精品解析：甘肃省临洮中学2025-2026学年高二下学期期末考试卷(三) 数学

甘肃省临洮中学高二年级期末考试卷（三） 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 9 D. 12 2. 设集合A＝{ x |－2≤ x ≤ 3}，B＝{ x | x <－1或x > 4}，则（ ） A. { x |－2 ≤ x ≤ 4} B. { x |－1 ≤ x ≤ 3} C. { x | 3 ≤ x ≤ 4} D. { x | x ≤ 3或x ≥ 4} 3. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若，则有（ ） A. 最小值1 B. 最小值2 C. 最大值1 D. 最大值2 5. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则（ ） A. B. 1.05 C. D. 0.75 6. 若1和2是函数的两个极值点，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于对称 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 角B的最大值为 C. D. 若，则 11. 已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点P在抛物线上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为________． 13. 已知数列满足，，则________． 14. 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点A，B满足，O是球心，且点A到平面的距离为3，则点B到平面距离的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，数列满足，且，设． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自 部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润-其他成本和费用）． 19. 法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； （3）若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省临洮中学高二年级期末考试卷（三） 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数概念计算即可. 【详解】因为，所以该组数据的分位数是第7个数12. 故选：D. 2. 设集合A＝{ x |－2≤ x ≤ 3}，B＝{ x | x <－1或x > 4}，则（ ） A. { x |－2 ≤ x ≤ 4} B. { x |－1 ≤ x ≤ 3} C. { x | 3 ≤ x ≤ 4} D. { x | x ≤ 3或x ≥ 4} 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B的补集，再求出 【详解】因为B＝{ x | x <－1或x > 4}， 所以， 因为A＝{ x |－2≤ x ≤ 3}， 所以， 故选：A 3. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 4. 若，则有（ ） A. 最小值1 B. 最小值2 C. 最大值1 D. 最大值2 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 当且仅当，时取等号． 因此的最小值为2． 故选：B． 5. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则（ ） A. B. 1.05 C. D. 0.75 【答案】C 【解析】 【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出． 【详解】， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C 6. 若1和2是函数的两个极值点，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求得，根据1和2是函数的两个极值点，得到，求得实数的值，结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为1和2是函数的两个极值点， 所以，解得， 所以. 故选: D. 7. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件利用赋值法，令和即可求解. 【详解】因为，， 所以令，可得， 又令，可得， 所以， 故选：D. 8. 在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出伴随圆方程，设点的坐标，得到的方程，得到点坐标与的关系，再利用离心率得到的关系，代入双曲线方程整理即可. 【详解】双曲线实轴长为，伴随圆以原点为圆心、实轴长为直径，故半径为，伴随圆方程为： ， 设双曲线上点，根据圆的切点弦方程结论，过的切点弦的方程为：， 令得，即；令得，即， 在双曲线上，满足，即，即， 两边同乘整理得，即， 已知双曲线离心率，故，得， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于对称 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为. 对于A：的最小值为，故A正确； 对于B：最小正周期为，故B正确； 对于C：因为，则， 且余弦函数在内单调递减， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D：因为，所以的图象不关于对称，故D错误. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 角B的最大值为 C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可得，由此判断A不正确；由余弦定理的推论，结合重要不等式求得的取值范围，从而求得角B的最大值，判断B；用特例可判断C不正确；由及正弦定理得的关系，求得判断D. 【详解】由，，， 得， 化简得，. 故A不正确； 由余弦定理的推论知，. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，当且仅当时等号成立. 所以为锐角. 因为，且在上单调递减，所以. 故B正确； 当时，，为正三角形， 满足. ，所以C不正确； 若，则由正弦定理得，. 又，所以. 所以，故D正确. 11. 已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，其中，结合奇偶性的定义判断奇偶性，利用导数判断函数在的单调性，然后利用函数的单调性判断出各选项的正误. 【详解】构造函数，其中，则， 因为对于任意的满足 当时，，则函数在上单调递增， 又函数是奇函数， 所以，所以在上为偶函数， 所以函数在上单调递减， ，则，即，即， 化简得，A选项错误； 同理可知，即，即， 化简得，B选项正确； ，且即，即， 化简得，C选项正确， ，且即，即， 化简得，D选项错误， 故选：BC. 【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数不等式是否成立，解题时要根据导数不等式的结构构造合适的函数，利用函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点P在抛物线上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为________． 【答案】 2 【解析】 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 所以点P到抛物线C的准线的距离为. 13. 已知数列满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先将递推公式变形得到的表达式，计算前几项确定数列周期，再利用周期性求解 【详解】由得， 因为， 所以 所以数列的周期为4， 故 14. 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点A，B满足，O是球心，且点A到平面的距离为3，则点B到平面距离的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过作与平面平行的截面，将求点B到平面距离的最大值转化为求点到截面距离的最大值，根据球的截面性质求解即可. 【详解】如图，过作与平面平行的截面，截面直径为，截面，在球面上. 取的中点，过作的平行线，交球与于， 则以点为圆心，为直径的圆到平面的距离为. 所以点在该圆上，当重合时， 在平面中，过作与垂直的直径交球于， 则点在以为直径且垂直于的大圆上运动， 当与重合时，到平面距离最大. 设，则， 所以到截面的距离的最大值为. 所以点B到平面距离的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，数列满足，且，设． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）由题意得， ， ， 是首项为，公差为的等差数列． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，即， ， ． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明：分别为的中点， 为正方形， ,平面平面， 平面.； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过空间角的向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知平面 建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，，， 设平面的一个法向量为 则，令则， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）通过求导得，结合导数符号即可求解函数单调区间； （2）根据题意，转化为任意，不等式恒成立，设，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增 故的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞). 【小问2详解】 由不等式恒成立，即恒成立， 即对于任意，不等式恒成立， 设，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，也是最小值， ， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自 部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 数学期望为1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 19. 法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； （3）若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）由题干所给蒙日圆，结合椭圆离心率，建立方程求解即可； （2）设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ，点差法求出，由在椭圆内部，求出的范围即可； （3）设，表示出直线，到的距离，则可表示出，平方之后代入，以及椭圆方程，化简为，要使得与无关，则可得分子分母对应系数成比例，求得以及定值. 【小问1详解】 由题意，解得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ， 则斜率为， 由点差法：两式相减得， 代入，得, 由于在上，故， 联立得， 在椭圆内部，代入椭圆不等式：， 解得. 【小问3详解】 设，满足，即， 联立得，， 由于直线：，则到的距离， 则 平方得， 代入以及， 整理得 ， 要使得与无关，则，得， 代入得，则. 所以存在使得时，的面积为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $