25.2.1 配方法（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考衔接，构建“概念理解-运算应用-综合创新”的知识进阶路径，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|直接开平方法、配方法基础|选择填空结合解答题，聚焦定义直接应用，夯实运算能力| |B组|配方法应用、解题过程分析|含步骤纠错、代数式最值问题，强化推理意识与严谨性| |C组|跨知识综合、新定义问题|“同构二次方程”“和谐数”等创新题型，发展创新意识| |拓展|中考真题|融合几何构造、实际应用情境题，衔接中考要求，提升模型观念|

分层作业 25.2.1配方法 目 录 A组 巩固过关 题型01直接开平方法解一元二次方程 题型02配方法解一元二次方程 题型03配方法的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 直接开平方法解一元二次方程题型01 1（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 2（25-26九年级上·江苏淮安·期末）方程的解是（    ） A． B．， C． D． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 配方法解一元二次方程题型02 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 9．用配方法解方程：． 10．（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 配方法的应用题型03 11．若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为______． 12．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知代数式的最小值是_________． 13．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 14．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 15．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 16．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 18．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 19．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 20．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 21．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 23．（25-26八年级下·山东威海·期中）关于x 的一元二次方程的一个根是 ，且a，b 满足，用配方法解关于y的方程. 24．（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法： 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 小明的做法是将已知条件适当变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法： 因为 所以当时， 原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当变形，再将已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题： 已知，求的值． (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题： 已知，求的值． 25．（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 26．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． ；该一元二次方程的正实数根为； 27．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 28．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 29．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 试卷第2页，共20页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 25.2.1配方法 A组 巩固过关 颗型01 直接开平方法解一元二次方程 1.B 2.B 3.A 4x=3,x2=-1 5. 【详解】解：3(x+1}-18=0, 3(x+1)=18, (x+1}=6, x+1=±V6, 解得x=-1+V6,x2=-1-√6 颗型02 配方法解一元二次方程 6.A 7.D 9.【详解】解：x2+6x+3=0, .x2+6x=-3, .x2+6x+9=-3+9, .（x+3)=6, .x+3=±V6, x=-3+6,为2=-3-V6 10.【详解】(1)解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加 1/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 唱 (2)解：2x2-6x+1=0 2x2-6x=-1 X-3x=-2 1 -图- 〔- 3 ..x- 2 2 x-3V 、二+，；x2=-3 22 题型03 配方法的应用 11.(x-1)2+2 12.5. 31 13.42 14.【详解】证明：x2+y2-2x-4y+16=(x2-2x+1)+(y2-4y+4)+11=(x-1)+(y-2)}2+11≥11， 不论x,y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总为正数. 15.【详解】(1)证明：(x-2)≥0， .2x-2)2+1>0: (2)解：3x2-5x-)-(x2+3x-10)=3x2-5x-1-x2-3x+10=2x2-8x+9=2x-2}2+1, (x-2)2≥0 .2(x-2)2≥0,2(x-2)2+1>0. .3x2-5x-1>x2+3x-10. 217 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 16.D 17.-6 a-b=-2-4=-6. 18.-3或4 19.【详解】(1)解：(x-1}=9, x-1=±3 x-1=3或x-1=-3: 解得：x=4或x=-2; (2)x2-6x-4=0, x2-6x+9-9-4=0, (x-3)-13=0, (x-3)}=13, x-3=±13」 所以x-3=V3或x-3=-√3， 解得：x=V13+3或x=-3+3. 20.【详解】(1)解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②： (2)解：x2-2x=9, 配方得x2-2x+1=9+1,即(x-1-10, 开方得x-1=0或x-1=-V0, .x=1+V10,x2=1-10 C组 思维拔高 21.A 22.2√7+14或24 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.【详解】解：：关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)的一个根是-1， .a-b+c=0, .b=Va-3+V3-a-2, .a-3≥0,3-a≥0」 .a-3=3-a=0, a=3,b=-2. .3+2+c=0, ∴.c=-5, 方程可化为3y2-2y-5=0, y2-3y-5=0 y225 -3y=3 r-+個 - 4 1 y33 5 解得：=3,2=-1 24.【详解】(1)解：仿照“小丽的做法”， x+6x-4=(+3)-13,x=V5-3可化为x+3=V5, r+6x-4=(5-13 =5-13 =-8 (2)解：仿照“小明的做法”， .x=0-2 3 .3x+2=V10 :.(3x+2)2=10 .9x2+12x+4=10, 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3x2+4x=2, .6x2+8x=4, 6x2+1lr2=x(6x2+8x+3x)=x(4+3x)=4x+3x2=2. 25.【详解】(1)解：x2-8x+7 =(x2-8x+16)-9 =(x-4)2-9 =(x-4-3)(x-4+3) =(x-7)(x-1): (2)解：-2x2-4x+5 =-2(x2+2x+1）+7 =-2(x+1)2+7, (x+1)2≥0， .-2(x+1)2≤0 当x=-1时，-2(x+=0,-2x2-4x+5取得最大值为7. (3)解：当x2+4x+4=(c+2),需要加单项式4x: 当x2-4x+4=(x-2,需要加单项式-4x: 当*4+6-+2小 需要加单项式 16 所以满足条件的单项式为：4x-4x、16 26.【详解】(1)解：x2+2x-24=0, x2+2x=24, .x(x+2)=24 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， x+2 x+2 x+2 x+2 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 大正方形面积为(x+x+2},4个小长方形与正方形的面积的和为4x(r+2)+22,即4×24+4=100， .(x+x+2)2=100, .2x+2=10或2x+2=-10, .x=4或x=-6, ∴.一元二次方程x2+2x-24=0的一个正实数根为x=4; (2)解：x2+5x-n=0, .x2+5x=n, .x(x+5)=n: 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为(x+x+5)°，4个小长方形与正方形的面积的和为4x(x+5)+52,即4n+25, ,在所构造的图形中大正方形的面积为81， :.(x+x+5)=81,4n+25=81, .2x+5=9或2x+5=-9,n=14, .x=2或x=-7, 该一元二次方程的正实数根为x=2」 27.【详解】(1)解：41=4+37=9+32=16+25=36+5， 其中只有16+25是两个平方数的和， 41=42+52: (2)解：x2-6x-1 =x2-6x+9-9-1 =(x-3)2-10, .m=3,n=-10」 .mn=-30; (3)解：S=x2+4y2+4x-12y+k=x2+4x+4+(4y2-12y+9)+k-4-9=(x+2)2+(2y-3)2+k-13, 要使S对任意整数x,y都为“完美数”，则k-13=0, 解得k=13 28. 【答案】(1)是 (2)±12 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： M=a2+4ab+5b2-6b+k =(a2+4ab+4b2)+b2-6b+k =(a+2b)2+b2-6b+k. 当k=9时，b2-6b+9=6-3)2, .M=(a+2b)2+(6-3)2, a,b是整数， .a+2b和b-3都是整数， ∴.M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”： (④当x=3时，y-x的最小值为1 【分析】(1)根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可： (2)利用配方法对代数式变形，对比得到m,n的值，即可计算mn: (3)对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值： (4)先写出y-x的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值. 【详解】(1)解：40=6+22，且6,2都是整数， ∴.40是“和谐数”； (2)解：a2-8a+25=(a2-8a+16)+9=(a-4)2+32, (a-4)2+32对比(a-m)2+n2得m=4,n=士3， .mn=4×(仕3)=±12， (3)解：略 (4)解：y-x=x2-5x+10-x=x2-6x+10=(x-3)}+1, ,对于任意实数x,都有(x-3)≥0」 “当(x-3)=0,即x=3时，y-x取得最小值，最小值为1： 拓展 链接中考 9.025 717 分层作业 25.2.1配方法 目 录 A组 巩固过关 题型01直接开平方法解一元二次方程 题型02配方法解一元二次方程 题型03配方法的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 直接开平方法解一元二次方程题型01 1（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 2（25-26九年级上·江苏淮安·期末）方程的解是（    ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： ∴， 即，． 故选：B． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键．先移项，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 配方法解一元二次方程题型02 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤将方程整理为的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ， 对比，可得，， 故选：D． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 9．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 10．（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】(1)第③步，方程两边未同时加上 (2)见解析 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2）解： 或 配方法的应用题型03 11．若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为______． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 将代数式配方后，即求出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知代数式的最小值是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为，再根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原代数式的最小值为5， 故答案为：5． 13．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理，因为对于任意实数x都有，故当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】解：由题意可得： ∵对于任意实数x都有 ∴ ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 故答案为：． 14．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】见解析 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可． 【详解】证明：， 不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 15．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系． （1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 16．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 17．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 18．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 【答案】或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 1．当时，， 根据有理数的乘方运算，解得或， 验证：当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 当时，，，此时，满足前提条件，故是有效解； 2．当时，， 用直接开平方法解方程，得或， 即或， 验证：当时，，，此时，满足的前提，故是有效解， 当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 综上，或， 故答案为：或4 19．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用直接开平方法求解，即对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解； （2）利用配方法求解，先配方凑完全平方式，再开平方转化为一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， 或； 解得：或； （2）， ， ， ， ， 所以或， 解得：或． 20．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】（1）步骤②中，等式两边没有同时加1； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②； （2）解：， 配方得，即， 开方得或， ∴． 21．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 22．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【答案】或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 【详解】解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 23．（25-26八年级下·山东威海·期中）关于x 的一元二次方程的一个根是 ，且a，b 满足，用配方法解关于y的方程. 【答案】， 【分析】根据方程的根的定义得到，根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，再利用配方法解方程即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，. 24．（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法： 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 小明的做法是将已知条件适当变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法： 因为 所以当时， 原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当变形，再将已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题： 已知，求的值． (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题： 已知，求的值． 【答案】(1)－8 (2)2 【分析】本题考查完全平方公式的运用和整体代入思想，将条件和所求式通过配方、去根号、降次等方法进行转化是解题关键． （1）将原式通过配方转化为完全平方式，将变形后整体代入求解． （2）将条件进行变形，分两次整体代入求解． 【详解】（1）解：仿照“小丽的做法”， ，可化为， ． （2）解：仿照“小明的做法”， ， ， ， ， ， ， ． 25．（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 26．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 【答案】(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． 27．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 28．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 29．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 试卷第2页，共20页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $