题（几何法与代数法）及实际案例（隧道拱线、卫星轨道），构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以数学眼光抽象实际问题（如卫星轨道转化为椭圆模型），用数学思维推导焦点三角形面积公式（结合余弦定理与椭圆定义），采用例题-跟踪训练-方法归纳模式，小结明确知识清单与误区。学生能提升知识应用能力，教师可高效开展分层教学。

第2课时 第二章 <<< 椭圆的几何性质的综合应用 1.根据椭圆的定义研究焦点三角形的性质以及焦半径的取值范围. 2.了解椭圆在实际生活中的应用. 学习目标 一、椭圆中的焦点三角形 二、椭圆中的最值 课时对点练 三、实际生活中的椭圆问题 随堂演练 内容索引 椭圆中的焦点三角形 一 已知P为椭圆 ＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 例 1 5 从而|F1F2|＝2c＝6， 在△F1PF2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ① 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ② 6 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 7 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积. 延伸探究 8 从而|F1F2|＝2c＝6. 在△F1PF2中，由勾股定理可得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋36， 9 10 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解. 反 思 感 悟 椭圆定义的应用技巧 11 　设P为椭圆C： ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、 右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为 A.24 B.12 C.8 D.6 跟踪训练 1 √ 12 |PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝8. ∴易知△PF1F2是直角三角形， ∵△PF1F2的重心为点G， ∴ ，∴△GPF1的面积为8. 13 二 椭圆中的最值 若P(x0，y0)是椭圆 ＝1(a>b>0)上任意一点，F1(－c,0)， F2(c,0)是椭圆的左、右焦点，你能表示|PF1|与|PF2|吗？ 问题 故有|PF1|＝a＋ex0， 同理|PF2|＝a－ex0. 15 1.|PF1|与|PF2|统称焦半径，其最大值为 ，最小值为 . 2.P为 端点时，顶角θ最大. a＋c a－c 短轴 知识梳理 16 例 2 √ 所以距离的最大值为a＋c＝3， 距离的最小值为a－c＝1. 17 18 ∴a＝5，b＝4，c＝3， ∴F1(－3,0)，F2(3,0). 如图所示，点Q在椭圆内部， ∵点P为椭圆上的点， 则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， ∴|PF1|＝10－|PF2|， ∵|PF1|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|＋10， 19 20 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、换元法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等. 反 思 感 悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种 21 跟踪训练 2 √ 22 又EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径， 23 24 设椭圆的右焦点为E(如图所示). 由椭圆的定义得△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF| ＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|) ＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|. 因为|AE|＋|BE|≥|AB|， 所以|AB|－|AE|－|BE|≤0，当且仅当AB过点E时取等号； 所以△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a， 25 所以△FAB的周长的最大值是4a； 整理得a＝2b. 26 实际生活中的椭圆问题 三 (多选)如图，一缕阳光从圆形的窗孔射入，在水平地面上形成椭圆形光斑(轮廓为椭圆)，若光线与水平地面所成的角为α(0°<α<45°)，则下列说法正确的是 A.椭圆的离心率e＝cos α B.椭圆的离心率e＝ C.椭圆的离心率e随α的增大而减小 D.椭圆的离心率e随α的增大而增大 例 3 √ √ 28 可根据题意作出平面图，如图所示，E，F分别为窗户的最高点、最低点所在位置，光线与水平面的交点分别为A，B，分别过B，F作l2的垂线交l1于C，M两点，光线与水平地面所成的角为α(0°<α<45°)，即∠CAB，设|EF|＝2R，|FM|＝d， 由题意可知，窗孔在平面内的投影为椭圆， 故|AB|为椭圆的长轴长，即|AB|＝2a， 椭圆的短轴长等于线段EF的长，为2R. 由图易得，∠EFM＝α，在Rt△EFM中， 29 所以选项A错误，选项B正确； 30 因为当0°<α<45°时，y＝tan α单调递增， 所以椭圆的离心率e随α的增大而减小， 故选项C正确，选项D错误. 31 反 思 感 悟 (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. (3)用解得的结果说明原来的实际问题. 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) 跟踪训练 3 　某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是_____米. 32 33 解得a＝16， ∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32， 故拱宽至少为32米. 34 1.知识清单： (1)焦点三角形. (2)椭圆中的最值问题. (3)生活中的椭圆问题. 2.方法归纳：转化法、数形结合. 3.常见误区：容易忽略实际问题中的取值范围. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知椭圆 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过F2的直线交椭圆 于A，B两点，则△AF1B的周长等于 A.20 B.10 C.16 D.8 √ 所以由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝20. 1 2 3 4 2.椭圆C： ＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的最 大值是 A.2 B.3 C.4 D.6 √ 则|PF|≤a＋c＝6. 所以|PF|的最大值是6. 1 2 3 4 3.椭圆 ＝1与y轴的交点为P，两个焦点为F1，F2，则△PF1F2的面积为 A.6 B.8 C.10 D.12 √ 令x＝0可得y＝±4，所以P(0，±4)， 1 2 3 4 4.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_____cm. 20 1 2 3 4 因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同， 解得a小＝10. 所以小椭圆的长轴长为20 cm. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知地球运行的轨道是焦距为2c，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为 A.ce－c B.2ce－2c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为地球椭圆轨道的焦距为2c，离心率为e， 而太阳在这个椭圆的一个焦点上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20， |F1F2|＝2c＝12. 由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°， 即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设椭圆E的左焦点为F1， 由题意知，|PQ|min＝|PC|－1， 此时|PQ|－|PF|＝|PQ|＋|PF1|－4 ＝|PC|＋|PF1|－5≥|CF1|－5＝－1， 当F1，P，Q，C四点共线时，等号成立. 即|PQ|－|PF|的最小值为－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b, 2c，则 A.a－c＝m＋R B.a＋c＝n＋R √ √ √ ∵地球的中心是椭圆的一个焦点， 由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确； 由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2. ∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴b2＝a2－c2＝16， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率为e，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆上任意一点，写出一个满足“椭圆上不存在使得∠F1PF2＝ 90°的点P”的e的值为_______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当点P在椭圆短轴端点处时， ∠F1PF2最大， ∵椭圆上不存在使得∠F1PF2＝90°的点P， ∴当P在短轴端点处时，∠F1PF2<90°， ∴b>c，即a2－c2>c2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上， 离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么 椭圆C的方程为___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16， ∴a＝4，∴b2＝8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标. 由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.“神舟五号”飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示.假设航天员到地面的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个外星人发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为 A.d1＋d2＋R B.d2－d1＋2R C.d2＋d1－2R D.d1＋d2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P， 则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设内接矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)，x>0，y>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点Q的坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0,6)， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， 120° 又∵0°＜∠F1PF2＜180°， ∴∠F1PF2＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 拓广探究 15.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的离心率的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当α与底面趋于平行时τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值.如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大，a＋c＝|BF|＝|BG|＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处， 经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C， 曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群， 以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求曲线C的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆， 又2c＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3). ＋ 由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3， 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4， 所以 ＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3. 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4， 所以|PF2|＝4－|PF1|. 即△F1PF2的面积是. 从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36， 解得|PF1|＝. 所以△F1PF2的面积S＝·|PF1|·|F1F2|＝××6＝， (3)焦点三角形面积公式： ＝b2tan (∠F1PF2＝θ). (4)通径为. ＋ ∵P为椭圆C：＋＝1上一点， ＝|PF1|·|PF2|＝24. 又|F1F2|＝2c＝2＝10， 因为－a≤x0≤a，所以a－c≤≤a＋c， ＋ 提示　|PF1|＝＝ ＝＝， 　 (1)若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为 A.3,1 B.2＋，2－ C.2,1 D.＋1，－1 由题知a＝2，b＝， 所以c＝＝1， (2)椭圆C：＋＝1，F1，F2是左、右焦点，点Q(2,2)，点P为椭圆上一动点，则|PF1|＋|PQ|的最大值为________，最小值为________. 10＋ 10－ 椭圆C：＋＝1， 即|PF1|＋|PQ|∈[10－，10＋]. 又||PQ|－|PF2||≤|QF2|＝， ∴－≤|PQ|－|PF2|≤， 　 (1)点P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，则·的取值范围是 A.(8,24) B.[8,24] C.[5,21] D.(5,21) 在椭圆＋＝1中，有a－c≤||≤a＋c， 即3≤||≤5，所以8≤||2－1≤24， 故·＝||2－1的取值范围为[8,24]. 由题意，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－) ＝||2－||2， 则||＝1， (2)椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为bc，则椭圆的离心率为_____. 此时△FAB的面积为S△FAB＝×2c×＝＝bc， 所以e＝＝＝＝. |AB|>|EF|，此时a＝，b＝R， 故椭圆的离心率e＝， cos α＝＝，d＝2Rcos α， 在Rt△ABC中，sin α＝＝＝， |AB|＝，当0°<α<45°时，cos α>sin α， 8 设椭圆方程为＋＝1， 当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1， 因为椭圆的方程为＋＝1， ＋ ＋ 由题意可得a＝4，c＝＝2， 所以c＝＝＝3， 所以△PF1F2的面积为×|yP|×|F1F2|＝×4×6＝12. ＋ 由椭圆＋＝1可得a＝5，b＝4， 即＝. 所以＝， 所以＝， 1.已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是 A.0 B.1 C.2 D.2 设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，  ＝(1－x0，－y0)， ∴＋＝(－2x0，－2y0)， ∴|＋|＝＝2＝2. ∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1， ∴当y＝1时，|＋|取得最小值2.故选C.  C.－c D.－2c 所以由e＝，得a＝， 所以地球到太阳的最小距离为a－c＝－c. 3.若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 A.64 B.16 C. D. ∴|PF1|·|PF2|＝， ∴ ＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 4.已知F是椭圆E：＋＝1的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：x2＋y2－2x－4y＋9＝0上一点，则|PQ|－|PF|的最小值为 A.－ B.－1 C.2 D.3 如图，由题可知，圆C的方程可化为(x－)2＋(y－2)2＝1， 则|PF|＝4－|PF1|，F1(－，0)， 则圆心的坐标为(，2)，半径为1.  C.2a＝m＋n D.b＝ 结合图形可得 ∴(*).故A，B正确； ∴b＝，故D正确. 6.(多选)P为椭圆C上任一点，且焦点为F1，F2，若P到焦点F1的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2，则椭圆C的标准方程为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 依题意得 解得 故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. ＋ (答案不唯一) ∴e2<，又0<e<1， ∴e∈，故e可以是. ＋＝1 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由e＝，知＝， 故＝. ∴椭圆C的方程为＋＝1. 9.椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程. 设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0). ∴椭圆方程为＋＝1. 设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d， 则d2＝x2＋2＝4b2＋y2－3y＋ ＝－32＋4b2＋3(－b≤y≤b)， ∵＝＝＝，∴a＝2b. 解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1. ②当－<－b，即0<b<时，d＝f(－b)＝7， 解得b＝－>，与b<矛盾. 令f(y)＝－32＋4b2＋3. 综上所述，所求椭圆方程为＋y2＝1. ①当－b≤－，即b≥时， d＝f ＝4b2＋3＝7， 10.已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； 设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±. 又＋y＝1，所以x＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c， 由已知可得 12.椭圆＋＝1的内接矩形的最大面积为 A.4 B. C.4 D.2 所以椭圆＋＝1的内接矩形的最大面积为4. 由对称性可知，S＝4xy＝8··≤4×＝4， 当且仅当＝，即x＝y时等号成立， 联立解得此时等号成立， 13.设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是 A.5 B.＋ C.7＋  D.6 故|QC|＝， ① 因为＋n2＝1， ② 联立①②，得|QC|＝，因为－1≤n≤1， 故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6. 14.已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________. 由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝， ∴cos∠F1PF2＝＝－， A. B. C. D. 易知b＝1，所以则e＝＝， 则离心率的取值范围是. 则c＝2，a＝4，故b＝2， ∴曲线C的方程为＋＝1. 得＝3， ∴ 解得或 $