甘肃武威第六中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二年级第二学期数学试卷参考答案 满分150分 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：C 2．答案：A 3．答案：A 4．答案：C 5．答案：D 6．答案：B 7．答案：B 8．答案：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．答案：BC 10．答案：ACD 11．答案：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．答案：240 13．答案：800 14．答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）由题意可得：， 1分 为非空集合，则，， 2分 当时，， 3分 因为，所以或，解得， 5分 故实数的取值范围． 6分 （2）若“”，则， 7分 “”是“”的充分条件， 则， 9分 所以或或， 11分 解得或或，即， 12分 所以实数的取值范围． 13分 16．【解析】（1）零假设：箱产量与养殖方法无关． 2分 根据列联表数据可得：． 6分 所以依据小概率值的独立性检验，不成立，即认为箱产量与养殖方法有关． 7分 （1），1，2． ，，， 11分 的分布列为 0 1 2 13分 ． 15分 17．（1）证明：因为四边形为菱形，所以 1分 因为平面，平面，所以 2分 又因为平面，平面，，所以平面． 5分 因为平面，所以 6分 （2）方法一： 因为，所以是等边三角形，取中点，连接，则，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，则，，．所以，． 设平面的法向量为，则，即 令，得． 9分 由条件知为平面的一个法向量 10分 设二面角的平面角为，易知为锐角 则，解得． 13分 因为三棱柱的高为，且， 所以其体积． 15分 方法二：因为，所以 过做交的延长线于，连接， 因为，所以平面，所以， 所以是二面角的平面角 9分 所以，所以， 即，因为，所以 在中，解得． 13分 又平面，所以三棱柱的高为， 所以其体积． 15分 18．解：（1）每个芯片通过测试的合格率为， 2分 ，． 4分 （2）记事件：通过测试Ⅰ，事件：通过测试Ⅱ．事件：芯片合格． ， 6分 8分 （3）因为，所以，． 9分 解法一：， 11分 ，，又， 均有， 13分 取，则． 15分 根据题意要使得（）总能不超过0.1． 当，即时满足条件．∴最小样本量大约为1000． 17分 解法二：由已知得对，， 11分 记，，， 又，均有， 13分 取，则． 15分 根据题意要使得（）总能不超过0.1， 当，时满足条件，∴最小样本量大约为1000． 17分 19．解：（1）时，，在单调递增， 又，，，， 所以在单调递减，在单调递增 3分 （2）①（ⅰ）依题意的两根为，，即的两根为，． 令，得，且在单调递减，在单调递增， 5分 令，（），则 所以在单调递减，所以 7分 所以，又，，在单调递增， 所以，即． 8分 ②（ⅰ）由，要证明，只需证， 即证明，即证明，即证明 即证明，设（），，在单调递减， ，，从而 13分 （或证明，易证，从而左端得证 13分） （ⅱ）设，，在递减，，即时， ，即，下证：，即证： 设（），，在递减，在递增， ，即，从而， 17分 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级第二学期数学试卷 满分150分 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A={x2-4x≤0}，B={x-3<x≤4}，则(CRA)nB=( A.{x-3<x≤0} B.{x-3≤x≤4 C.{-3<x<0} D.{xx≥4 答案：C 2.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BA.Cz=（) A.1 B.-1 C.5 D.-√5 答案：A 3.目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限 是人们购车时所要考虑的重要因素之一某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池 能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限5（单位：年）服从正态分布，P(5>10)=0.8,P(5<30)=0.8, 则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为() B. 4 1 C.2 D. 答案：A 4.已知1，，表示不同的直线，&，B,Y表示不同的平面，则下列四个命题正确的是() A.若l/1a,且m11a,则lIlm B.若o⊥B,m/1a,n⊥B,则mln C.若m/l,且m⊥o,则1⊥a D.若m⊥n,m⊥，n/P,则oa⊥B 答案：C 5设A,9是一个随机试验中的丙个事件，且P(④背P叫列-？P叫可列-格则《) AP氏到片 8 c2A-到-70PW-有 答案：D -1- +14y-5 6.已知x,y为正实数，x+y=3,则x+二 的最小值为() x y+3 3 B. C.2 D. 2 2 答案：B 7.