2.3.3 直线与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，系统讲解相交、相切、相离的判定及应用。课堂导入结合生活实例，复习初中位置关系知识，通过“尝试与发现”衔接用方程研究的高中方法，搭建从直观到代数的学习支架。 其亮点在于采用几何法与代数法对比教学，结合典型例题（如例1求参数范围、例2切线方程），渗透逻辑推理与直观想象素养。通过证明推导和分层练习，帮助学生构建知识体系，教师使用可高效落实重难点，提升教学效果。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.3.3 直线与圆的位置关系 第二章 平面解析几何 1 学习目标 能判断直线与圆的位置关系，体现逻辑推理能力（重点） 能够已知直线与圆的位置关系求直线或圆的方程，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 在日常生活中，可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图所示. 在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可.那么，能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？ 3 新课学习 复习一下：初中直线与圆的位置关系： 位置关系 公共点个数 图示 直线与圆相交 直线为圆的割线 2 直线与圆相切 直线为圆的切线 1 直线与圆相离 0 4 新课学习 尝试与发现：判断直线l：y=−x+5与圆C：x2+y2=12的位置关系，并说明理由. 在平面直角坐标系中作出直线l与圆C，如图所示，可以看出它们没有公共点，因此直线l与圆C相离. 方法二： 又因为(−10)2−4×2×13=−4<0，所以方程①无实数解，这说明方程组也无实数解，因此直线l:y=−x+5与圆C:x2+y2=12没有公共点，从而直线与圆相离. 方法一： 5 新课学习 直线与圆的位置关系 如图所示，如果⊙C的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，则 1.直线l与⊙C相交⇔d<r； C r d 2.直线l与⊙C相切⇔d=r； C r d 6 新课学习 直线与圆的位置关系 如图所示，如果⊙C的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，则 3.直线l与⊙C相离⇔d>r. C r d 7 新课学习 证明：对于上面的第3条进行证明： 方法一：利用圆心到直线的距离 因为根据圆的方程与直线的方程能方便地算出圆心到直线的距离，所以也可利用这个结论来快速地得到直线与圆的位置关系. 8 新课学习 证明：对于上面的第3条进行证明： 方法二：利用坐标法 给定平面中的一条直线l与⊙C，以⊙C的圆心为原点，以不垂直于直线l的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设直线l的方程为y=kx+b，⊙C的方程为x2+y2=r2. 因为方程②的判别式 Δ=(2kb)2−4(1+k2)(b2−r2)=4k2b2−4b2+4r2−4k2b2+4k2r2 =4[(1+k2)r2−b2]， 9 新课学习 证明：对于上面的第3条进行证明： 10 新课学习 例1：已知直线y=x+b，圆x2+y2=2，分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围. 方法一： 联立直线的方程与圆的方程，得方程组 从方程组中消去y，整理得2x2+2bx+b2−2=0，③ 这个方程的判别式 Δ=(2b)2−4×2(b2−2)=−4(b+2)(b−2). 当且仅当−2<b<2 时，Δ>0，方程③有两个不相等的实数解，此时直线与圆有两个公共点，直线与圆相交； 11 新课学习 例1：已知直线y=x+b，圆x2+y2=2，分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围. 方法一： 当且仅当b=2或b=−2时，Δ=0，方程③有两个相等的实数解，此时直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切； 当且仅当b<−2 或b>2时，Δ<0，方程③没有实数解，此时直线与圆没有公共点，直线与圆相离. 12 新课学习 例1：已知直线y=x+b，圆x2+y2=2，分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围. 方法二： 13 新课学习 例2：已知 M(1,2)是圆x2+y2=5上一点，求圆的过点M的切线方程. 方法一： 因此切线的斜率一定存在，设为k，从而切线方程为y−2=k(x−1)，即kx−y+2−k=0，从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知 因此所求方程为 x+2y−5=0. 14 新课学习 例2：已知 M(1,2)是圆x2+y2=5上一点，求圆的过点M的切线方程. 方法二： 因此所求方程为 x+2y−5=0. 15 新课学习 例3：已知直线l：x+y+2=0与圆C：x2+y2=9 相交于A，B两点. (1)求线段AB的长； 如图所示，设AB的中点为M，根据垂径定理可知OM⊥AB，因此△AMO是个直角三角形. 方法一： 由点到直线的距离公式可知 又OA是圆的半径，因此|OA|=3，从而在Rt△AMO中，有 16 新课学习 例3：已知直线l：x+y+2=0与圆C：x2+y2=9 相交于A，B两点. (1)求线段AB的长； 方法二： 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|2=(x2−x1)2+(y2−y1)2. 因为A(x1,y1)，B(x2,y2)都是直线x+y+2=0上的点，所以 第二式减去第一式可得x2−x1+y2−y1=0，因此y2−y1=−(x2−x1)，从而 |AB|2=(x2−x1)2+[−(x2−x1)2]=2(x2−x1)2. 又因为从方程组 中消去y， 17 新课学习 例3：已知直线l：x+y+2=0与圆C：x2+y2=9 相交于A，B两点. (1)求线段AB的长； 方法二： 整理可得2x2+4x−5=0，而且x1,x2是这个方程的两个根，因此由韦达定理可知 18 新课学习 例3：已知直线l：x+y+2=0与圆C：x2+y2=9 相交于A，B两点. (2)求线段AB的中点坐标. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，且线段AB的中点坐标为(x0,y0)，则 又因为直线l的方程可以化为y=−x−2， 因此所求中点坐标为(−1,−1). 19 课堂练习 A 20 课堂练习 21 课堂练习 A 22 课堂练习 23 课堂练习 A 24 课堂练习 25 课堂练习 C 26 课堂练习 27 课堂练习 D 28 课堂练习 29 课堂总结 直线与圆的位置关系：直线与圆相交⇔d<r 直线与圆相切⇔d=r 直线与圆相离⇔d>r 30 谢 谢 观 看 31 方程组 中消去y可得 ，即 ①， 例如：前述尝试与发现中的圆心(0,0)到直线 的距离 ，而圆的半径为 ，因为 ，所以直线 与圆 相离. 注意到 表示的正好是圆心(0,0)到直线 的距离，而 说明方程②有两个不同的实数解，此时说明原方程组也有两组不同的实数解，因此当且仅当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交． 当且仅当 ，即 ， 或 时，直线与圆相离. 因为圆的半径 ，圆心 到直线 的距离为 . 当且仅当 ，即 ， 时，直线与圆相交； 当且仅当 ，即 ， 或 时，直线与圆相切； 解得 ，所以切线的点斜式方程为 圆的圆心为O，而且OM是与切线垂直的，如图所示. 因为 ，所以切线的斜率为 ，从而可知切线的点斜式方程为 因此 . 因此 ，从而可知 . ， . 所以 ， 1.已知直线 ，圆 ，则直线l与圆C的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析：已知直线 ，变形整理得 ， 由 得 即直线l恒过定点 ，把定点坐标代入圆C的方程的左端有 ，即该定点在圆C内，所以直线l与圆C相交.故选A. 2.直线 与圆 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 3.若直线 与圆心为 的圆相离，则该圆的半径的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：圆心 到直线 的距离 ，因为直线与圆相离，所以该圆的半径的取值范围是 . 4.已知点 在圆 外，则直线 与圆C的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 5.直线 与圆C： 相切，则实数 ( ) A.1 B. C. D.2 $