正四棱台侧棱长为5√2，上下底面边长分别为3√2和42，所有项点在同一球面上，则该球的表面积 是() A.25π B.100m c.500r D.500m 3 答案：B 8.函数f(x)的n阶导就是对函数f(x)求n次导数，记作fm(x),设函数f(x)=(x-2025)e,若关于 x的不等式f204)(x)<x-1恰有一个整数解，则实数k的取值范围是( ) ( A.(0,1] B.（1,e2+1 e+1 D. +1 1,2 答案：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法中，正确的是() A.数据4,1,6,2,5,9,8的第60百分位数为5 B.已知随机变量5~N(0,o2),若P(5>2)=0.2,则P(-2≤专≤2)=0 C.样本点(x,y)(i=1,2,3,)的经验回归方程为少=3x+à，若样本点(m,3)与(2，)的残差相等， 则3m+n=9 D.x,x2,x3,x和，乃3，y3,y4的方差分别为S和S,若x,+y=10且x<y,(i=1,2,3,4), 则S2<S号 答案：BC 10.如图，有一个正四面体ABCD,其棱长为1，则下列说法中正确的是( A.过棱4C的截面中，截面面积的最小值为√ 4 B.若P为棱BD(含端点)上的动点，则存在点P使得coS∠APC=1 C,若P为棱BD(含端点)上的动点，则PA,PC的最小值为} D.与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有7个 答案：ACD B 11.记函数f(x)=x-snx的图象为T,下列选项中正确的结论有（) A.函数f)的极大值和极小值均有且只有一个 B.有且仅有两条直线与Γ恰有两个公共点 C.不论实数k为何值，方程f(x)=k(x+)一定存在实数根 D.下上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限 答案：AC -2- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.将英文单词“rabbit”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有_种， 答案：240 13.某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后 治愈n(n=0,1,2,,1000)人的概率记为n,则当Pn取最大值时，n的值为一· 答案：800 14已知空间向示a,i,d,a均为单位向量且a与5夹角为行a与c夹角为子则 a.e+2b.e+3元.è的最大值为 答案：V17+6√5 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知集合A={xlog(x+1)<,B={xx-b<a},且B为非空集合. (1)当b=2时，A∩B=☑，求实数a的取值范围： (2)若“a=1”是“A⌒B≠☑的充分条件，求实数b的取值范围， 【解析】(1)由题意可得：A={xlog2(x+1)<1}={x-1<x<1},…1分 B为非空集合，则B={xlx-b<d={xb-a<x<a+b},a>0,…2分 当b=2时，B={x|2-<x<2十a,…3分 因为A∩B=☑，所以2+a≤-1或2-a≥1，解得0<a≤1，…5分 故实数a的取值范围(0，…6分 (2)若“a=1”,则B={xb-1<x<b+1},…7分 “a=1”是“A∩B≠⑦”的充分条件， 则{x|-1<x<1}ú{x|b-1<x<b+l}≠，9分 所以-1<b-1<1或-1<b+1<1或 b-1=-1 b+1=1, …11分 解得-2<b<0或0<b<2或b=0,即-2<b<2,…12分 所以实数b的取值范围(-2,2）…。 …13分 -3 16.(本小题满分15分) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱 水产品的产量（单位：kg),其箱产量如下表所示. 箱产量 养殖法 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 30 20 新养殖法 15 35 (1)根据小概率=0.005的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关； (2)现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于50kg 的箱数，求X的分布列和期望. 附：P(x2≥7897）=0.005，x= n(ad-be) (a+b)(c+dXa+oid n=atb+c+d. 【解析 (1)零假设H,：箱产量与养殖方法无关. …2分 很据列联表数据可得：22100X(30×35-15x20)≈9.09>7.897三5…6分 45×55×50×50 所以依据小概率值α=0.005的独立性检验，H,不成立，即认为箱产量与养殖方法有关.…7分 (1)X=0,1,2. P(X=0)= 30、15_9 505050 Px=小0*520152 5050505050 P(X=2)= 20.3514 …11分 505050 X的分布列为 0 1 2 9 27 14 50 50 50 …13分 E(=0x9+ 27+2× 1411 …15分 50 5 5010 -4 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C1中，AB⊥平面BCC1B,四边形BCC1B为菱形， (1)证明：B,C⊥AC1: (2)若∠B,BC=60,AB=4,二面角A-BC,-B的余弦值为V 7 求三棱柱ABC-AB,C,的体积 B (I)证明：因为四边形BCCB,为菱形，所以B,C⊥BC1…1分 B 因为AB⊥平面BCC1B,B,CC平面BCC,B,所以AB⊥BC…2分 又因为ABC平面ABC1,BC,C平面ABC1,AB∩BC,=B,所以B,C⊥平面ABC.…5分 因为ACC平面ABC1,所以B,C⊥AC1…6分 (2)方法一： 因为∠B,BC=60°，所以△B,BC是等边三角形，取BC中点M,连接B,M,则B,M⊥B,C1,以B,为 坐标原点，分别以B,M,B,C1,BA所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设BB=a,则B(0,0,0),A 2,2 :B,A=0 aa -x 设平面AB,C1的法向量为=(x,y,z),则 ,即2 、y+4z=0 m:B.C1=0 (y=0 令x=1,得m 1.0. ………9分 由条件知B4=(0,0,4)为平面B,CB的一个法向量…10分 42 设二面角A-B,C1-B的平面角为日，易知B为锐角 V3a 则cos0= B41 2 V21 1 解得a=4.…13分 B mB.4 3a 41+ 64 因为三棱柱ABC-A,B,C1的高为B,M,且B,M=2√3 所以其体积V=S.心BM=号×4×4×25=16√5.…15分 方法二：因为∠B,BC=60°，所以∠BB,C1=120° 过B做BO⊥B,C1交C,B,的延长线于O,连接AO, 因为AB⊥BC,所以B,C⊥平面ABO,所以AO⊥B,C, 所以∠AOB是二面角A-B,C1一B的平面角…9分 所以cos∠AOB=V万，所以m∠AOB=2y3 7 3 -- 即AB_25,因为4B=4,所以OB=25 B OB 3 在△BOB,中，解得BB=4.…13分 又BO⊥平面AB,C,所以三棱柱ABC-AB,C,的高为OB: -5- 所以其体积V=S·OB=】×4×4x2W5=16N5 …l5分 2 18.(本小题满分17分) 某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试）通过率为p(0<p<),未通过测试I的芯 片进入第二次测试（测试四，通过率为9(0<q<1).通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废 (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X当p=0.8,q=0.6时，求X的期望与方差： (2)已知一枚芯片合格，求该芯片是通过测试I的概率日： (3)为估计(2)中的日，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试工记=： 若要使得P(6-8>0.05)总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量mm∈N) 参考内容：设随机变量X的期望为(X),方差为D(X),则对任意ε>0，均有 P0X-EK)I≥8DD 解：(1)每个芯片通过测试的合格率为0.8+(1-0.8)×0.6=0.92，X~B(n,0.92)…2分 E(X)=0.92n,D(X)=0.0736n.…4分 (2)记事件A:通过测试I,事件B:通过测试Ⅱ.事件C:芯片合格 P(C)=P(A)+P(AB)》=卫+(I-卫)q,…6分 0-P(al C)=P(AOp …8分 P(C)P+(1-p)q (3)因为k~B(,θ)，所以E(k)=m0,D(k)=01-θ).…9分 解法：a0=月--a--19 …11分 .E>0,PI6-01≥881- me2 2,又91-9 4 六7e>0均有PI6-01≥85d3分 取6=0.05，则P00-01≥0.05)< 4m-(0.05)2 .…15分 根据题意要使得P(0-00.05)总能不超过0.1 白4mx0.057<0.1,即m≥100时满足条件.最小样本量大约为100.7分 1 解法=：由已知符对Y6>0.Pk-m9≥0水m0-0P作-小8s61- 82 mm …11分 记6=8V6>0,P0-01≥6k1二0 又：80-0sv6>0均有00-01≥8水3分 1 取￡=005，则P06-0120.05K4m-005715分 根据题意要使得P00-01≥0.05)总能不超过0.1， 当4mX0.05≤0.1，m≥100时满足条件，最小样本量大约为10.…17分 -6- 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x-a四lx-x (1)当a=e时，求f(x)的单调区间： (2)设￥，x(x<x3)是f(x)的两个极值点， ①求证：名+之。 ②求证： 21+ae<,-x<e2+2a+l e 解：()a=e时，f()=(x-e)lnx-xf'()=nx-e在(0，+o)单调递增， 又f'(e)=0,∴.x∈(0，e),f'(x)<0,x∈(e,+o),f'(x)>0 所以f(x)在(0，e)单调递减，在(e,+oo)单调递增… …3分 20依题意()=nx-9=0的两根为5，西，即a=xnx的两根为x,x 令g()=xnx,g《)=1+1血x=0得x=,且g()在0， 单调递增， 0<x<<<1 …5分 e 所以h(x)在0， 单调递减，所以()>hI =0. …7分 e e 所以8。下8(G)=g(s)b又2-x> 2 1 1 ,g(x)在 单调递增， 所以2-天<飞，即5+无> …8分 e 0油花>2-，要证明x,-x>21+ae,只需证22x≥2+e e e e e 即证明1-ex>V1+ae,即证明ex-2x>a=xhx,即证明x-2>lnx 即证明ex-lnx-2>0,设F(9=r-1血x-20<x<,F(9=e-1<0,)在 0, 单调递减， F)>F白-0，÷-ln-2>0,从而x-x> 2v1+ae …13分 e (或证明ex-nex-1>0,易证F(x)=x-lnx-1>0,从而左端得证…13分) (设H(x)=xnx-x+1,H'(x)=nx,.H(x)在(0,1)递减，H()>H)=0,即x∈(0,1)时，g(x)>x-1 a=g(s)>5-1,即5<a+1,下证：-x≤a+e2,即证：xn+x+e2≥0 设G()=x血x+x+e0<r<启G=hx+2,a)在(0，)递减，H在（哈，）递增， ∴Gy≥G()=0,即xn+y+e2≥0，从而-y≤a+e3，x-5<e2+2a+117分 -7- 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．棱长为2的正四面体中，点是的中点，则（ ） A． B． C． D． 3．目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，，则 5．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，为正实数，，则的最小值为（ ） A． B． C．2 D． 7．正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有项点在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A． B． C． D． 8．函数的阶导就是对函数求次导数，记作，设函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（ ） A．数据4，1，6，2，5，9，8的第60百分位数为5 B．已知随机变量，若，则 C．样本点（）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D．，，，和，，，的方差分别为和，若且（，2，3，4），则 10．如图，有一个正四面体，其棱长为1，则下列说法中正确的是（ ） A．过棱的截面中，截面面积的最小值为 B．若为棱（含端点）上的动点，则存在点使得 C．若为棱（含端点）上的动点，则的最小值为 D．与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有7个 11．记函数的图象为，下列选项中正确的结论有（ ） A．函数的极大值和极小值均有且只有一个 B．有且仅有两条直线与恰有两个公共点 C．不论实数为何值，方程一定存在实数根 D．上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．将英文单词“rabbit”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有________种． 13．某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 14．已知空间向量，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知集合，，且为非空集合． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其箱产量如下表所示． 养殖法 箱产量 箱产量 箱产量 旧养殖法 30 20 新养殖法 15 35 （1）根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关； （2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记为所选产品中箱产量不低于的箱数，求的分布列和期望． 附：，，． 17．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形． （1）证明：； （2）若，，二面角的余弦值为，求三棱柱的体积． 18．（本小题满分17分） 某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试，首次测试（测试Ⅰ）通过率为（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废． （1）若某批次生产了枚芯片，合格数为随机变量．当，时，求的期望与方差； （2）已知一枚芯片合格，求该芯片是通过测试Ⅰ的概率； （3）为估计（2）中的，工厂随机抽取枚合格芯片，其中枚为通过测试Ⅰ．记． 若要使得（）总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量． 参考内容：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有 ． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）设，（）是的两个极值点， ①求证：； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $